选修2-3-1.2排列与组合

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1、排列与组合排列与组合排列排列N=m1+m2+mn 做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以做一件事情，完成它可以有有有有n n类办法类办法类办法类办法, ,在第一类办法在第一类办法在第一类办法在第一类办法中有中有中有中有mm1 1种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有mm2 2种不同的种不同的种不同的种不同的方法，方法，方法，方法，在第，在第，在第，在第n n类办法中有类办法中有类办法中有类办法中有mmn n种不同的方法。那么种不同的方法。那么种不同的方法。那么种不同的方法。那么完成这件

2、事共有完成这件事共有完成这件事共有完成这件事共有 . .种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理分类加法计数原理N=m1m2mn 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n n个步骤个步骤个步骤个步骤，做第一步，做第一步，做第一步，做第一步有有有有mm1 1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有mm2 2种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，种不同的方法，做第，做第，做第，做第n n步有步有步有步有mmn n种不同

3、的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有种不同的方法，那么完成这件事有 _种不同的方法种不同的方法种不同的方法种不同的方法. .分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理分步乘法计数原理 问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项名参加一项活动，其中活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？午的活动，有多少种不同的选法？ 分析：把题目转化为分析：把题目转化为从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名，按照参加上午的活动在前，参加下午的

4、活动在后的名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？上午上午上午上午下午下午下午下午相应的排法相应的排法相应的排法相应的排法甲甲甲甲乙乙乙乙丙丙丙丙乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙丙丙丙丙甲甲甲甲乙乙乙乙甲甲甲甲丙丙丙丙甲甲甲甲乙乙乙乙乙甲乙甲乙甲乙甲乙丙乙丙乙丙乙丙丙甲丙甲丙甲丙甲丙乙丙乙丙乙丙乙 第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任名中任选选1名，有名，有3种选法种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法种方法根据分步计数原理：根据分步计数

5、原理：32=6 即共即共6种方法。种方法。 把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素元素元素, ,于是问题于是问题于是问题于是问题就可以叙述为：就可以叙述为：就可以叙述为：就可以叙述为： 从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb 问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？

6、成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 分析：解决这个问题分三个步骤：分析：解决这个问题分三个步骤：分析：解决这个问题分三个步骤：分析：解决这个问题分三个步骤： 第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在第一步先确定左边的字母，在4 4个字母中任取个字母中任取个字母中任取个字母中任取1 1个，个，个，个，有有有有4 4种方法；种方法；种方法；种方法； 第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的第二步确定中间的字母，从余下的3 3个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有3 3种方法；种方法；种

7、方法；种方法； 第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的第三步确定右边的字母，从余下的2 2个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有个字母中取，有2 2种方法。种方法。种方法。种方法。 根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有 4324322424种不同的排法。如下图所示种不同的排法。如下图所示种不同的排法。如下图所示种不同的排法。如下图所示有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数： 123123，124124，132132，

8、134134，142142，143; 143; 213 213，214214，231231，234234，241241，243243， 312312，314314，321321，324324，341341，342; 342; 412 412，413413，421421，423423，431431，432432。同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为： 从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素从个不同的元素a a，b b，c c，d d中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？

9、照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abcabc, , abdabd, , acbacb, , acdacd, , adbadb, , adcadc; ; bacbac, bad, , bad, bcabca, , bcdbcd, , bdabda, , bdcbdc; ;cab, cad, cab, cad, cbacba, , cbdcbd, , cdacda, , cdbcdb; ; dab, dab, dacdac, , dbadba, , dbcdbc, , dcadca, ,

10、 dcbdcb. . 上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？可以用怎样的数学模型来刻画？(1)有顺序的有顺序的(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相等? 一般的，从一般的，从一般的，从一般的，从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mm(mnn) )个元素，个元素，个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序排成一列，按照一定的顺序

11、排成一列，按照一定的顺序排成一列， 叫做从叫做从叫做从叫做从n n个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取出出出出mm个元素的一个排列。个元素的一个排列。个元素的一个排列。个元素的一个排列。排列的定义：排列的定义：排列的定义：排列的定义：排列的特征排列的特征排列的特征排列的特征(1)(1)排列问题实际包含两个过程：排列问题实际包含两个过程：排列问题实际包含两个过程：排列问题实际包含两个过程：先从先从先从先从n n个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm个不同的元素个不同的元素个不同的元素个不同的元素; ;再把这再把这再把这再把这mm个不同元素按照一定

12、的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列个不同元素按照一定的顺序排成一列. .(2)(2)两个排列相同的条件：两个排列相同的条件：两个排列相同的条件：两个排列相同的条件：元素完全相同元素完全相同元素完全相同元素完全相同; ;元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同元素的排列顺序也相同. . 例如例如例如例如123123与与与与213213为什么是为什么是为什么是为什么是不同的排列。不同的排列。不同的排列。不同的排列。例例例例1 1 下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？（

13、1 1 1 1）1010名学生中抽名学生中抽名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会的选法；名学生开会的选法；名学生开会的选法；名学生开会的选法；（2 2 2 2）1010名学生中选名学生中选名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；名做正、副组长的选法；（3 3 3 3）从）从）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；中任取两个数相乘积的个数；（4 4 4 4）从）从）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数

14、；中任取两个数相除商的个数；中任取两个数相除商的个数；（5 5 5 5）2020位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；位同学互通一次电话的次数；（6 6 6 6）以圆上的）以圆上的）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；个点为端点作弦的条数；（7 7 7 7）以圆上的）以圆上的）以圆上的）以圆上的1010个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另个点中的某一点为起点，作过另 一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；一个点的射线的条数；（8

15、8 8 8）有）有）有）有1010个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；个车站，共需要多少种车票；（9 9 9 9）安排）安排）安排）安排5 5个学生为班里的个学生为班里的个学生为班里的个学生为班里的5 5个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位个班干部，每人一个职位. . . .那那那那些些些些是是是是全全全全排排排排列列列列？排列中的注意点：排列中的注意点：排列中的注意点：排列中的注意点：1、元素不能重复。、元素不能重复。n个中不能重复，个中不能重复，m个中也不能重复。个中也不能重复。2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有

16、关，这是判断一个问题就是与位置有关，这是判断一个问题是是 否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相 同，而且元素的排列顺序也完全相同。同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、mn时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好 采用采用“树形图树形图”。排列数：排列数： 从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列个元素的所有排列的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同的元素中取出个不同的元素中

17、取出m个元素的排列个元素的排列数。用符号数。用符号 表示。表示。“ “排列排列排列排列” ”和和和和“ “排列数排列数排列数排列数” ”有什么区别和联系？有什么区别和联系？有什么区别和联系？有什么区别和联系？ “ “一个排列一个排列一个排列一个排列” ”是指：从是指：从是指：从是指：从n n个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取mm个个个个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “ “排列数排列数排列数排列数” ”是指从是指从是指从是指从n n个不同元素中

18、，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取个不同元素中，任取mm个元素的个元素的个元素的个元素的所有排列的个数，是一个数；所以符号所有排列的个数，是一个数；所以符号所有排列的个数，是一个数；所以符号所有排列的个数，是一个数；所以符号 只表示排列只表示排列只表示排列只表示排列数，而不表示具体的排列数，而不表示具体的排列数，而不表示具体的排列数，而不表示具体的排列. . 问题问题1 中是求从中是求从3个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的个元素的排列数，记为排列数，记为: 问题问题2 中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的排个元素的排列数，记为列数，记为:从从n个不同元素

19、中取出个不同元素中取出2个元素的排列数个元素的排列数 是多少？是多少？第第1位位第第2位位nn-1第第1位位第第2位位第第3位位n-2nn-1同理同理 可以这样计算可以这样计算 第第第第1 1位位位位第第第第2 2位位位位第第第第3 3位位位位第第第第m m m m位位位位nn-1n-2n-(m-1)一般地一般地一般地一般地 可以这样计算：可以这样计算：可以这样计算：可以这样计算：排列数公式排列数公式排列数公式排列数公式观察观察观察观察排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：排列数公式有何特征： （1 1）第一个因数是第一个因数是第一个因数是第一个因数是n n，后面每一个因

20、数比它前面一，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一，后面每一个因数比它前面一个因数少个因数少个因数少个因数少1 1（2 2）最后一个因数是最后一个因数是最后一个因数是最后一个因数是n nmm1 1（3 3）共有共有共有共有mm个因数个因数个因数个因数 n n个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素全部取出的一个排列，叫做n n个元素个元素个元素个元素的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的的一个全排列，这时公式中的n=mn=m，即有，即有，即有，即有: : 就是说，就是说

21、，就是说，就是说，n n个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正个不同元素全部取出的排列数，等于正整数整数整数整数1 1到到到到n n的连乘积，的连乘积，的连乘积，的连乘积，正整数正整数1到到n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n的阶乘的阶乘，用，用n!表示，表示，所以所以n个不同元素的全排列数公式可以写成个不同元素的全排列数公式可以写成另外，我们规定另外，我们规定0!1例例1 计算：计算：我们发现：我们发现：我们发现：我们发现：这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？这个结果有一般性吗？例例例例2 (1)2 (1)若

22、若若若, ,则则则则n=n= ，m=m= 解：（解：（解：（解：（1 1）n=17n=17，m=14 m=14 (2)(2)若若若若则则则则用排列数符号表示为用排列数符号表示为用排列数符号表示为用排列数符号表示为 例例例例3 3 某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（某年全国足球甲级（A A组）联赛共有组）联赛共有组）联赛共有组）联赛共有1414个队参个队参个队参个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛共

23、要进行多少场比赛共要进行多少场比赛共要进行多少场比赛. . 解：任意两队间进行解：任意两队间进行解：任意两队间进行解：任意两队间进行1 1次主场比赛与次主场比赛与次主场比赛与次主场比赛与 1 1 次客场比赛，次客场比赛，次客场比赛，次客场比赛，对应于从对应于从对应于从对应于从1414个元素中任取个元素中任取个元素中任取个元素中任取2 2个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比个元素的一个排列因此，比赛的总场次是赛的总场次是赛的总场次是赛的总场次是=1413=182.=1413=182. 例例例例4 4（1 1）从）从）从）从5 5本本本本不同的书中选不同的书中选

24、不同的书中选不同的书中选3 3本送给本送给本送给本送给3 3名同学，每人名同学，每人名同学，每人名同学，每人各各各各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？ （2 2）从）从）从）从5 5种种种种不同的书中买不同的书中买不同的书中买不同的书中买3 3本送给本送给本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各名同学，每人各名同学，每人各1 1本，本，本，本，共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？共有多少种不同的送法？( (种种) )( (种种) )百位百位百位百位十位十位十位十位个位个位个位个位解法

25、一：直接法解法一：直接法解法一：直接法解法一：直接法0 0 0 0是是是是“特殊元素特殊元素特殊元素特殊元素”，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。，特殊元素要特殊（优先）处理。有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题1 1 特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题特殊元素、特殊位置问题 例例例例5 5 用用用用 0 0 到到到到 9 9 这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位

26、数？复数字的三位数？复数字的三位数？复数字的三位数？对排列方法对排列方法对排列方法对排列方法分步思考分步思考分步思考分步思考。解法三：解法三：解法三：解法三：间接法间接法间接法间接法. . . . 所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是: : : :求以求以求以求以0 0 0 0为排头的排列数为为排头的排列数为为排头的排列数为为排头的排列数为: : : :从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数从总数中去掉不合条件的排列的种数求总数：从求总数：从求总数：从求总数：从0 0到到到到9 9这十个数字中

