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1、平面向量学法指导平面向量学法指导向量是近代数学中重要和基本的概念之一， 有着极其丰富的数学和物理背景；同时它也是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，在表述和解决相关问题中有着重要应用。在本模块的学习中，我们首先将了解向量丰富的数学背景 （有向线段）和物理背景（位移、速度、力和做功） 。有向线段具有长度和方向，向量也具有大小和方向，两者的几何特征是完全一致的，因此我们常用有向线段来表示一个向量。向量也是对物理学中的矢量的进一步抽象， 因此我们在学习中可以将向量和矢量对照学习，尤其是向量的正交分解、加减、数乘与数量积运算。向量的运算的学习要从一些实例开始， 如从位移的合成引入向量的加法（减法） ，
2、从速度的倍数引入数乘向量，从“做功”引入向量的数量积。同时我们要注意充分利用几何图形语言 ,从图形直观上获得解题的思路甚至直接获得解法。在学习中我们要注意到利用向量法解决有关几何问题、 力学问题和其它一些实际问题，如距离、角度等的计算以及各种空间关系如垂直、平行等的论证，发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。由r2raa2r rrrrrab a bcos和线段长度的向量法 ；由（为向量a , b夹角） ，rra b知cos =r r a bx1x2 y1y2x x2212rr2可知，a a x2 y2(x2 x1)2(y2 y1)2，此即求距离y y2212,利用这个公式可以求已知方向向量的
3、两条直线的夹角；求两条直线夹角常见如已知两条直线方程，则可由方程求出方向向量进而求夹角； 再如，判断两条直线的位置关系，求直线方程，求符合某些条件的曲线方程等，均可利用向量法进行； 另外， 由于空间向量是平面的自然推广， 由于向量的平移不变性，每两个空间向量均可视为两个平面向量，所以在立体几何中模块中，对向量的应用将更加广泛，对空间垂直、平行关系的判断与证明、对空间角度与距离的求解等利用向量均有很好的解法。因此在学习中要注意引导学生形成向量几何观念， 掌握一些常见问题的处理方法，初步形成向量几何的方法体系。练习一（1.从位移、速度、力到向量）1、下列说法正确吗？物理中的矢量是既有大小又有方向的
4、量， 所以只要两个矢量的大小和方向都一致，就是相等的矢量；数学中规定，具有方向和长度的线段称为有向线段， 所以两条有向线段相等只要它们的长度和方向一致即可；一个矢量就是一个向量；一个向量就是一条有向线段，一条有向线段就是一个向量。2、一张正方形桌子边长1m，一只小蚂蚁从桌子东南角出发，沿直线爬到西北角；另一只小蚂蚁从桌子东南角出发，沿桌子边沿先爬到西南角，再爬到西北角。试选择适当的比例尺，画出这两只小蚂蚁的位移；试问：这两只小蚂蚁的位移一样吗？为什么？3、下列说法正确的是（）rr rrrrA.若a P b， b P c , 必有a P c .r rrrrrB. 若aPb,且|a|10,|b|5
5、,那么有a b.rrr rC . 若a P b , 那么a， b同向.rrrrrrD. 若 a Pb,且 | a | b |, 那么有 a b.4、在平行向量不一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；不共线的向量一定不相等；平行于同一个向量的两个向量是共线向量中，正确的命题有5、两个正三角形交叉叠放如图，各交点为所在边的中点，试找出图中分别相等、相反的向量。ABCDEFGH6、试用有向线段表示下列事件中出现的矢量（位移或速度） ：某次台风中心风速达到了每秒 45 米，从沿海某地登陆后向西南方向移动；某缉私艇从中心出发，向东南方向行驶15 浬到达 A 岛后，又向正东
6、行驶 10 浬到达目的地；7、下列说法正确的是（）A、零向量是长度为零的向量，没有方向；B、单位向量是长度为单位 1 的向量，也没有方向；C、零向量没有方向，但单位向量有方向；D、零向量和单位向量都有方向。8、两个向量平行或共线在本质上是一致的，指的都是表示这两个向量的有向线段所在直线平行或重合； 、两条有向线段平行或共线在本质上也是一致的；、零向量和任何向量都是共线向量；、任何两个零向量都是相等的向量； 、 如果不知道两个零向量的方向，那么我们就无法断定这两个零向量是否相等。 在以上说法中，正确的有_。思考探索交流思考探索交流一位年轻的父亲将不会走路的小孩的两条胳膊悬空拎起， 结果造成小孩胳
7、膊受伤，试用所学知识加以解释。练习二（2.从位移的合成到向量的加法）1、如图，已知向量 a a，b b，求作 a a+b b，a a - - b b，b b - a a，a a - - b b+a a，a a+b b - a a。b ba a2、一条小船渡河，当河水静止时，小船航行的速度大小是6 千米/小时， 方向北偏西 30o。 某日河水的速度大小是 3 千米/小时， 方向正东。问小船到岸时的实际运动速度的大小和方向如何？3、 已知向量 a,b,ca,b,c 分别表示物体 A 受到的三个方向上的力： 西北方向2N，正东方向2N，正南方向2N，试求物体 A 受到的合力。uuuur uuuur4
