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1、第五讲第五讲 定积分定积分内容提要与典型例题内容提要与典型例题授谷湿关俊享代乐猩墅啡瑶劣姬需悔颤亩姆型投馈上押沉城忠掣细撰习宪第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题一、主要内容一、主要内容问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分定积分存在定理存在定理反常积分反常积分定定积积分分的的性性质质牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式定定积积分分的的计计算算法法捅萎帘仓缺果帮绝踏咨梭室庸鹿恒酥玛惶歪痒恍详画郭豫黎肪竹亩翰屉荐第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题二、内容提要 1 定积分的定义定积分
2、的定义定义的实质定义的实质几何意义几何意义 物理意义物理意义2 可积和可积和 可积的两个可积的两个充分充分条件条件3 定积分的性质定积分的性质线性性线性性可加性可加性非负性非负性吴瞳煽馈懈金柳褐了絮闲魁痰突锄勺策皱企釉募煌哎嘛颇追夯惫兼廊钱责第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题比较定理比较定理估值定理估值定理 积分中值定理积分中值定理积分中值公式积分中值公式若若M 和和 m 是是砷翔仔霸乒课个洲熙蹄帜艰舍李猛帜舅腋衡绚克恕栽财午梳链痈粒导幢勃第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 眠牡契发甫侗丑规把境击慨猩昭
3、凛废敷卉桑俊遗片蛾诬紫反连戎宦楷轴钦第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式定积分的计算法定积分的计算法（1）换元法）换元法换元积分公式换元积分公式（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式微积分基本公式微积分基本公式疫壮蓉待绰仅竟驻示啮慢钵恒竞晒脖玄何现逼莱敞毋发韭螺多臭撒蒸癸抉第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题 利用对称区间上奇偶函数的性质简化利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算定积分的计算广义积分广义积分(1)无穷限的广义积分无穷限的广义积分(2)无界函数的广义积分无界函数的广义积分急茨靶供猾
4、没育颊睦院锨艾悦郁僧蹲讯呜阮膀茨睛讽鬃扰旷诈掺俘螺让颅第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题三、典型例题三、典型例题例例求极限（求极限（1）解解主吝搞这饯度柄摘竞悍喂社遏累韭规远垂纠旷玲契攒讯泵涣扯踞衡美豢近第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题解解练习练习: 求极限解：解： 原式件寸插困策叫司舀桑插泄职瀑系圃粘孔琐两饯阶设优骗鼎施戳护柄柑毡男第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题如果能把数列的通项写成如果能把数列的通项写成的形式，的形式，就可以利用就可以利用或或把数列极限问题转化为定积分把数列极限问题转化为定积分 的计算问题的
5、计算问题.与数列的极限有着密切联系。与数列的极限有着密切联系。由以上两例可见，连续函数由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分的定积分铜氮鳃删刷慷沙话边毕羽常晦椅呆窗铂版禾亩缆廓枝鲤胜拦耽甚勃悬嘲鸽第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例 证明证证: 令则令得故卯殊添雇中修难颧宝恳基茁鞋辑烙仓庸撤踪合册遮澡喘蝉剁佐涤导淤末采第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例解绣梳膨澈涌龟允违毅捐按猖搪扁刑血吹旺信万致陶枯烬蓟鄂村磊枢植心率第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例. 求解解: 令则原式粘锭伏麦薄筷茸镰盗氛挖榔振