27、任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为: :解法二：直接法解法二：直接法解法二：直接法解法二：直接法 第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是第一类：每一位数字都不是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有第二类：个位数字是第二类：个位数字是第二类：个位数字是第二类：个位数字是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有第三类：十位数字是第三类：十位数字是第三类：十位数字是第三类：十位数字是0 0的三位数有的三位数有的三位数有的三位数有 符合条件的三符合条件的三符合条件

28、的三符合条件的三位数的个数是位数的个数是位数的个数是位数的个数是: : 小小小小 结一：结一：结一：结一：对于对于对于对于“ “在在在在” ”与与与与“ “不在不在不在不在” ”等有特殊元素或等有特殊元素或等有特殊元素或等有特殊元素或特殊位置的排列问题，通常是特殊位置的排列问题，通常是特殊位置的排列问题，通常是特殊位置的排列问题，通常是先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置先排特殊元素或特殊位置，称为称为称为称为优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法优先处理特殊元素（位置）法（优限法优限法优限法优限法）。）。）。）。练习练习练

29、习练习 用用用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的1) 1) 五位数；五位数；五位数；五位数； 2)2)六位偶数；六位偶数；六位偶数；六位偶数；3)3)大于大于大于大于213045213045的自然数的自然数的自然数的自然数. . 1)1)解解解解1 1 位置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，位置分析法：首位是特殊位置，0 0不能排，不能排，不能排，不能排，有有有有5 5种排法种排法种排法种排法, ,其余其余其余其余4 4个位置有个位置有个位置

30、有个位置有A A4 45 5种排法，种排法，种排法，种排法， 由乘法原理知共有由乘法原理知共有由乘法原理知共有由乘法原理知共有 5 A5 A4 45 5=55432=600=55432=600 1)1)解解解解2. 2.（间接法）（间接法）（间接法）（间接法） 6 6个数中取个数中取个数中取个数中取5 5个数的排列中有不满个数的排列中有不满个数的排列中有不满个数的排列中有不满足要求的数如足要求的数如足要求的数如足要求的数如0213402134等，等，等，等，OO这样的数共有这样的数共有这样的数共有这样的数共有: : A A5 56 6-A-A4 45 5=600=600 第二类个位不是第二类个

31、位不是第二类个位不是第二类个位不是0, 0,个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有个位有两种排法，首位有4 4种排种排种排种排法，中间四位有法，中间四位有法，中间四位有法，中间四位有A A4 44 4种排法，第二类共有种排法，第二类共有种排法，第二类共有种排法，第二类共有24A24A4 44 4=192, =192, 2)2)可分为两类，可分为两类，可分为两类，可分为两类，第一类是个位为第一类是个位为第一类是个位为第一类是个位为0 0的有的有的有的有A A5 55 5个个个个; ;由加法原理共有由加法原理共有由加法原理共有由加法原理共有 A A5 55 5+192=

32、312+192=312 练习练习练习练习 用用用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于可组成多少个无重复数字的大于213045213045的自然数的自然数的自然数的自然数. .A A1 13 3AA5 55 5A A1 13 3AA4 44 4A A1 12 2AA3 33 3A A1 12 2AA2 22 2第五类：形如第五类：形如第五类：形如第五类：形如213054213054有有有有一个一个一个一个因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有因此满足要求的数共有449449个个个个

33、 第一类：形如第一类：形如第一类：形如第一类：形如3 3,4 ,4,5 ,5, ,这样这样这样这样的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有： 第二类：形如第二类：形如第二类：形如第二类：形如 2323，2424，2525这样这样这样这样的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有：的数都是满足条件的数共有： 第三类：形如第三类：形如第三类：形如第三类：形如214214,215,215这样的数都是满足这样的数都是满足这样的数都是满足这样的数都是满足条件的数共有：条件的数共有：条件的数共有：条件的数共有：

34、第四类：形如第四类：形如第四类：形如第四类：形如21342134, 2135, 2135的数有的数有的数有的数有A A6 66 6=720.=720.共有共有共有共有A A6 61 1 A A6 66 6 =4320. =4320., ,共有共有共有共有A A6 61 1 A A6 66 6 =4320. =4320.所以所以所以所以共有共有共有共有 A A7 77 7- A- A6 66 6=7 A=7 A6 66 6- A- A6 66 6=4320.=4320.例例例例6 6 7 7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？位同学站成一排，共有多少种不同

35、的排法？位同学站成一排，共有多少种不同的排法？A A7 77 75040.5040. 7 7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的解：问题可以看作：余下的6 6个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列解：问题可以看作：解：问题可以看作：解：问题可以看作：解：问题可以看作：7 7个元素的全排列个元素的全排列个元

36、素的全排列个元素的全排列 7 7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？少种不同的排法？少种不同的排法？少种不同的排法？解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有解一：甲站其余六个位置之一有A A6 61 1种，种，种，种，其余其余其余其余6 6人全排列有人全排列有人全排列有人全排列有A A6 66 6 种，种，种，种，解二：从其他解二：从其他解二：从其他解二：从其他6 6人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，

37、有人中先选出一人站首位，有人中先选出一人站首位，有 A A6 61 1剩下剩下剩下剩下6 6人人人人( (含甲含甲含甲含甲) )全排列全排列全排列全排列, ,有有有有A A6 66 6解三：解三：解三：解三：7 7人全排列有人全排列有人全排列有人全排列有 A A7 77 7, ,甲在首位的有甲在首位的有甲在首位的有甲在首位的有A A6 66 6解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步解：根据分步计数原理：第一步 甲甲甲甲, ,乙站在两端有乙站在两端有乙站在两端有乙站在两端有则则则则共有共有共有共有A A2 22 2 A A5 55 5 =240 =2

38、40种种种种排列方法排列方法排列方法排列方法甲甲甲甲乙乙乙乙乙乙乙乙甲甲甲甲 a ab bc cd de e e eb bd dc ca aA A5 55 5A A5 55 5A A2 22 2A A2 22 2 例例例例6 (4)76 (4)7位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的位同学站成一排甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？排法共有多少种？排法共有多少种？排法共有多少种？A A2 22 2种种种种. .第二步第二步第二步第二步 余下的余下的余下的余下的5 5名同学进行全排列有名同学进行全排列有名同学进行全排列有名同学进行全

39、排列有 A A5 55 5种种种种所以所以所以所以一共有一共有一共有一共有A A5 52 2 A A5 55 5 24002400种排列方法种排列方法种排列方法种排列方法 例例例例6 (5)76 (5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？排尾的排法共有多少种？ 解：第一步解：第一步解：第一步解：第一步 从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的从（除去甲、乙）其余的5 5位同学中选位同学中选位同学

40、中选位同学中选2 2位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有位同学站在排头和排尾有A A5 52 2种方法种方法种方法种方法第二步第二步第二步第二步 从余下的从余下的从余下的从余下的5 5位同学中选位同学中选位同学中选位同学中选5 5位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有位进行排列（全排列）有A A5 55 5种方法种方法种方法种方法例例6 (6)若甲不在排头若甲不在排头,乙不在排尾乙不在排尾,有多少种不同的排法有多少种不同的排法?解法一（直接法）：解法一（直接法）：解法一（直接法）：解法一（直接法）：以甲作为分类标准以甲作为分类标准以甲作

41、为分类标准以甲作为分类标准, ,分为两类：分为两类：分为两类：分为两类：第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间第一类：先安排甲在中间, ,再安排乙再安排乙再安排乙再安排乙, ,有有有有第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾第二类：先安排甲在排尾, ,再安排其他人再安排其他人再安排其他人再安排其他人, ,有有有有共有：共有：共有：共有：37203720种方法种方法种方法种方法例例6 (6)若甲不在排头若甲不在排头,乙不在排尾乙不在排尾,有多少种不同的排法有多少种不同的排法?解法二（间接法）：解法二（间接法）：所有排法中除去不符合的所有排法中

42、除去不符合的.所有排法：所有排法：甲在排头：甲在排头：乙在排尾：乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：甲在排头、乙在排尾：共有：共有：3720种方法种方法(7)7(7)7位同学站成两排位同学站成两排位同学站成两排位同学站成两排( (前前前前3 3后后后后4),4),共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？解解解解: :根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理根据分步计数原理:7654321:76543217 7！=5040.=5040.有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题有限制条件的排列问题2 2 相邻问题相邻问题相邻问题

43、相邻问题(9)(9)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？例例例例6 (8)6 (8)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？解解:甲、乙合在一起有甲、乙合在一起有A22种排法种排法,与另五个同学全排列有与另五个同学全排列有A66种排法，种排法，共有共有N= A22 A66=720捆捆 绑绑 法法3 3 不相邻问题不相邻问题不相邻问题不相邻问题(9)(9)解法一：间接法解法一：间接法解法

44、一：间接法解法一：间接法(11)(11)甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。甲、乙、丙按指定顺序排列。(10)(10)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有解法二：先将其余五个同学排好有: :再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六个再将甲、乙同学分别插入这六个“ “空位空位空位

45、空位” ”有有有有: :所以一共有所以一共有所以一共有所以一共有种方法种方法种方法种方法种方法，种方法，种方法，种方法，此时他们留下六个此时他们留下六个此时他们留下六个此时他们留下六个“ “空位空位空位空位” ”，种方法种方法种方法种方法, ,插空法插空法A44A53=1440其余四人在其余四人在7个位置中选个位置中选4个，有个，有:A74方法，方法，甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余甲、乙和丙三个同学在其余3 3个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法个位置中，只有一种方法共有共有N= A741=840种站法种站法.练习练习练习

46、练习1 1 若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相：若有四个男孩和三个女孩站成一排照相： 若其中的若其中的若其中的若其中的A A小孩必须站在小孩必须站在小孩必须站在小孩必须站在B B小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少小孩的左边，有多少种不同的排法？种不同的排法？种不同的排法？种不同的排法？所以在全排列中，所以在全排列中，所以在全排列中，所以在全排列中， A A在在在在B B左边与左边与左边与左边与A A在在在在B B右边的排法数相等右边的排法数相等右边的排法数相等右边的排法数相等解解解解:A:A在在在在B

47、B左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着左边的一种排法必对应着A A在在在在B B右边的一种排法右边的一种排法右边的一种排法右边的一种排法种排法。种排法。种排法。种排法。因此有：因此有：因此有：因此有：插空法插空法 若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也若三个女孩要站在一起，四个男孩也 要站在一要站在一要站在一要站在一起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？起，有多少种不同的排法？不同的排法有：不同的排法有：不同的排法有：不同的排法有：（种）捆捆绑绑法法若三个女孩互不相邻，有多

48、少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有解：先把四个男孩排成一排有A A4 44 4种排法，种排法，种排法，种排法，五个空档五个空档五个空档五个空档( (包括两端包括两端包括两端包括两端) )再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有再把三个女孩插入空档中有A A5 53 3种方法种方法种方法种方法共有：共有：共有：共有：种排法。种排法。种排法。种排法。插空法插空法若三个女孩互不相邻，有多少种

49、不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？若三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？ 练习练习练习练习2 2 某人射击某人射击某人射击某人射击8 8枪，命中枪，命中枪，命中枪，命中4 4枪，枪，枪，枪，4 4枪命种恰好枪命种恰好枪命种恰好枪命种恰好3 3枪枪枪枪连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？连在一起的不同种数有多少？ 解：连续命中的解：连续命中的解：连续命中的解：连续命中的3 3枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的枪和命中的另一枪被未命中的4 4枪所隔开枪所

