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1、2.2.1 2.2.1 分析法分析法2.22.2直接证明与间接证明直接证明与间接证明利用利用已知条件已知条件和某些和某些数学定义、公理、定理数学定义、公理、定理等等, ,经过一系经过一系列的推理论证列的推理论证, ,最后推导出所要证明的结论成立最后推导出所要证明的结论成立, ,这种证明这种证明方法叫做方法叫做综合法综合法用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示表示所要证明的结论所要证明的结论. .则综合法用框图表示为则综合法用框图表示为: :综合法是数学证明中最常用的方法。综合法是数学证明中最常用的方法。综合法是从已知到未知，从条件到结
2、论的逻辑推理方法。综合法是从已知到未知，从条件到结论的逻辑推理方法。综合法一种综合法一种由因导果由因导果的证明方法。的证明方法。复习回顾：复习回顾：分析基本不等式：分析基本不等式： (a0,b0)(a0,b0)的证明的证明. .证明证明: :因为因为; ; 所以所以所以所以所以所以 成立成立证明证明: :要证要证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;只需证只需证; ;因为因为; ; 成立成立所以所以 成立成立还原成还原成综合法综合法：从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的充分条件，直至最后，把要证每一步结论成立的充分条件，直至最
3、后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明的方法叫做方法叫做分析法分析法得到一个明显得到一个明显成立的条件成立的条件分析法是从未知到已知，从结论到条件的逻辑推理分析法是从未知到已知，从结论到条件的逻辑推理方法。方法。用用P P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q,Q表示所要证明的结论表示所要证明的结论. .则分析法用框图表示为则分析法用框图表示为: :分析法一种分析法一种执果索因执果索因的证明方法的证明方法。要证结果要
4、证结果Q Q，只需证条件，只需证条件P P解解:要证要证只需证只需证展开展开,只只需证需证只需证只需证 2125因为因为 2125成立成立,所以所以 成立成立.将证明过程倒推回去，将证明过程倒推回去，即为综合法即为综合法练习：练习：例例2. .如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线, ,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线, ,垂垂足为足为F,F,求证求证 AFSCAFSCF FE ES SC CB BA A证明证明: :要证要证AFAFSCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESC
5、SC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以. AF. AFSCSC成立成立得到一个明显得到一个明显成立的条件成立的条件也可以是经过也可以是经过证明的结论证明的结论例4:设a,b,c为一个三角形的三边,且S2=2ab, 试证： s 2a解解:欲证欲证s2a,只需证只需证即证即证bs,也即证也即证即证即证ba+c因为因为a,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边,所以所以ba+c成立
6、成立.故故s2a成立成立.练习：练习：练习：练习：分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。方法，应用十分广泛。 课后小结：课后小结：分析法是从分析法是从未知到已知未知到已知，从，从结论到条件结论到条件的逻辑推理方法。的逻辑推理方法。分析法一种分析法一种执果索因执果索因的证明方法的证明方法。综合法是从综合法是从已知到未知已知到未知，从，从条件到结论条件到结论的逻辑推理方法。的逻辑推理方法。综合法一种综合法一种由因导果由因导果的证明方法。的证明方法。作业：作业： P91P91 A A组组 3 3 P91 B P91 B组组 2 2