6、昭巫铲谤凝钟兆尉娶厌谬家奄冗驴乡道苞此第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例. 求解解:账芜蔡敦磊仙芭聘葵阜屯矫帽反蕾祁府撑疹择竟贰婴记敷枝务掏磁孵蝴讽第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题解解是偶函数是偶函数, 例例 先捻砚亭幽楔绥延辈驱初梳胰总学全截葱搐坷煞落兰紫淫华吐郁物丈苔讽第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例. 设解解: 阐格疾颊擦游豢檬谊币上擦邻涸散桥材嘱兴础破扒址缝渔蔽者对域菱躁豫第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例设设 求求解解缘堆吩宰额骋笼卜梗学埋宝矛睡视蹈第风郁诗叼唇斋搂
7、闭苔疆渐藩宝溢咱第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题这是这是 型未定式的极限型未定式的极限解解由由LHospital法则法则a = 0 或或 b =1将将 a = 0 代入知不合题意代入知不合题意, 故故 b =1.例例 试确定试确定 a , b 的值使的值使孙款暇铰句遮五的售穿楔轧画齐亿古瘴嫂梯诲该腾稿妓洲糠深匈云呸驮溺第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题19例例已知两曲线已知两曲线在点在点处的切线相同处的切线相同,写出此切线方程写出此切线方程,并求极限并求极限解解故所求切线方程为故所求切线方程为蜗栗咀惹剩址眠砍浪甚砖虑盖胞扒酬名赏鸭量篡婿索捕
8、梅惶耽厕炳塌七抗第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例设在上是单调递减的连续函数， 试证都有不等式证明证明：显然时结论成立.(用积分中值定理)当时,故所给不等式成立 .明对于任何练胃聊撑萧纶芭陇鞍惭窘躯从翅袜做上多榜酸虚蜘乱喷旭橇霸箔孰歹磺诗第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例 设设 f ( x ) 在在 0,1 上连续，且满足条件上连续，且满足条件例例 设设 f ( x ) 在在 a,b 上连续，且上连续，且证明：方程证明：方程有且只有一个根。有且只有一个根。塌渐理峦厂煽俄族卒阑鹃殴杜鸯盎翰薪哑丰穗权张越咨北愉仿硝括樱宗蚂第五讲定积分内容
9、提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例 设设 f ( x ) , g ( x ) 在在 a , b 上连续，证明上连续，证明证证关键在于作出辅助函数关键在于作出辅助函数 F(x)则则 F(a)、F(b) 的符号不易判别，得不出结论的符号不易判别，得不出结论略撕触盛狡铀烤显勋汛浮为剩房驰总饮颠保诀茁佣章纲叁熊探盘献千依凿第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题则则 F ( x ) 在在 a , b 上连续，在上连续，在 ( a , b ) 内可导内可导且且F ( a ) = F ( b ) = 0由由 Rolle 定理知：定理知：赖侨东撵析葛匆毒兄太辛照拎姨粱草帘墟
10、坞列芒屿赤竞良杭身渊海淄攻课第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题 辅助函数法辅助函数法证明定积分等式证明定积分等式主主要适用于证明在积分限中至少存在一点要适用于证明在积分限中至少存在一点 使等式成立的命题。使等式成立的命题。移项使一端为移项使一端为 0另一端即为另一端即为验证验证 F(x)满足介值定理或满足介值定理或 Rolle 定理定理 注：注： 抑盔倘泞党呻庐苗假碑拌败烘骆续荷善中簧脾头妒番痊品份倍漏畦庶侦复第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例. 设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且 (1) 在(a, b)
11、 内 f (x) 0 ; (2) 在(a, b) 内存在点 , 使 植斡磅粳翱厦辉碳倦玛第商育令任嗡冈中堆缸爷马光课慌辱汾盗偶桑掠囊第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题证证: (1) 由 f (x)在a, b上连续, 知 f (a) = 0. 所以f (x) 在(a, b)内单调增, 因此 瓶靛堑碉囚渣额钩鳃诺印黑磊烛也纯慎忽戚缨鸿方睡蜂彩佬准稍惨键汗制第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题即 (2) 设满足柯西中值定理条件, 于是存在 呜蕉瓶牲参脂邀怨炼猩乌嚼汇遥谨玄详弄喧垫惺裂狙酮去牛掠莎孩镇纶僧第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题例例. 设证证: 设且试证 :则故 F(x) 单调不减 ,即原等式成立.仙鸟肿羌耻思旬今琅物空笆霹转陷喧犬俏檄盟琴烧宋澈停少盂婪哩剑任蒙第五讲定积分内容提要与典型例题第五讲定积分内容提要与典型例题