50、隔开枪所隔开枪所隔开 ，如图，如图，如图，如图表示没有命中，表示没有命中，表示没有命中，表示没有命中，_ _ _ _ _ _ 命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个命中的三枪看作一个元素和另外命中的一枪共两个元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有元素插到五个空档中有A A5 52 2=54=20=54=20种排法种排法种排法种排法 练习练习练习练习3 3 一排一排一排一排8 8个座位，个座位，个座位，个座位，3 3人去坐，每人两边至少有人去坐，每人两边至少有人去坐，每人两边至少有

51、人去坐，每人两边至少有一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种一个空座的坐法有多少种 ？ 练习练习练习练习4 4 一排长椅上共有一排长椅上共有一排长椅上共有一排长椅上共有1010个座位，现有个座位，现有个座位，现有个座位，现有4 4人就座，人就座，人就座，人就座，恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为恰有五个连续空位的坐法种数为 。（用数。（用数。（用数。（用数字作答）字作答）字作答）字作答）480A63 练习练习练习练习5 5 同室同室同室同室4 4名学生各写一张贺卡，放在一起，然名学生各写一张贺卡，放在一起，然名学生各

52、写一张贺卡，放在一起，然名学生各写一张贺卡，放在一起，然后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共后各人从中各拿一张，但均不能拿自己写的那张，共有多少种拿法？有多少种拿法？有多少种拿法？有多少种拿法？ 第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺第一个同学从中拿一张贺卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有卡，满足要求的拿法有3 3种种种种解：第一步解：第一步解：第一步解：第一步 考虑被第一个同学拿走贺考虑被第一个同学拿走贺考虑被第一个同学拿走贺考虑被第一个

53、同学拿走贺卡的那个同学也有卡的那个同学也有卡的那个同学也有卡的那个同学也有3 3种拿法，种拿法，种拿法，种拿法，第二步第二步第二步第二步第三步、第四步各有一种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，第三步、第四步各有一种拿法，由乘法原理共有由乘法原理共有由乘法原理共有由乘法原理共有3311=93311=9 如如如如果果果果女女女女生生生生全全全全排排排排在在在在一一一一起起起起，有有有有多少种不同排法？多少种不同排法？多少种不同排法？多少种不同排法？ 如如如如果果果果女女女女生生生生全全全全分分分分开开开开，有有有有多多多多少少少少种不同排法？种不同排法？种不同排法？种不

54、同排法？ 如如如如果果果果两两两两端端端端都都都都不不不不能能能能排排排排女女女女生生生生，有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？ 如如如如果果果果两两两两端端端端不不不不能能能能都都都都排排排排女女女女生生生生，有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？有多少种不同排法？A A6 66 6 A A3 33 3 =4320 =4320 A A5 55 5A A6 63 3=14400 =14400 A A5 52 2A A6 66 6=14400 =14400 A A5 52 2A A6 66 6+2A+2A3 31 1A A5 51 1A A6

55、66 6=36000=36000或或或或A A8 88 8- A- A3 32 2 A A6 66 6=36000=36000练习练习练习练习6 6 三名女生和五名男生排成一排，三名女生和五名男生排成一排，三名女生和五名男生排成一排，三名女生和五名男生排成一排，某些元素某些元素某些元素某些元素不能在或必须排列在不能在或必须排列在不能在或必须排列在不能在或必须排列在某一位置；某一位置；某一位置；某一位置；某些元素要求某些元素要求某些元素要求某些元素要求连排（即必须相邻）连排（即必须相邻）连排（即必须相邻）连排（即必须相邻）；某些元素要求某些元素要求某些元素要求某些元素要求分离（即不能相邻）分离（

56、即不能相邻）分离（即不能相邻）分离（即不能相邻）； 某某某某些些些些元元元元素素素素要要要要求求求求必必必必须须须须相相相相邻邻邻邻时时时时，可可可可以以以以先先先先将将将将这这这这些些些些元元元元素素素素看看看看作作作作一一一一个个个个元元元元素素素素，与与与与其其其其他他他他元元元元素素素素排排排排列列列列后后后后，再再再再考考考考虑虑虑虑相相相相邻邻邻邻元元元元素素素素的的的的内内内内部部部部排列，这种方法称为排列，这种方法称为排列，这种方法称为排列，这种方法称为“ “捆绑法捆绑法捆绑法捆绑法” ”； 某某某某些些些些元元元元素素素素不不不不相相相相邻邻邻邻排排排排列列列列时时时时，可可

57、可可以以以以先先先先排排排排其其其其他他他他元元元元素素素素，再再再再将将将将这这这这些些些些不不不不相相相相邻邻邻邻元元元元素素素素插插插插入入入入空空空空挡挡挡挡，这这这这种种种种方方方方法法法法称称称称为为为为“ “插插插插空空空空法法法法” ”。 有有有有特特特特殊殊殊殊元元元元素素素素或或或或特特特特殊殊殊殊位位位位置置置置的的的的排排排排列列列列问问问问题题题题，通通通通常常常常是是是是先先先先排排排排特特特特殊殊殊殊元元元元素素素素或或或或特特特特殊殊殊殊位位位位置置置置，称称称称为为为为优优优优先先先先处处处处理理理理特特特特殊殊殊殊元元元元素素素素（位位位位置置置置）法法法法

58、“优限法优限法优限法优限法” ”；2 2 2 2基本的基本的基本的基本的解题方法解题方法解题方法解题方法：1 1 1 1对有对有对有对有约束条件的排列问题约束条件的排列问题约束条件的排列问题约束条件的排列问题，应注意如下类型：，应注意如下类型：，应注意如下类型：，应注意如下类型：小结小结小结小结：数学、体育均不排在第一节和第六节，有数学、体育均不排在第一节和第六节，有数学、体育均不排在第一节和第六节，有数学、体育均不排在第一节和第六节，有 种种种种, , 例例例例7 7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天

59、课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 第一类第一类第一类第一类数学排在第一节、体育排在第六节有数学排在第一节、体育排在第六节有数学排在第一节、体育排在第六节有数学排在第一节、体育排在第六节有 种种种种, ,第三类第三类第三类第三类第

60、四类第四类第四类第四类其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种； 其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，一一第二类第二类第二类第二类共有共有共有共有 种；种；种；种； 数学排在第一节、体育不在第六节有数学排在第一节、体育不在第六节有数学排在第一节、体育不在第六节有数学排在第一节、体育不在第六节有 种，种，种，种，其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种； 数学不排在第一节、体育排在第六节有数学不排在第一节、体育排在第六节有数学不排在第一节、体育排在第六节有数学不排在第一节、体育排在第六节有 种，种，种，种，其他有其他有其他

61、有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种； 所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有 种种对特殊元素对特殊元素对特殊元素对特殊元素: :数学和体育进行分类解决数学和体育进行分类解决数学和体育进行分类解决数学和体育进行分类解决. . 第一节和第六节均不排数学、体育，有第一节和第六节均不排数学、体育，有第一节和第六节均不排数学、体育，有第一节和第六节均不排数学、体育，有 种种种种 例例例例7 7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门

62、课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 第一类第一类第一类第一类第一节排数学、第六节排体育有第一节排数学、第六节排体育有第一节排数学、第六节排体育有第一节排数学、第六节排体育有 种，种，种，种，第三类第三类第三类第三类第四类第四类第四类第四类其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有

63、共有共有 种；种；种；种； 其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，一一第二类第二类第二类第二类共有共有共有共有 种；种；种；种； 第一节排数学、第六节不排体育有第一节排数学、第六节不排体育有第一节排数学、第六节不排体育有第一节排数学、第六节不排体育有 种，种，种，种，其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种； 第一节不排数学、第六节排体育有第一节不排数学、第六节排体育有第一节不排数学、第六节排体育有第一节不排数学、第六节排体育有 种，种，种，种，其他有其他有其他有其他有 种，种，种，种，共有共有共有共有 种；种；种；种； 所以符合条件的排法共有所以符合条件

64、的排法共有 种种解法二：对特殊位置解法二：对特殊位置解法二：对特殊位置解法二：对特殊位置: :第一节和第六节进行分类解决第一节和第六节进行分类解决第一节和第六节进行分类解决第一节和第六节进行分类解决. . 例例例例7 7 某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、某天课表共六节课，要排政治、语文、数学、物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，物理、化学、体育共六门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，共有多少

65、种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？最后一节不排数学，共有多少种不同的排课方法？ 本题也可采用间接排除法解决本题也可采用间接排除法解决本题也可采用间接排除法解决本题也可采用间接排除法解决解法解法解法解法3 3：不考虑任何限制条件共有不考虑任何限制条件共有不考虑任何限制条件共有不考虑任何限制条件共有 种排法，种排法，种排法，种排法，不符合题目要求的排法有：不符合题目要求的排法有：不符合题目要求的排法有：不符合题目要求的排法有：（1 1）数学排在第六节有）数学排在第六节有）数学排在第六节有）数学排在第六节有 种；种；种；种； （

66、2 2）体育排在第一节有）体育排在第一节有）体育排在第一节有）体育排在第一节有 种；种；种；种； 考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育考虑到这两种情况均包含了数学排在第六节和体育排在第一节的情况排在第一节的情况排在第一节的情况排在第一节的情况 种种种种 所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有所以符合条件的排法共有 种。种。种。种。 例例例例8 8 某校高三年级举行一次演讲赛共有某校高三年级举行一次演讲赛共有某校高三年级举行一次演讲赛共有某校高三年级举行一次演讲赛共有101

67、0位同学参位同学参位同学参位同学参赛，其中一班有赛，其中一班有赛，其中一班有赛，其中一班有3 3位，二班有位，二班有位，二班有位，二班有2 2位，其它班有位，其它班有位，其它班有位，其它班有5 5位，若采位，若采位，若采位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3 3位同学位同学位同学位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2 2位同位同

68、位同位同学没有被排在一起的概率为多少？学没有被排在一起的概率为多少？学没有被排在一起的概率为多少？学没有被排在一起的概率为多少？ 第一步第一步第一步第一步: :将一班的将一班的将一班的将一班的3 3位同学位同学位同学位同学“ “捆绑捆绑捆绑捆绑” ”成一个大元素成一个大元素成一个大元素成一个大元素; ; 第二步第二步第二步第二步: :这个大元素与其它班这个大元素与其它班这个大元素与其它班这个大元素与其它班5 5位同学共位同学共位同学共位同学共6 6个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列个元素的全排列 第三步第三步第三步第三步: :这个大元素与其它班的这个大元素与其它班的这个大元素与其它班的

69、这个大元素与其它班的5 5位同学共位同学共位同学共位同学共6 6个元素的全排个元素的全排个元素的全排个元素的全排 列排好后产生的列排好后产生的列排好后产生的列排好后产生的7 7个空挡中排列二班的个空挡中排列二班的个空挡中排列二班的个空挡中排列二班的2 2位同学位同学位同学位同学; ; 第四步第四步第四步第四步:“:“释放释放释放释放” ”一班的一班的一班的一班的3 3位同学位同学位同学位同学“ “捆绑捆绑捆绑捆绑” ”成的大元素，成的大元素，成的大元素，成的大元素， 解：符合要求的基本事件（排法）共有：解：符合要求的基本事件（排法）共有：解：符合要求的基本事件（排法）共有：解：符合要求的基本事

