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1、矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系1优讲课堂Department of Mathematics 矩阵的分解矩阵的分解第第第第 四四四四 章章章章2Department of Mathematics 4.4 单纯矩阵的谱分解单纯矩阵的谱分解定理定理1: 设设 是一个是一个 阶可对角化的矩阵，相异阶可对角化的矩阵，相异特征特征 值为值为 ，则，则 使得使得:此式称为此式称为A的谱分解的谱分解称为称为A的谱族的谱族且满足且满足:3Department of Mathematics分析分析: 设设 是是 的代数重复度的代数重复度则则:4
2、Department of Mathematics证明证明(1) 因为因为所以所以:证明证明(2)5Department of Mathematics(3)由由 得得同理可得同理可得证明证明:而而: ,所以所以:证明证明:证明证明:(5) 假设假设A有谱分解有谱分解 和和6Department of Mathematics则由则由(3)知知:由于由于 ,所以所以:同理可得同理可得:因为因为因为因为所以所以, 唯一性得证唯一性得证7Department of Mathematics 可对角化矩阵的谱分解步骤：可对角化矩阵的谱分解步骤：（1）首先求出矩阵）首先求出矩阵 的全部互异特征值的全部互异特
3、征值 及每个特征值及每个特征值 所决定的线性无关特征向量所决定的线性无关特征向量（3）令）令:（2）写出）写出（4）最后写出）最后写出8Department of Mathematics例例1：已知矩阵已知矩阵为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。为一个可对角化矩阵，求其谱分解表达式。解解: 首先求出矩阵首先求出矩阵 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。容易计算容易计算从而从而 的特征值为的特征值为 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量关的特征向量:9Department of Mathematics于是于是10Department
4、of Mathematics取取令令那么其谱分解表达式为那么其谱分解表达式为11Department of Mathematics正规阵的谱分解正规阵的谱分解:设设 为正规矩阵，那么存在为正规矩阵，那么存在使得使得: 其中其中 是矩阵是矩阵 的特征值的特征值 所对应的单位特征所对应的单位特征向量。我们称上式为正规矩阵向量。我们称上式为正规矩阵 的的谱分解表达式。谱分解表达式。12Department of Mathematics 设正规矩阵设正规矩阵 有有 个互异的特征值个互异的特征值 ， 特征值特征值 的代数重数为的代数重数为 ， 所对应的个两两正所对应的个两两正交的单位特征向量为交的单位特
5、征向量为 ,则则 的谱的谱分解表达式又可以写成分解表达式又可以写成其中其中 ，并且显然有，并且显然有: 13Department of Mathematics（6）满足上述性质的矩阵）满足上述性质的矩阵 是唯一的。我们称是唯一的。我们称 为为正交投影矩阵。正交投影矩阵。即对于正规阵即对于正规阵,满足如下满足如下6条条:推论推论1 设设 是一个是一个 阶可对角化的矩阵，阶可对角化的矩阵， 谱分解为谱分解为: ,若若: 则有则有14Department of Mathematics解：解：首先求出矩阵首先求出矩阵 的特征值与特征向量。容的特征值与特征向量。容易计算易计算例例 2 ： 求正规矩阵求正
6、规矩阵的谱分解表达式。的谱分解表达式。从而从而 的特征值为的特征值为15Department of Mathematics当当 时，求得三个线性无关的特征向量为时，求得三个线性无关的特征向量为 当当 时，求得一个线性无关的特征向量为时，求得一个线性无关的特征向量为将将 正交化与单位化可得正交化与单位化可得16Department of Mathematics将将 单位化可得：单位化可得：17Department of Mathematics于是有于是有18Department of Mathematics这样可得其谱分解表达式为这样可得其谱分解表达式为19Department of Mathe
7、matics解：解：首先求出矩阵首先求出矩阵 的特征值与特征向量。的特征值与特征向量。求正规矩阵求正规矩阵的谱分解表达式。的谱分解表达式。练习练习从而从而 的特征值为的特征值为 可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无可以求出分别属于这三个特征值的三个线性无关的特征向量关的特征向量:20Department of Mathematics再将其单位化可得三个再将其单位化可得三个标准正交的特征向量标准正交的特征向量21Department of Mathematics于是有于是有:22Department of Mathematics23Department of Mathematics这样可得其谱分解表达式为这样可得其谱分解表达式为24Department of Mathematics25
