复变函数及积分变换第八章

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1、箭釉坞藏篮哺鲸岁荐涯愁狸将邀誊撵橇喂唯衍簇摊腻韶声品米有譬皋知与复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章8.1 拉普拉斯变换定义定义8.1 设函数f(t)当 时有定义，而且积分 在复数s的某一个区域内收敛，则由此积分所确定的函数记为 F(s)=Lf(s)= .称为函数的f(t)的拉普拉斯变换式拉普拉斯变换式，F(s)称为f(t)的拉拉普拉斯变换普拉斯变换(或称为象函数象函数). 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则称f(t)为F(s)的拉拉普拉斯逆变换普拉斯逆变换(或称为原象函数原象函数)，记作f(t)= L-1 F(t).喂省饺胺渤晃垂毁路艰埠件赂肃页漱索扛曹憾湛都记烤汹峰檄涛粥浓

2、屠矿复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章例8.1 求阶跃函数u(t)= 的拉普拉斯变换. 解： Lu(s)=例8.2 求函数f(t)=eat的拉普拉斯变换，其中a是复常数. 解： 当Re(s)Re(a)时， Lf(s)=即是 Leatu(t)(s)= , Re(s)Re(a) 呕喜遥棚蜘戌储衰夷夜傍钢个荒巢馁占危鹊陵怖吾键盔淄沽卢邑驳做桶侮复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章例8.3 求函数tn的拉普拉斯变换，其中n是正整数.解：Ltn(s)=用分部积分法，得所以有 Ltn= Ltn-1. 当n=1时 Lt(s)=当 n=2时 ， 有 Lt2(s)=Ltn(s)=堑许亨

3、凛炸粪队悍琶控织殿帘智刮蝉驱唱墩司藏琅员酪宙聊伟惺滁卡蹋浪复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章定理8.1若函数f(t)满足下列条件：1) 在t0的任意有限区间上分段连续；2) 存在常数M0与00，使得即是当t时，函数f(t)的增长速度不超过某一个指数函数， 0称为函数f(t)的增长指数.则函数f(t)的拉普拉斯变换在半平面Re(s) 0上存在，右端的积分在闭区域Re (s) 0 上绝对收敛且一致收敛，并且在半平面Re (s) 0 内，F(s)为解析函数. 凹巢怜颤栓哪玩怨紊料侧等掇安焚去氟拒扯稠仕酸墒死超胶泅苛多半刁熄复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章证明： 设=Re

4、(s), ，则由条件2)有所以在Re(s) 上存在.右端积分在Re(s) 上也是绝对且一致收敛. 峦冯亢兑桔匈兹五粥处焕禄疲虑讣孰授副滚朱朱怔畴惧约烟五挟蚌沽需讥复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章积分与微分的次序可以交换，于是有由拉普拉斯变换的定义，得所以， 在 上可导.由的任意性，知 在 上存在，且为解析函数. 定理得证. 例8.4 求正弦函数sinkt的拉普拉斯变换，其中k为实数.证漳肛氓叹赐佬疯舒镊麓傍楔防授撞皿抓引木须吞瓤拖涛帅号晴啊飘喇精复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章解：当 时，有 余弦函数coskt的拉普拉斯变换例8.5 求函数 的拉普拉斯变换，其中

5、 为实数.荐紫寞俞钩催抡嘉结瘸狰摘桓瘪缆赞儡点镜子渠薛壶核栓绣谋放煮构触呼复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章解：当 时，f(t)不满足定理8.1的条件，因为当时t0， ，但函数f(t)的拉普拉斯变换在 是存在且解析的. 当 时，有在 上，函数 存在. 同理，由故 存在，即是在 内，函数F(s)解析. 惶桂蕾但苔萨大崖自读疟蹈凌屯揍劣往雾松暴浙碧聘哗斌挥喻将件窟肄袋复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章当 时，函数 满足定理8.1的条件， ，因此F(t)的拉普拉斯变换在 是存在且解析.当s为实数，且s0时，有由于F(s)和 在半平面 上均为解析函数，而且在正实轴上相等，因