70、件（排法）共有：所以共有所以共有所以共有所以共有 个；个；个；个； 而基本事件总数为而基本事件总数为 个个;所以符合条件的概率为所以符合条件的概率为所以符合条件的概率为所以符合条件的概率为 例例例例9 9 在由数字在由数字在由数字在由数字0 0，1 1，2 2，3 3，4 4，5 5所组成的没有重复所组成的没有重复所组成的没有重复所组成的没有重复数字的四位数中，不能被数字的四位数中，不能被数字的四位数中，不能被数字的四位数中，不能被5 5整除的数共有整除的数共有整除的数共有整除的数共有 个个个个. . 解：本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊解：本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊解：

71、本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊解：本题在解答时只须考虑个位和千位这两个特殊位置的限制位置的限制位置的限制位置的限制; ; 个位为个位为个位为个位为1 1、2 2、3 3、4 4中的某一个有中的某一个有中的某一个有中的某一个有4 4种方法种方法种方法种方法; ;十位和百位方法数为十位和百位方法数为十位和百位方法数为十位和百位方法数为 种千位在余下的千位在余下的千位在余下的千位在余下的4 4个非个非个非个非0 0数中选择也有数中选择也有数中选择也有数中选择也有4 4 种方法，种方法，种方法，种方法，故方法总数为故方法总数为故方法总数为故方法总数为 种种种种 例例例例10 10 用用用用1

72、 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8组成没有重复数组成没有重复数组成没有重复数组成没有重复数字的八位数，要求字的八位数，要求字的八位数，要求字的八位数，要求1 1和和和和2 2相邻，相邻，相邻，相邻，3 3与与与与4 4相邻，相邻，相邻，相邻，5 5与与与与6 6相邻，而相邻，而相邻，而相邻，而7 7与与与与8 8不相邻，这样的八位数共有不相邻，这样的八位数共有不相邻，这样的八位数共有不相邻，这样的八位数共有 个个个个. .（用数字作答）（用数字作答）（用数字作答）（用数字作答）解：解：解：解：第一步第一步第一步第一步: : 将将将将1 1和和和和2“2“捆绑捆绑捆绑捆

73、绑” ”成一个大元素，成一个大元素，成一个大元素，成一个大元素，3 3和和和和4“4“捆绑捆绑捆绑捆绑” ”成成成成一一一一 个大元素，个大元素，个大元素，个大元素，5 5和和和和6“6“捆绑捆绑捆绑捆绑” ”成一个大元素成一个大元素成一个大元素成一个大元素; ;第二步第二步第二步第二步: : 排列这三个大元素排列这三个大元素排列这三个大元素排列这三个大元素; ;第三步第三步第三步第三步: : 在这三个大元素排好后产生的在这三个大元素排好后产生的在这三个大元素排好后产生的在这三个大元素排好后产生的4 4个空挡中的任个空挡中的任个空挡中的任个空挡中的任 何何何何2 2个排列个排列个排列个排列7

74、7和和和和8 8，第四步第四步第四步第四步: “: “释放释放释放释放” ”每个大元素（即大元素内的每个小元每个大元素（即大元素内的每个小元每个大元素（即大元素内的每个小元每个大元素（即大元素内的每个小元素素素素 在在在在“ “捆绑捆绑捆绑捆绑” ”成的大元素内部排列）成的大元素内部排列）成的大元素内部排列）成的大元素内部排列）; ;所以共有所以共有 个数个数 了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，从中体会从中体会从中体会从中体会“ “化归化归化归化归” ”

75、的数学思想，并能运用排列数公式进的数学思想，并能运用排列数公式进的数学思想，并能运用排列数公式进的数学思想，并能运用排列数公式进行计算。行计算。行计算。行计算。 排列的特征：排列的特征：排列的特征：排列的特征：一个是一个是一个是一个是“ “取出元素取出元素取出元素取出元素” ”；二是二是二是二是“ “按照一定顺序排列按照一定顺序排列按照一定顺序排列按照一定顺序排列” ”; ;“ “一定顺序一定顺序一定顺序一定顺序” ”就是与位置有关就是与位置有关就是与位置有关就是与位置有关; ;这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。这也是判断一个问题是不是排列

76、问题的重要标志。这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。 根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列根据排列的定义，两个排列相同，且仅当两个排列的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同的元素完全相同，而且元素的排列顺序也相同. .组合组合 问题一：问题一：问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某名去参加某名去参加某名去参加某天的一

77、项活动，其中天的一项活动，其中天的一项活动，其中天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1 1名同学名同学名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？参加下午的活动，有多少种不同的选法？参加下午的活动，有多少种不同的选法？参加下午的活动，有多少种不同的选法？ 问题二：问题二：问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出名同学中选出名同学中选出2 2名去参加名去参加名去参加名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？某天一项活动，有多少种不

78、同的选法？某天一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、乙；甲、乙；甲、乙；甲、丙；甲、丙；甲、丙；甲、丙；乙、丙乙、丙乙、丙乙、丙. .3两个问题有什么联系和区别？两个问题有什么联系和区别？两个问题有什么联系和区别？两个问题有什么联系和区别？ 从已知的从已知的从已知的从已知的3 3个不同元素个不同元素个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出中每次取出中每次取出2 2个元素个元素个元素个元素, , , ,并成并成并成并成一组一组一组一组问题二问题二问题二问题二 从已知从已知从已知从已知的的的的3 3个不同元个不同元个不同元个不同元素中每次取素中每次取素中每次取素中每次取出出出出2 2个元素个元

79、素个元素个元素, , , ,按照一定的按照一定的按照一定的按照一定的顺序排成一顺序排成一顺序排成一顺序排成一列列列列. . . .问题一问题一问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序组合定义组合定义: 一般地一般地,从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并并成一组成一组,叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合.排列与组合有什么共同点与不同点？排列与组合有什么共同点与不同点？组合的特征：组合的特征：组合的特征：组合的特征：（1 1）每个组合中元素互不相同；）每个组合中元素互不相同；）每个组合中元素互不相同；）每个组合中

80、元素互不相同；（2 2）“ “只取不排只取不排只取不排只取不排” ”无序性；无序性；无序性；无序性；（3 3）组合相同即元素相同；）组合相同即元素相同；）组合相同即元素相同；）组合相同即元素相同； （4 4）排列与组合问题共同点是）排列与组合问题共同点是）排列与组合问题共同点是）排列与组合问题共同点是“ “从从从从n n个不同元素中任个不同元素中任个不同元素中任个不同元素中任意取出意取出意取出意取出m m （mnmn）个元素）个元素）个元素）个元素” ”，不同点是前者要不同点是前者要不同点是前者要不同点是前者要“ “按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列按照一定的顺

81、序排成一列” ”，而后者是而后者是而后者是而后者是“ “不管顺序并成一组不管顺序并成一组不管顺序并成一组不管顺序并成一组” ”；若元素的位置对结果产生影响若元素的位置对结果产生影响若元素的位置对结果产生影响若元素的位置对结果产生影响, ,则是排列则是排列则是排列则是排列, ,否则否则否则否则, ,是组合是组合是组合是组合. .例如例如例如例如abab与与与与baba是不同的排列，但是相同的组合是不同的排列，但是相同的组合是不同的排列，但是相同的组合是不同的排列，但是相同的组合 组合数组合数组合数组合数 从从从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出m(mnm(m

82、n) )个元素的个元素的个元素的个元素的所有不同组合的个数所有不同组合的个数所有不同组合的个数所有不同组合的个数, ,叫做从叫做从叫做从叫做从n n个不同元素中个不同元素中个不同元素中个不同元素中取出取出取出取出mm个元素的个元素的个元素的个元素的组合数组合数组合数组合数如何计算？如何计算？如何计算？如何计算？组合组合组合组合a b ca b ca b ca b ca b da b da b da b da c da c da c da c db c db c db c db c d排列排列排列排列a b c b a c c a ba c b b c a c b aa b d b a d d

83、a ba d b b d a d b aa c d c a d d a ca d c c d a d c ab c d c b d d b cb d c c d b d c b第一步第一步第一步第一步第二步第二步第二步第二步=从从a, b, c, d这四个字母中选三个的组合与排列的关系：这四个字母中选三个的组合与排列的关系： 求从求从求从求从n n个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm个元素的排列数个元素的排列数个元素的排列数个元素的排列数, , 第第第第1 1步步步步, ,从这从这从这从这n n个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出个不同元素中取出mm

84、个元素个元素个元素个元素, ,共有共有共有共有 种不同的取法种不同的取法种不同的取法种不同的取法; ;C Cn nmm可看作以下可看作以下可看作以下可看作以下2 2个步骤得到个步骤得到个步骤得到个步骤得到: : 第第第第2 2步步步步, ,将取出的将取出的将取出的将取出的mm个元素做全排列个元素做全排列个元素做全排列个元素做全排列, ,共有种不同的共有种不同的共有种不同的共有种不同的 排法排法排法排法. . A An nmmn,mN*,并且并且mn.组合数公式组合数公式组合数公式组合数公式规定：规定：规定：规定：C Cn n0 0=1=1例例例例1 1计算：（计算：（计算：（计算：（1 1）（

85、2）原式原式原式原式= =例例例例2 2求证：求证：求证：求证：组合数的两个性质：组合数的两个性质：组合数的两个性质：组合数的两个性质：性质性质性质性质1 1：性质性质性质性质2 2：例例例例3 3 计算：（计算：（计算：（计算：（1 1）和和和和（2 2）和和和和（3 3）（4 4）（5 5）解解解解: :原式原式原式原式= =(4)(4)原式原式原式原式或或或或, , 原式原式原式原式 (5)(5)原式原式原式原式例例4 解方程解方程(1)(2)解解 (1)原方程化为：原方程化为：且且不合题意，舍去，不合题意，舍去，(2)原方程化为：原方程化为： 例例1 一位教练的足球队共有一位教练的足球

86、队共有17名初级学员名初级学员,他们中他们中以前没有一人参加过比赛以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则按照足球比赛规则,比赛时一比赛时一个足球队的上场队员是个足球队的上场队员是11人人.问问:简单的组合问题简单的组合问题 (1)这位教练从这这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员名学员中可以形成多少种学员上场方案上场方案? (2)(2)如果在选出如果在选出如果在选出如果在选出1111名上场队员时名上场队员时名上场队员时名上场队员时, ,还要确定其中的守还要确定其中的守还要确定其中的守还要确定其中的守门员门员门员门员, ,那么教练员有多少种方式做这件事情那么教练员有多少种方式做这件事情那么

87、教练员有多少种方式做这件事情那么教练员有多少种方式做这件事情? ?(1)(1)没有角色差异没有角色差异没有角色差异没有角色差异共有共有(2)(2)分两步完成这件事分两步完成这件事分两步完成这件事分两步完成这件事第第第第1 1步步步步, ,从从从从1717名学员中选出名学员中选出名学员中选出名学员中选出1111人上场人上场人上场人上场第第第第2 2步步步步, ,从上场的从上场的从上场的从上场的1111人中选人中选人中选人中选1 1名守门员名守门员名守门员名守门员 例例例例2 (1)2 (1)平面内有平面内有平面内有平面内有1010个点个点个点个点, ,以其中每以其中每以其中每以其中每2 2个点为

88、端点的个点为端点的个点为端点的个点为端点的线段共有多少条线段共有多少条线段共有多少条线段共有多少条? ?1010个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取2 2个元素的个元素的个元素的个元素的组合数组合数组合数组合数. . 1010个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取2 2个元素的个元素的个元素的个元素的排列数排列数排列数排列数. . (2)(2)平面内有平面内有平面内有平面内有1010个点个点个点个点, ,以其中每以其中每以其中每以其中每2 2个点为端点的有向线个点为端点的有向线个点为端点的有向线个点为端点的有向线段共有多少条段共有多少条段共有多少条段共有多

89、少条? ?例例例例3 3 四面体的顶点和各棱的中点共四面体的顶点和各棱的中点共四面体的顶点和各棱的中点共四面体的顶点和各棱的中点共1010个点个点个点个点(1)(1)从中任取三点确定一个平面从中任取三点确定一个平面从中任取三点确定一个平面从中任取三点确定一个平面, ,共能确定多少个平面？共能确定多少个平面？共能确定多少个平面？共能确定多少个平面？ 解决问题解决问题解决问题解决问题(1)(1)可考虑间接法可考虑间接法可考虑间接法可考虑间接法, , 由间接解法，共能确定不同平面由间接解法，共能确定不同平面由间接解法，共能确定不同平面由间接解法，共能确定不同平面4+6+12+7=294+6+12+7

90、=29个；个；个；个； 四面体的每一个面上的四面体的每一个面上的四面体的每一个面上的四面体的每一个面上的6 6个点只能确定同一个平面，个点只能确定同一个平面，个点只能确定同一个平面，个点只能确定同一个平面，六个中点中又有六个中点中又有六个中点中又有六个中点中又有3 3对互相平行的连线，对互相平行的连线，对互相平行的连线，对互相平行的连线，每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平面每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平面每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平面每一条棱上的三个点和棱外的点只能确定一个平面, ,即从即从即从即从3 3个点的组合扣除个点的组合扣除个点的组合扣除个点的组合扣除

91、3 3点共线点共线点共线点共线, ,四点共面和六点共面的情形四点共面和六点共面的情形四点共面和六点共面的情形四点共面和六点共面的情形. .(2)(2)以这以这以这以这1010个点为顶点个点为顶点个点为顶点个点为顶点, ,共能确定多个少凸棱锥？共能确定多个少凸棱锥？共能确定多个少凸棱锥？共能确定多个少凸棱锥？问题问题问题问题(2)(2)首先要对凸棱锥的类型做出判断首先要对凸棱锥的类型做出判断首先要对凸棱锥的类型做出判断首先要对凸棱锥的类型做出判断, ,然后分类统计然后分类统计然后分类统计然后分类统计. .所以有所以有 个三棱锥个三棱锥. 即不考虑限制后，减去即不考虑限制后，减去4个面上个面上4点

92、共面虚构的、点共面虚构的、6条棱上三点共线虚构的和条棱上三点共线虚构的和3对平行中位线对平行中位线4点共面虚构的点共面虚构的.依四面体的性质，若从依四面体的性质，若从依四面体的性质，若从依四面体的性质，若从 10 10 个点中取顶点作棱锥个点中取顶点作棱锥个点中取顶点作棱锥个点中取顶点作棱锥, ,只能是只能是只能是只能是: :三棱锥和四棱锥三棱锥和四棱锥三棱锥和四棱锥三棱锥和四棱锥 每一组不共面的每一组不共面的每一组不共面的每一组不共面的 4 4 点确定一个三棱锥，点确定一个三棱锥，点确定一个三棱锥，点确定一个三棱锥，无三点共线的共面无三点共线的共面无三点共线的共面无三点共线的共面 4 4 点

93、与该平面外一点确定一个四棱锥，点与该平面外一点确定一个四棱锥，点与该平面外一点确定一个四棱锥，点与该平面外一点确定一个四棱锥，又每一面上6点，仅确定6个不同凸四边形， 和不在该面上的另外4点之一为第5个顶点,可做成四棱锥 又每对平行的中位线段为四边形二边可确定一个底面四边形，另取其余6点之一为第5个顶点，可做四棱锥 C C6 64 4-3C-3C3 33 3C C2 21 1-3C-3C3 32 2C C2 22 2+3+3 =6=6 例例例例4 (1)4 (1)有有有有4 4本不同的书，一个人去借，有多少种不本不同的书，一个人去借，有多少种不本不同的书，一个人去借，有多少种不本不同的书，一个

94、人去借，有多少种不同的借法？同的借法？同的借法？同的借法？ (2) (2) 有有有有1313本不同的书，其中小说本不同的书，其中小说本不同的书，其中小说本不同的书，其中小说6 6本，散文本，散文本，散文本，散文4 4本，诗本，诗本，诗本，诗歌歌歌歌3 3本，某人借本，某人借本，某人借本，某人借6 6本，其中有本，其中有本，其中有本，其中有3 3本小说，本小说，本小说，本小说，2 2本散文，本散文，本散文，本散文，1 1本诗本诗本诗本诗歌，问有几种借法？歌，问有几种借法？歌，问有几种借法？歌，问有几种借法？(1)(1)此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本此人所借的书可以是一本，二本，三本，四

95、本此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本此人所借的书可以是一本，二本，三本，四本（本）（本）（本）（本）(2)(2)解：分三个步骤完成，共有解：分三个步骤完成，共有解：分三个步骤完成，共有解：分三个步骤完成，共有（种）（种）（种）（种） 练习练习练习练习 在在在在100100件产品中件产品中件产品中件产品中, ,有有有有9898件合格品件合格品件合格品件合格品,2 ,2件次品件次品件次品件次品. .从这从这从这从这100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件件件件(1)(1)有多少种不同的抽法有多少种不同的抽法有多少种不同的抽法有多少种不同的抽法? ?

96、100100个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取个不同元素中取3 3个元素的组合数个元素的组合数个元素的组合数个元素的组合数(2)(2)抽出的抽出的抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种? ?从从从从2 2件次品中抽出件次品中抽出件次品中抽出件次品中抽出1 1件次品的抽法有件次品的抽法有件次品的抽法有件次品的抽法有从从从从9898件合格品中抽出件合格品中抽出件合格品中抽出件合格品中抽出2 2件的抽法有件的抽法有件的抽法有件的抽法有 练习练习练习练习 在在在在100100件产品

97、中件产品中件产品中件产品中, ,有有有有9898件合格品件合格品件合格品件合格品,2 ,2件次品件次品件次品件次品. .从这从这从这从这100100件产品中任意抽出件产品中任意抽出件产品中任意抽出件产品中任意抽出3 3件件件件(3)(3)抽出的抽出的抽出的抽出的3 3件中至少有件中至少有件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种? ?法法法法1 1含含含含1 1件次品或含件次品或含件次品或含件次品或含2 2件次品件次品件次品件次品法法法法2 2100100件中抽件中抽件中抽件中抽3 3件减件减件减件减9898件合格品中抽件

98、合格品中抽件合格品中抽件合格品中抽3 3件件件件主要学习了组合、组合数的概念。主要学习了组合、组合数的概念。主要学习了组合、组合数的概念。主要学习了组合、组合数的概念。利用组合和排列的关系得到了组合数公式。利用组合和排列的关系得到了组合数公式。利用组合和排列的关系得到了组合数公式。利用组合和排列的关系得到了组合数公式。n n n n个不同元素个不同元素个不同元素个不同元素m m m m个元素个元素个元素个元素m m m m个元素个元素个元素个元素的全排列的全排列的全排列的全排列第一步第一步第一步第一步组合组合组合组合第二步第二步第二步第二步排列排列排列排列课堂小结：课堂小结：课堂小结：课堂小结

99、：1 1 某些特殊元素包含在某些特殊元素包含在某些特殊元素包含在某些特殊元素包含在( (或不包含在或不包含在或不包含在或不包含在) )所要求的组合中：所要求的组合中：所要求的组合中：所要求的组合中：含有附加条件的组合问题：含有附加条件的组合问题：含有附加条件的组合问题：含有附加条件的组合问题：例例例例1 1一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的7 7个白球和个白球和个白球和个白球和1 1个黑球，个黑球，个黑球，个黑球，从口袋内取出从口袋内取出从口袋内取出从口袋内取出3 3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？

100、个球，共有多少种取法？从口袋内取出从口袋内取出从口袋内取出从口袋内取出3 3个球个球个球个球, ,含有含有含有含有1 1个黑球个黑球个黑球个黑球, ,有多少种取法有多少种取法有多少种取法有多少种取法? ?从口袋内取出从口袋内取出从口袋内取出从口袋内取出3 3个球个球个球个球, ,使其中不含黑球使其中不含黑球使其中不含黑球使其中不含黑球, ,有多少种取法？有多少种取法？有多少种取法？有多少种取法？或按下列条件，从按下列条件，从按下列条件，从按下列条件，从1212人中选出人中选出人中选出人中选出5 5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1 1

101、1 1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2 2 2 2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3 3 3 3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4 4 4 4）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5 5 5 5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2

102、 2人当选；人当选；人当选；人当选；（6 6 6 6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1 1人当选；人当选；人当选；人当选；例例例例2 2（1 1）（2 2）（3 3）（4 4），或，或（5 5）（6 6） 例例3 在产品检验中在产品检验中,常从产品中抽出一部分进行检常从产品中抽出一部分进行检查查.现有现有100件产品件产品,其中其中3件次品件次品,97件正品件正品.要抽出要抽出5件件进行检查进行检查,根据下列各种要求根据下列各种要求,各有多少种不同的抽法？各有多少种不同的抽法？(2)全是正品；全是正品；(1)无任何限制条件；无任何限制条件；(3)

103、只有只有2件正品；件正品；(4)至少有至少有1件次品；件次品；(5)至多有至多有2件次品；件次品；(6)次品最多次品最多. 例例例例1 1平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？共线，问过两个不同颜色的点

104、，共可作多少条直线？共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？2 2 某些特殊元素有特殊归类问题：某些特殊元素有特殊归类问题：某些特殊元素有特殊归类问题：某些特殊元素有特殊归类问题：解法一：（直接法）设五个点所在直线为解法一：（直接法）设五个点所在直线为解法一：（直接法）设五个点所在直线为解法一：（直接法）设五个点所在直线为l l，分为两类：，分为两类：，分为两类：，分为两类：(1)(1)过过过过l l上的三个红点：可与上的三个红点：可与上的三个红点：可与上的三个红点：可与l l外的三个蓝点各连一条直线外的三个蓝点各连一条直线外的三个蓝点各连一条直线外的三个蓝点各连一条直线, ,有有有有条

105、，又与条，又与条，又与条，又与l l上的两个蓝点只连一条直线，上的两个蓝点只连一条直线，上的两个蓝点只连一条直线，上的两个蓝点只连一条直线，可连可连可连可连条条条条(2)(2)过过过过l l外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有外的四个红点：可与五个蓝点各连一条直线，有条条条条共可连共可连共可连共可连（条）（条）（条）（条） 例例例例1 1平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝

106、点在同一条直线上，除此以外，再无三点共点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？解法二：（间接法）不考虑五点共线，有解法二：（间接法）不考虑五点共线，有解法二：（间接法）不考虑五点共线，有解法二：（间接法）不考虑五点共线，有其中共线的五个点可连其中共线的五个点可连其中共线的五个点可连其中共线的五个点可连条，条，条，条，条

107、条条条而这而这而这而这条只能是一条条只能是一条条只能是一条条只能是一条共可连共可连共可连共可连（条）（条）（条）（条） 说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，说明：本例是某些特殊元素有特殊归类的问题，即题中共线的五个点，只能作一条直线即题中共线的五个点，只能作一条直线即题中共线的五个点，只能作一条直线即题中共线的五个点，只能作一条直线： 例例例例2 2有划船运动员有划船运动员有划船运动员有划船运动员1010人，其中人会划右舷，人人，其中人会划右舷，人人，其中人会划右舷，人人，其中人会划右舷，人会划左舷，其余