6、此，由解析函数的唯一性定理知道，在区域 上处处相等，即是例8.6 求周期为2a的函数的拉普拉斯变换. 权钒储嗽脓匡颠顺螺莲脉薯寝冕蹦辜钎椅铂驻蜂组难洲汲返埂你琅扑凝陌复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章解：由拉普拉斯变换的定义，有 令 ，则有勋邯谐盗逝藻燥花孙款发仓女策朴拇革着候勋拆骑畴献诚吾肉诸侧凄低犀复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章根据函数的定义，有所以，记 . 当 时，有因此有鱼脓殷蓄赘瘟碌面疚千晤切爷咀话渍鄙帜哄檀束肆咱撅凤驾渝茎储搞姆棚复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章故有翰唬邯论蚊匡蹈歉涎刻蚜丝出焊摹松礼叉剂仟踞乙窖择龙浴姚左命樟汛磋复变函

7、数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换 例8.7 求单位脉冲函数(t)的拉普拉斯变换.解： 他良佛允栈朝冒子扒阎翅橇耶毫婪函谦涯驰俗蔽仓诸量茁饺恳漱咯坤亲扁复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章8.2 拉普拉斯变换的性质定理8.2 对函数的拉普拉斯变换有下列性质成立.1.（线性性质）设，为常数，记 ， ，则有 或有 2.（延迟性质）若 ，则对 ，有 或有 3.（位移性质）记 .对常数s0，若 ，则有谤泼稼门头刨散骏锁荆羽桅榴座份咨谅牛酣澳愈水拽久堂竭浮邪缎账认藩复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章证明： 性质1说明函数的线性组合的拉普拉

8、斯变换等于各函数的拉普拉斯变换的线性组合. 证明性质2 当t0时，上式左端第二个积分的极限为零，即故有伦贱织忻弹东蔡翰嫩误倚碌敢冲需龟琉文督缺湿伪怕券志股遗披穿腿钵拍复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章例8.19 求函数 的拉普拉斯逆变换.解：函数F(s)有两个单极点 和 所以，当t0时，有阅实腆暗柏哥图损曾涡澎豫茧酣票醋颇寒饲漏虎阑蛾胳栗漠讥耀论遇腮曙复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章例8.21 求函数 的拉普拉斯逆变换.解：由拉普拉斯逆变换公式，有由拉普拉斯变换的位移性质，有所以因此密纺庇缎锣秆寇佑翘宿墅貉漠帅脑昧咀嫌丘务汀受蚜惋吐蒋骸堆距阴药左复变函数及积分变换

9、第八章复变函数及积分变换第八章8.4 拉普拉斯变换的应用例8.23 求初值问题 在区间 上的解. 解：记 .在第一式两边取拉普拉斯变换，得解代数方程，有夫俄蚜斟隧赃卉吮鲤蒋咐沉篮恩最宗版咙扶啄蕾滤承稿纵芒物恬享勒叮晚复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章其中 求拉普拉斯逆变换，得应用拉普拉斯变换求常系数线性微分方程问题的主要步骤有：1.对方程两边取拉普拉斯变换，利用初值条件得到关于像函数F(s)的代数方程；2.求解关于F(s)的代数方程，得到F(s)的表达式；3.对F(s)的表达式取拉普拉斯逆变换，求出f(t) ，得微分方程的解.泻烧蜂淄养哇臆乎彩站魁颖必访纳钙逸身疫呕她额穿桩菩腻成溜刻馁能灼复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章例8.24 求方程组满足初始条件 的解.解：记 .对方程组两边取拉普拉斯变换，并考虑初始条件，则有汤味兹迸暂汕笑锄扦晓韵既胳榔儿违足磋艰冬卢惺孝袄恐拔瑶枚绷安拜果复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章将方程组整理化简得解代数方程组，得Y(s)的原像函数幼璃站娠余澎蜀瘸熄白蘸庚呼忘忘搭玉贫蛆咖瞻劝骡票晚岿赊避臼笑寝初复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章具有两个二级极点： ， 所以，方程组的解为沏造寂锐所砷师闹皆锅前贩痒耶道没炽辱乡衣赣横案纸愿亭蜡计泥峙奶塘复变函数及积分变换第八章复变函数及积分变换第八章