108、人都会划，现要从中选出人，平均会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，平均会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，平均会划左舷，其余人都会划，现要从中选出人，平均分配在船的两舷，有多少种选法？分配在船的两舷，有多少种选法？分配在船的两舷，有多少种选法？分配在船的两舷，有多少种选法？解：按左舷分三类：解：按左舷分三类：解：按左舷分三类：解：按左舷分三类：（1 1）只会划左舷人都被选）只会划左舷人都被选）只会划左舷人都被选）只会划左舷人都被选（2 2）只会划有左舷人被选：）只会划有左舷人被选：）只会划有左舷人被选：）只会划有左舷人被选：（3 3）只会划左舷人都不选：）只会划左舷人都不选：）只会划左

109、舷人都不选：）只会划左舷人都不选：共有共有共有共有（种）（种）（种）（种）例例例例3 3 由数由数由数由数1 1、2 2、3 3、4 4可组成多少个不同的和？可组成多少个不同的和？可组成多少个不同的和？可组成多少个不同的和？3 3 组合中的有重复问题：组合中的有重复问题：组合中的有重复问题：组合中的有重复问题：解：选两个数相加有解：选两个数相加有解：选两个数相加有解：选两个数相加有选三个数相加有选三个数相加有选三个数相加有选三个数相加有选四个数相加有选四个数相加有选四个数相加有选四个数相加有但但但但 1+4=2+31+4=2+3，1+2+3=2+41+2+3=2+4，1+2+4=3+41+2+

110、4=3+4（个）例例例例4 4 以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？解法一：解法一：解法一：解法一：上三下一上三下一上三下一上三下一下三上一下三上一下三上一下三上一上二下二上二下二上二下二上二下二其中共面的有个侧面和其中共面的有个侧面和其中共面的有个侧面和其中共面的有个侧面和6 6个对角面，个对角面，个对角面，个对角面，共有共有共有共有解法二：从正方体的解法二：从正方体的解法二：从正方体的解法二：从正方体的8 8个顶点中任选个顶点中任选个顶点中任选

111、个顶点中任选4 4个有个有个有个有种，种，种，种，其中共面的有其中共面的有其中共面的有其中共面的有6 6个面和个面和个面和个面和6 6个对角面，个对角面，个对角面，个对角面，共有共有共有共有（种）（种）（种）（种）4 “4 “不相邻不相邻不相邻不相邻” ”的组合问题：的组合问题：的组合问题：的组合问题： 例例例例1 1现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只现有十只灯，为节约用电，可以将其中的三只灯关掉，但不能关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两灯关掉，但不能关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两灯关掉，但不能关掉相邻的

112、两只或三只，也不能关掉两灯关掉，但不能关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，关灯方法有多少种？端的灯，关灯方法有多少种？端的灯，关灯方法有多少种？端的灯，关灯方法有多少种？解：解：解：解：1010只关掉只关掉只关掉只关掉3 3只余只余只余只余7 7只，只，只，只， 7 7只之间的只之间的只之间的只之间的6 6个空选个空选个空选个空选3 3个，个，个，个，有有有有为所求为所求为所求为所求 例例例例2 2某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可某仪表显示屏上一排个小孔，每个小孔可显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出

113、显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出显示红与黄两种颜色信号，若每次有三个小孔同时给出信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可信号，但相邻的两孔不能同时给出信号，求此显示屏可显示多少种不同的信号？显示多少种不同的信号？显示多少种不同的信号？显示多少种不同的信号？解：有孔不显示信号解：有孔不显示信号解：有孔不显示信号解：有孔不显示信号, ,其空有其空有其空有其空有, ,选三空显示信号选三空显示信号选三空显示信号选三空显示信号, ,有有有

114、有种，种，种，种，每孔都有红、黄两种颜色有每孔都有红、黄两种颜色有每孔都有红、黄两种颜色有每孔都有红、黄两种颜色有种，种，种，种，可显示可显示可显示可显示（种）（种）（种）（种）5 “5 “名额分配名额分配名额分配名额分配” ”问题：问题：问题：问题： 例例例例1 1有有有有1010个参加数学竞赛的名额个参加数学竞赛的名额个参加数学竞赛的名额个参加数学竞赛的名额, ,要分给要分给要分给要分给7 7所学校所学校所学校所学校, ,每校至少一个名额每校至少一个名额每校至少一个名额每校至少一个名额, ,有多少种不同的名额分配方法？有多少种不同的名额分配方法？有多少种不同的名额分配方法？有多少种不同的名

115、额分配方法？解：先将解：先将解：先将解：先将1010个名额中的个名额中的个名额中的个名额中的7 7个名额分给个名额分给个名额分给个名额分给7 7个学校每校一个，个学校每校一个，个学校每校一个，个学校每校一个，则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法则转化为剩下的三个名额如何分配的问题，可分三类方法. .第一类第一类第一类第一类: :选三个学校选三个学校选三个学校选三个学校, ,每个学校一个名额每个学校一个名额每个学校一个名额每个学校一个名额, ,分配方法数分配方法数分配方法数分配方法数

116、第二类第二类第二类第二类: :选两个学校选两个学校选两个学校选两个学校, ,决定哪个学校分别给一个或两个名决定哪个学校分别给一个或两个名决定哪个学校分别给一个或两个名决定哪个学校分别给一个或两个名 额，分配方法种数为额，分配方法种数为额，分配方法种数为额，分配方法种数为第三类第三类第三类第三类: :选一个学校选一个学校选一个学校选一个学校, ,三个名额都给该校三个名额都给该校三个名额都给该校三个名额都给该校, ,分配方法种数为分配方法种数为分配方法种数为分配方法种数为所以不同的名额分配方法种数为所以不同的名额分配方法种数为所以不同的名额分配方法种数为所以不同的名额分配方法种数为则则则则“ “挡

117、板挡板挡板挡板” ”的一种插法恰好对应的一种插法恰好对应的一种插法恰好对应的一种插法恰好对应1010个名额的一种分配方法个名额的一种分配方法个名额的一种分配方法个名额的一种分配方法, ,解法二：注意到解法二：注意到解法二：注意到解法二：注意到1010个名额之间是没有差别的，个名额之间是没有差别的，个名额之间是没有差别的，个名额之间是没有差别的，设想将设想将设想将设想将1010个名额排成一排，个名额排成一排，个名额排成一排，个名额排成一排，每两个每两个每两个每两个“ “相邻相邻相邻相邻” ”的名额间形成一个空隙，如下图示：的名额间形成一个空隙，如下图示：的名额间形成一个空隙，如下图示：的名额间形

118、成一个空隙，如下图示：” ”表示名额间形成的空隙，表示名额间形成的空隙，表示名额间形成的空隙，表示名额间形成的空隙，“”“”表示相同的名额，表示相同的名额，表示相同的名额，表示相同的名额，“ “ 设想在这几个空隙中插入六块设想在这几个空隙中插入六块设想在这几个空隙中插入六块设想在这几个空隙中插入六块“ “挡板挡板挡板挡板” ”, ,则将这则将这则将这则将这1010个个个个名额分割成七个部分，名额分割成七个部分，名额分割成七个部分，名额分割成七个部分， 将第一、二、三、将第一、二、三、将第一、二、三、将第一、二、三、七个部分所包含的名额数分、七个部分所包含的名额数分、七个部分所包含的名额数分、七

119、个部分所包含的名额数分给第一、二、三、给第一、二、三、给第一、二、三、给第一、二、三、七所学校，、七所学校，、七所学校，、七所学校，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，反之，名额的一种分配方法也决定了档板的一种插法，即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为即挡板的插法种数与名额的分配方法种数是相等的，为 解：解：解：解：在五个在五个在五个在五个1 1之间添加两个加号，添加的方法种之间添

120、加两个加号，添加的方法种之间添加两个加号，添加的方法种之间添加两个加号，添加的方法种数就等于方程解的个数故有数就等于方程解的个数故有数就等于方程解的个数故有数就等于方程解的个数故有 解法一：解法一：解法一：解法一：5 5个个个个1 1之间用加号相连之间用加号相连之间用加号相连之间用加号相连, ,可以添两个加号可以添两个加号可以添两个加号可以添两个加号( (表示表示表示表示y0)y0) 每一个均加每一个均加每一个均加每一个均加1 1，然后再均减，然后再均减，然后再均减，然后再均减1 1则可以将原来的问则可以将原来的问则可以将原来的问则可以将原来的问题理解为：求题理解为：求题理解为：求题理解为：求

121、例例例例2 2已知方程已知方程已知方程已知方程，求，求，求，求有多少组正整数解？有多少组正整数解？有多少组正整数解？有多少组正整数解？有多少组非负整数解？有多少组非负整数解？有多少组非负整数解？有多少组非负整数解？也可以添一个加号也可以添一个加号也可以添一个加号也可以添一个加号( (表示表示表示表示y=0)y=0)所以所以所以所以解法二：此问题则可以解释为：先将解法二：此问题则可以解释为：先将解法二：此问题则可以解释为：先将解法二：此问题则可以解释为：先将的正整数解个数，同（的正整数解个数，同（的正整数解个数，同（的正整数解个数，同（1 1），则），则），则），则实际上，解法一是更为基本的解决

122、问题的办法实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法实际上，解法一是更为基本的解决问题的办法 本题的解法二所用的方法一般称为本题的解法二所用的方法一般称为本题的解法二所用的方法一般称为本题的解法二所用的方法一般称为“ “挡板法挡板法挡板法挡板法” ”，用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，用于建立相同元素与确定的不同位置间的对应关系，而且每个位置至少应分配一个元素而且每个位置至少应分配一个元素而且每个位置至少应分配一个元素而且每个位置至少应分配一个元素与解法

123、一相比，挡板法比较简捷，与解法一相比，挡板法比较简捷，与解法一相比，挡板法比较简捷，与解法一相比，挡板法比较简捷，但不如解法一易于理解但不如解法一易于理解但不如解法一易于理解但不如解法一易于理解 例例例例3 3第第第第1717届世界杯足球赛于届世界杯足球赛于届世界杯足球赛于届世界杯足球赛于20022002年夏季在韩国、日年夏季在韩国、日年夏季在韩国、日年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有本举办、五大洲共有本举办、五大洲共有本举办、五大洲共有3232支球队有幸参加，他们先分成支球队有幸参加，他们先分成支球队有幸参加，他们先分成支球队有幸参加，他们先分成8 8个个个个小组循环赛，决出小组循环赛，决出

124、小组循环赛，决出小组循环赛，决出1616强（每队均与本组其他队赛一场，强（每队均与本组其他队赛一场，强（每队均与本组其他队赛一场，强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级各组一、二名晋级各组一、二名晋级各组一、二名晋级1616强），这支球队按确定的程序进行强），这支球队按确定的程序进行强），这支球队按确定的程序进行强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？问这次世界杯总共将进行

125、多少场比赛？问这次世界杯总共将进行多少场比赛？问这次世界杯总共将进行多少场比赛？小组循环赛：每组有小组循环赛：每组有小组循环赛：每组有小组循环赛：每组有6 6场，场，场，场，8 8个小组共有个小组共有个小组共有个小组共有4848场；场；场；场；八分之一淘汰赛：共有八分之一淘汰赛：共有八分之一淘汰赛：共有八分之一淘汰赛：共有8 8场；场；场；场；四分之一淘汰赛：共有四分之一淘汰赛：共有四分之一淘汰赛：共有四分之一淘汰赛：共有4 4场；场；场；场；半决赛：共有半决赛：共有半决赛：共有半决赛：共有2 2场；场；场；场；决赛：确定冠亚军，第三、四名决赛：确定冠亚军，第三、四名决赛：确定冠亚军，第三、四

126、名决赛：确定冠亚军，第三、四名 共有共有共有共有2 2场场场场. .综上，共有综上，共有综上，共有综上，共有场场场场 例例例例 七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种1 1注意区别注意区别注意区别注意区别“ “恰好恰好恰好恰好” ”与与与与“ “至少至少至少至少” ” 例例例例 从从从从6 6双不同颜色的手套中任取双不同颜色的手套中

127、任取双不同颜色的手套中任取双不同颜色的手套中任取4 4只，其中恰好有只，其中恰好有只，其中恰好有只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种一双同色的手套的不同取法共有多少种一双同色的手套的不同取法共有多少种一双同色的手套的不同取法共有多少种2 2特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排特殊元素（或位置）优先安排 例例例例 将将将将5 5列车停在列车停在列车停在列车停在5 5条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中条不同的轨道上，其中a a列车不列车不列车不列车不停在第一轨道上，停在第一轨道上，停在第一轨道上，停在第一轨道上，b b

128、列车不停在第二轨道上，那么不同列车不停在第二轨道上，那么不同列车不停在第二轨道上，那么不同列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种的停放方法有种的停放方法有种的停放方法有种3 3“ “相邻相邻相邻相邻” ”用用用用“ “捆绑捆绑捆绑捆绑” ”，“ “不邻不邻不邻不邻” ”就就就就“ “插空插空插空插空” ”方法回顾方法回顾方法回顾方法回顾 例例例例 对某种产品的对某种产品的对某种产品的对某种产品的6 6件不同的正品和件不同的正品和件不同的正品和件不同的正品和4 4件不同的次件不同的次件不同的次件不同的次品品品品, ,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有一一进行测试，至区分出所有次品为

129、止，若所有一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第次品恰好在第次品恰好在第次品恰好在第5 5次测试时全部发现次测试时全部发现次测试时全部发现次测试时全部发现, ,则这样的测试方法则这样的测试方法则这样的测试方法则这样的测试方法有种可能？有种可能？有种可能？有种可能？4 4混合问题，先混合问题，先混合问题，先混合问题，先“ “组组组组” ”后后后后“ “排排排排” ” （1 1）今有）今有）今有）今有1010件不同奖品件不同奖品件不同奖品件不同奖品, ,从中选从中选从中选从中选6 6件分给甲一件分给甲一件分给甲一件分给甲一件件件件, ,乙二

130、件和丙三件乙二件和丙三件乙二件和丙三件乙二件和丙三件, ,有多少种分法有多少种分法有多少种分法有多少种分法? ? （2 2）今有）今有）今有）今有1010件不同奖品件不同奖品件不同奖品件不同奖品, , 从中选从中选从中选从中选6 6件分给三人件分给三人件分给三人件分给三人, ,其中其中其中其中1 1人一件人一件人一件人一件1 1人二件人二件人二件人二件1 1人三件人三件人三件人三件, , 有多少种分法有多少种分法有多少种分法有多少种分法? ? （3 3）今有）今有）今有）今有1010件不同奖品件不同奖品件不同奖品件不同奖品, , 从中选从中选从中选从中选6 6件分成三份件分成三份件分成三份件分

131、成三份, ,每份每份每份每份2 2件件件件, , 有多少种分法有多少种分法有多少种分法有多少种分法? ? 5 5分清排列、组合、等分的算法区别分清排列、组合、等分的算法区别分清排列、组合、等分的算法区别分清排列、组合、等分的算法区别 例例例例1 1 从从从从6 6个学校中选出个学校中选出个学校中选出个学校中选出3030名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛, ,每校每校每校每校至少有至少有至少有至少有1 1人人人人, ,这样有几种选法这样有几种选法这样有几种选法这样有几种选法? ?6 6、分类组合、分类组合、分类组合、分类组合, ,隔板处理隔板处理隔板处理隔板

132、处理 例例例例2. 2. 要从要从要从要从7 7个班中选个班中选个班中选个班中选1010人参加数学竞赛，每班至少人参加数学竞赛，每班至少人参加数学竞赛，每班至少人参加数学竞赛，每班至少1 1人，共有多少种不同的选法？人，共有多少种不同的选法？人，共有多少种不同的选法？人，共有多少种不同的选法？可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解可按班选出的人数进行分类，或用插板法求解解法一：共分三类：解法一：共分三类：解法一：共分三类：解法一：共分三类：第一类，一个班出第一类，一个班出第一类，一个班出第一类，一个班出4 4人，

133、人，人，人，6 6个班各出个班各出个班各出个班各出1 1人，有人，有人，有人，有 C C7 71 1 种；种；种；种；第二类，有第二类，有第二类，有第二类，有2 2个班分别出个班分别出个班分别出个班分别出2 2人，人，人，人，3 3人，其余人，其余人，其余人，其余5 5个班各出个班各出个班各出个班各出1 1人人人人有有有有 A A7 72 2 种；种；种；种；第三类，有第三类，有第三类，有第三类，有3 3个班各出个班各出个班各出个班各出2 2人，其余人，其余人，其余人，其余4 4个班各出个班各出个班各出个班各出1 1人，人，人，人，共有共有共有共有 种种种种有有有有 C C7 73 3 种，种

134、，种，种，C C7 71 1 +A +A7 72 2 +C +C7 73 3=84 =84 注意：本题易把注意：本题易把注意：本题易把注意：本题易把1010个名额看成个名额看成个名额看成个名额看成1010个不同的元素，从个不同的元素，从个不同的元素，从个不同的元素，从而得出错误的结果而得出错误的结果而得出错误的结果而得出错误的结果 解法二：将解法二：将解法二：将解法二：将1010人看成人看成人看成人看成1010个元素，这样元素之间共有个元素，这样元素之间共有个元素，这样元素之间共有个元素，这样元素之间共有9 9个空（两端不计）；个空（两端不计）；个空（两端不计）；个空（两端不计）； 例例例例1

135、 1 从从从从6 6个学校中选出个学校中选出个学校中选出个学校中选出3030名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛名学生参加数学竞赛, ,每校每校每校每校至少有至少有至少有至少有1 1人人人人, ,这样有几种选法这样有几种选法这样有几种选法这样有几种选法? ?C C9 96 6 从这从这从这从这9 9个空位里任选个空位里任选个空位里任选个空位里任选6 6个（即这个（即这个（即这个（即这6 6个位置放入隔板，个位置放入隔板，个位置放入隔板，个位置放入隔板，将其分为七部分），有将其分为七部分），有将其分为七部分），有将其分为七部分），有 种放法，种放法，种放法，种放法，如如如如 |

136、 | | | | | | 表示什么意义？表示什么意义？表示什么意义？表示什么意义？ 它表示表示第它表示表示第它表示表示第它表示表示第1 1个班个班个班个班1 1人，第人，第人，第人，第2 2个班个班个班个班2 2人，第人，第人，第人，第3 3个班个班个班个班1 1人，人，人，人，第第第第4 4个班个班个班个班1 1人，第人，第人，第人，第5 5个班个班个班个班3 3人，第人，第人，第人，第6 6、7 7个班各个班各个班各个班各1 1人人人人排列与组合的综合问题排列与组合的综合问题排列与组合的综合问题排列与组合的综合问题 解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分解排列组合问题，要正确使用分类计

137、数原理和分解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分解排列组合问题，要正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：法：法：法：解题思路：解题思路：解题思路：解题思路：1 1 特殊特殊特殊特殊( (元素元素元素元素, ,位置位置位置位

138、置) )优先法优先法优先法优先法: :2 2 科学分类法：科学分类法：科学分类法：科学分类法：3 3 插空法：插空法：插空法：插空法：4 4 捆绑法：捆绑法：捆绑法：捆绑法：5 “5 “分组分组分组分组” ”问题：问题：问题：问题：6 6 隔板处理隔板处理隔板处理隔板处理(4)(4)某女生一定要担任语文科代表某女生一定要担任语文科代表某女生一定要担任语文科代表某女生一定要担任语文科代表, ,某男生必须担任科代某男生必须担任科代某男生必须担任科代某男生必须担任科代 表表表表, ,但不担任数学科代表但不担任数学科代表但不担任数学科代表但不担任数学科代表1 1 特殊特殊特殊特殊( (元素元素元素元素

139、, ,位置位置位置位置) )优先法优先法优先法优先法: : 对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题对于特殊元素或者特殊位置的排列组合问题, ,我们我们我们我们可以从这些特殊的东西入手可以从这些特殊的东西入手可以从这些特殊的东西入手可以从这些特殊的东西入手, ,先解决特殊元素或特殊位先解决特殊元素或特殊位先解决特殊元素或特殊位先解决特殊元素或特殊位置置置置, ,再去解决其它元素或位置再去解决其它元素或位置再去解决其它元素或位置再去解决其它元素或位置, ,这种解法叫做特殊优先法这种解法叫做特殊优先法这种解法叫做特殊优先法这

140、种解法叫做特殊优先法. . 例例例例1: 1: 有有有有5 5个男生和个男生和个男生和个男生和3 3个女生，从中选取个女生，从中选取个女生，从中选取个女生，从中选取5 5人担任人担任人担任人担任5 5门门门门不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：不同学科的科代表，求分别符合下列条件的选法数：(3)(3)某男生必须包括在内某男生必须包括在内某男生必须包括在内某男生必须包括在内, ,但不担任数学科代表但不担任数学科代表但不担任数学科代表但不担任数学科代表(2)(2)某女生一定要担任语文科代表某女生一

141、定要担任语文科代表某女生一定要担任语文科代表某女生一定要担任语文科代表(1)(1)有女生但人数必须少于男生有女生但人数必须少于男生有女生但人数必须少于男生有女生但人数必须少于男生54005400种种种种=840=840种种种种=360=360种种种种前前前前4 4次中应有次中应有次中应有次中应有1 1件正品、件正品、件正品、件正品、3 3件次品，有件次品，有件次品，有件次品，有 种，种，种，种， 例例例例2 2 对某种产品的对某种产品的对某种产品的对某种产品的6 6件不同正品和件不同正品和件不同正品和件不同正品和4 4件不同次品一一进件不同次品一一进件不同次品一一进件不同次品一一进行测试，至区

142、分出所有次品为止，若所有次品恰好在第行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5 5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能能能能? ?解：第解：第解：第解：第5 5次必测出一次品，余下次必测出一次品，余下次必测出一次品，余下次必测出一次品，余下3 3件次品在前件次品在前件次品在前件次品在前4 4次被测出，次被测出，次被测出，次被测出， 从从从从4

143、4件中确定最后一件次品有件中确定最后一件次品有件中确定最后一件次品有件中确定最后一件次品有 种方法，种方法，种方法，种方法，前前前前4 4次测试中的顺序有次测试中的顺序有次测试中的顺序有次测试中的顺序有 种，种，种，种， 576576。 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不

144、紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生行解答，避免重复或遗漏现象发生行解答，避免重复或遗漏现象发生行解答，避免重复或遗漏现象发生 例例例例1 1 从从从从6 6名短跑运动员中选名短跑运动员中选名短跑运动员中选名短跑运动员中选4 4人参加人参加人参加人参加41004100米接力米接力米接力米接力, ,如如如如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？赛方法？赛方法？赛方法？2 2 科学分类法：科学分类法：科学分类法：科学分类法：解法一：解法一

145、：解法一：解法一： 问题分成三类：问题分成三类：问题分成三类：问题分成三类：（1 1）甲乙二人均不参加，有）甲乙二人均不参加，有）甲乙二人均不参加，有）甲乙二人均不参加，有 种；种；种；种；（2 2）甲、乙二人有且仅有）甲、乙二人有且仅有）甲、乙二人有且仅有）甲、乙二人有且仅有1 1人参加，有人参加，有人参加，有人参加，有2 2（）种；）种；）种；）种；（3 3）甲、乙二人均参加，有）甲、乙二人均参加，有）甲、乙二人均参加，有）甲、乙二人均参加，有（ 2 2）种）种）种）种共有共有共有共有252252种种种种 例例例例1 1 从从从从6 6名短跑运动员中选名短跑运动员中选名短跑运动员中选名短跑

146、运动员中选4 4人参加人参加人参加人参加41004100米接力米接力米接力米接力, ,如如如如果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参果其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，问共有多少种参赛方法？赛方法？赛方法？赛方法？解法二：六人中取四人参加的种数为解法二：六人中取四人参加的种数为解法二：六人中取四人参加的种数为解法二：六人中取四人参加的种数为减去甲跑第一棒时从剩余减去甲跑第一棒时从剩余减去甲跑第一棒时从剩余减去甲跑第一棒时从剩余5 5人中选人中选人中选人中选3 3人的排列组合数人的排列组合数人

147、的排列组合数人的排列组合数 再减去乙跑第四棒时从剩余再减去乙跑第四棒时从剩余再减去乙跑第四棒时从剩余再减去乙跑第四棒时从剩余5 5人中选人中选人中选人中选3 3人的排列组合数人的排列组合数人的排列组合数人的排列组合数 再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余再加上甲跑第一棒且乙跑第四棒时从剩余4 4人中选人中选人中选人中选2 2人的排列组合数人的排列组合数人的排列组合数人的排列组合数252252种种种种 对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分对于带有限制条件的排列、组合综合题，

148、一般用分对于带有限制条件的排列、组合综合题，一般用分类讨论或间接法两种。类讨论或间接法两种。类讨论或间接法两种。类讨论或间接法两种。 例例例例2 2 由数字由数字由数字由数字1 1，2 2，3 3，4 4，5 5可以组成无重复的可以组成无重复的可以组成无重复的可以组成无重复的5 5位位位位数，从小到大排队；数，从小到大排队；数，从小到大排队；数，从小到大排队；1 1）4325143251是第几个数；是第几个数；是第几个数；是第几个数；2 2）第）第）第）第9393个数是多少？个数是多少？个数是多少？个数是多少？3 3 插空法：插空法：插空法：插空法： 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后

149、插入解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决其余元素，使问题得以解决其余元素，使问题得以解决其余元素，使问题得以解决 例例例例1 1 有两排座位，前排有两排座位，前排有两排座位，前排有两排座位，前排1111个座位，后排个座位，后排个座位，后排个座位，后排1212个座位，个座位，个座位，个座位，现安排现安排现安排现安排2 2人就座，规定前排中间的人就座，规定前排中间的人就座，规定前排中间的人就座，规定前排中间的3 3个座位不能坐，并且个座位不能坐，并且个座位不能坐，并且个座位

150、不能坐，并且这这这这2 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是：人不左右相邻，那么不同排法的种数是：人不左右相邻，那么不同排法的种数是：人不左右相邻，那么不同排法的种数是：前后各一个，有前后各一个，有前后各一个，有前后各一个，有81228122192192种方法种方法种方法种方法解法一：解法一：解法一：解法一：前排左、右各一人：共有前排左、右各一人：共有前排左、右各一人：共有前排左、右各一人：共有4424423232种方法种方法种方法种方法两人都在前排左边的四个位置：两人都在前排左边的四个位置：两人都在前排左边的四个位置：两人都在前排左边的四个位置：两人都在前排：两人都在前排：两人都在前排：两人

151、都在前排：此种情况共有此种情况共有此种情况共有此种情况共有4 42 26 6种方法种方法种方法种方法两边都是两边都是两边都是两边都是4 4个位置个位置个位置个位置, ,所以坐在第一排总共有所以坐在第一排总共有所以坐在第一排总共有所以坐在第一排总共有6 66 61212种方法种方法种方法种方法 两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右 有有有有19219232321212110110346346种种种种 例例例例1 1 有两排座位，前排有两排座位，前排有两排座位，前排有两排座位，前排1111个

152、座位，后排个座位，后排个座位，后排个座位，后排1212个座位，个座位，个座位，个座位，现安排现安排现安排现安排2 2人就座，规定前排中间的人就座，规定前排中间的人就座，规定前排中间的人就座，规定前排中间的3 3个座位不能坐，并且个座位不能坐，并且个座位不能坐，并且个座位不能坐，并且这这这这2 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是：人不左右相邻，那么不同排法的种数是：人不左右相邻，那么不同排法的种数是：人不左右相邻，那么不同排法的种数是：解法二：考虑解法二：考虑解法二：考虑解法二：考虑2020个位置中安排两个人就坐，个位置中安排两个人就坐，个位置中安排两个人就坐，个位置中安排两个人就坐，并且这两

153、人左右不相邻，并且这两人左右不相邻，并且这两人左右不相邻，并且这两人左右不相邻， 4 4号座位与号座位与号座位与号座位与5 5号座位不算相邻，号座位不算相邻，号座位不算相邻，号座位不算相邻，9 9号座位与号座位与号座位与号座位与1010号座位号座位号座位号座位不算相邻，不算相邻，不算相邻，不算相邻，共有共有共有共有 种种种种4 4 捆绑法：捆绑法：捆绑法：捆绑法： 相邻元素的排列相邻元素的排列相邻元素的排列相邻元素的排列, ,可以采用可以采用可以采用可以采用“ “整体到局部整体到局部整体到局部整体到局部” ”的排法的排法的排法的排法, ,即即即即将相邻的元素当成将相邻的元素当成将相邻的元素当成

154、将相邻的元素当成“ “一个一个一个一个” ”元素进行排列元素进行排列元素进行排列元素进行排列, ,然后再局部排然后再局部排然后再局部排然后再局部排列列列列. . 例例例例1 1 在一块并排在一块并排在一块并排在一块并排1010垄的田地中垄的田地中垄的田地中垄的田地中, ,选择选择选择选择2 2垄分别种植垄分别种植垄分别种植垄分别种植A,BA,B两两两两种作物种作物种作物种作物, ,每种作物种植一垄每种作物种植一垄每种作物种植一垄每种作物种植一垄, ,为有利于作物生长为有利于作物生长为有利于作物生长为有利于作物生长, ,要求要求要求要求A,BA,B两种作物的间隔不小于两种作物的间隔不小于两种作物

155、的间隔不小于两种作物的间隔不小于6 6垄垄垄垄, ,则不同的选垄方法共有多少则不同的选垄方法共有多少则不同的选垄方法共有多少则不同的选垄方法共有多少种种种种? ?（3 3）若）若）若）若A A、B B之间隔之间隔之间隔之间隔8 8垄，有垄，有垄，有垄，有A A2 22 2种方法种方法种方法种方法. .解解解解: A,B: A,B两种作物的间隔至少两种作物的间隔至少两种作物的间隔至少两种作物的间隔至少6 6垄垄垄垄, ,至多至多至多至多8 8垄垄垄垄, ,分分分分3 3种情况：种情况：种情况：种情况：（1 1）若）若）若）若A A、B B之间隔之间隔之间隔之间隔6 6垄，这样的选垄方法有垄，这样

156、的选垄方法有垄，这样的选垄方法有垄，这样的选垄方法有3A3A2 22 2种种种种. .（2 2）若）若）若）若A A、B B之间隔之间隔之间隔之间隔7 7垄，这样的选垄方法有垄，这样的选垄方法有垄，这样的选垄方法有垄，这样的选垄方法有2A2A2 22 2种种种种. .5 “5 “分组分组分组分组” ”问题：问题：问题：问题：（6 6）摆在）摆在）摆在）摆在3 3层书架上，每层层书架上，每层层书架上，每层层书架上，每层2 2本，有多少种不同的摆法？本，有多少种不同的摆法？本，有多少种不同的摆法？本，有多少种不同的摆法？例例例例1 1 有有有有6 6本不同的书本不同的书本不同的书本不同的书（1 1

157、）甲、乙、丙）甲、乙、丙）甲、乙、丙）甲、乙、丙3 3人每人人每人人每人人每人2 2本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？本，有多少种不同的分法？（2 2）分成）分成）分成）分成3 3堆堆堆堆, ,每堆每堆每堆每堆2 2本本本本, ,有多少种不同的分堆方法？有多少种不同的分堆方法？有多少种不同的分堆方法？有多少种不同的分堆方法？（3 3）分成）分成）分成）分成3 3堆，一堆堆，一堆堆，一堆堆，一堆1 1本，一堆本，一堆本，一堆本，一堆2 2本，一堆本，一堆本，一堆本，一堆3 3本，有多少种本，有多少种本，有多少种本，有多少种 不同的分堆方法？不同的分堆方法？不

158、同的分堆方法？不同的分堆方法？（4 4）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙）分给甲、乙、丙3 3人，一人人，一人人，一人人，一人1 1本，一人本，一人本，一人本，一人2 2本，一人本，一人本，一人本，一人3 3本本本本, , 有多少不同的分配方法？有多少不同的分配方法？有多少不同的分配方法？有多少不同的分配方法？（5 5）分成）分成）分成）分成3 3堆，有堆，有堆，有堆，有2 2堆各一本，另一堆堆各一本，另一堆堆各一本，另一堆堆各一本，另一堆4 4本，有多少种不同本，有多少种不同本，有多少种不同本，有多少种不同 的分堆方法？的分堆方法？的分堆方法？的分堆方法？6 6 隔板处理隔板处

159、理隔板处理隔板处理 例例例例1 1 （1 1）1010个优秀指标分配给个优秀指标分配给个优秀指标分配给个优秀指标分配给6 6个班级，每班至少个班级，每班至少个班级，每班至少个班级，每班至少一个，共有多少种不同的分配方法？一个，共有多少种不同的分配方法？一个，共有多少种不同的分配方法？一个，共有多少种不同的分配方法？ （2 2）1010个优秀名额分配到一、二、三个优秀名额分配到一、二、三个优秀名额分配到一、二、三个优秀名额分配到一、二、三3 3个班，若名额个班，若名额个班，若名额个班，若名额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？数不少于班级序

160、号数，共有多少种不同的分配方法？数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？解解解解: :按指标的个数进行分类按指标的个数进行分类按指标的个数进行分类按指标的个数进行分类, ,讨论比较复杂讨论比较复杂讨论比较复杂讨论比较复杂, ,可构造模型，可构造模型，可构造模型，可构造模型，即用即用即用即用5 5个隔板插入个隔板插入个隔板插入个隔板插入1010个指标中的个指标中的个指标中的个指标中的9 9个空隙，即个空隙，即个空隙，即个空隙，即即为所求。即为所求。即为所求。即为所求。先拿先拿先拿先拿3 3个指标分别给二班个指标分别给二班个指标分别给二班个指标分别给二班1 1个，三班个，三班个，三班个，三班2 2个，个，个，个，则问题转化为则问题转化为则问题转化为则问题转化为7 7个优秀名额分给三个班，每班至少一个个优秀名额分给三个班，每班至少一个个优秀名额分给三个班，每班至少一个个优秀名额分给三个班，每班至少一个同同同同得得得得即为所求。即为所求。即为所求。即为所求。