8、、若 M 是线段 AB 的中点，则AMAMBMBM（）uuu ruuu rAABABBBABAC0 0D以上均不正确5、下列说法或表达式中，正确的是（）A、若向量 a a+m m=b b+m m，则向量 a a=b b；B、若向量 a+b=c+da+b=c+d，则向量 a=ba=b 且 c=dc=d，或向量 a=ca=c 且 b=db=d。uuu ruuu ruuu rC、AB BC CA o.uuu ruuu ruuu ruuu rD、AB AC AD BD6、化简下列各式uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r（ ）、BAACDECEEDEBuuuuruu
9、u r uuu ruuu u r uuur（ MBBN ） （ BMAB ）=（ ）、NMuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r（ ）、AB BC CD DE EA 7、如图，在任意四边形ABCD 中，E，F 分别是 AD，BC 中点。求证：uuu ruuu ruuu ruuu rAB DC EF EF。 E D A B C FA AE ED DB BF FC Cuuu ruuu ruuu ruuu r8、O 是平行四边形 ABCD 外任意一点，求证：OAOC OBOD。ODCAB思考探索交流思考探索交流如图， 用两根绳子吊起一重物 W， ACW=150，BCW=120，且测得A
10、处所受力的大小为5 3kg，B 处所受力的大小为 5kg，求重物W 的重量。练习三（2 向量的减法）1、已知向量 a,b,ca,b,c,求作：、a-ba-b；、a+b-ca+b-c;、a-b+ca-b+c;、a-b-ca-b-ca ab bc c2、已知向量 a,b,ca,b,c，d d 分别表示下列位移： “向东南 50 米” 、 “向东 20米” 、 “向西 10 米” 、 “向北 30 米” ，请说明向量a+a-aa+a-a，a+b-ca+b-c，a+c-da+c-d的意义。3、填空：uuu ruuu ruuu r（ ）、AB AC BC ；uuu ruuu ruuu r（ ）、OBCO
11、 BC ；uuu ruuu r uuu ruuu r（ACBC ）-AD （ ）、AB；rr4、已知向量a a=“向南走 30km” ，b b=“向东走 20km” ，则rra ab b=_，rra a b brrr=_，a a b b与a a所在直线的夹角rra a b br与a a所在直线的夹角的正弦值的余弦值 =_，=_。5、下列说法正确的是（）A、若B、若rrrra a b ba a b brrrra a b ba a b brr，则a a,b b所在直线互相垂直。，则b b=0 0。rrrrrrrrC、若a a b b a a b b，则b=0 0。D、以上都不对。uuu ruuuu
12、 ruuuu r（ ）6、如图.点 M 是ABC的重心,则MA BM CM rr7、当两个向量a，b不共线时，求证：| a | | b | a b | |AM|rrrr|a | |b|a b|;即在uuu rrrrrrr中,CB ab,又 AB AC BC , a b ab ;rrrr在ABM 中,|AB|-|BM|AM|,| a | | b | a b |;ABCrrrr在ABC 中, |AB|-|AC|BC|,| a | |b| a b|;综上所述,命题得证.2、思考探索交流提示： 重物被拉至最高点处的受力分析如图。 利用解三角形知识可求得此时离开原位置的高度为 40cm. 。练习四.1.
13、 略;2. 略;rrrrrrr3rQ (2a3b)P(0.5akb),且2a3b 4(0.5ab),43. 解:3k .44.uuu r uuu r证明：如图，A 与 B，C 共线，则BAPBC，uuu ruuu r所以存在R,使BA BC,uuu ruuu ruuu ruuu r即PA PB (PC PB),uuu ruuu ruuu rPA (1)PBPC,令k 1, m,uuu ruuu ruuu r则PA kPBmPC,且k m 1.5. 解:若=60o,滑动摩擦力大小为259.83 424.4N,方2向沿斜面向上;支持力大小为259.8122.5N,方向垂直斜面向上;若=45o,滑动
14、摩擦力和支持力大小均为259.8沿斜面向上和垂直斜面向上.6.2173.2N,方向分别212uuuu ruuu ruuu r证明:MN AN ANr1uuu r1uuuAC AB22ruuu rr1uuu1uuu(AC AB) BC.227.证明:uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu rQAP AB BP且AP AC CPuuu ruuu ruuu ruuu ruuu r 2AP AB BP AC CPuuu ruuu ruuu ruuu r AB AC (BPCP)uuu ruuu r AB ACuuu r1uuu ruuu r AP (AB AC)28.证明:uuuu
15、ruuu ruuu ruuu rQMN MA AB BNuuuu ruuu u ruuu ruuu rMN MD DC CNuuuu ruuu ruuu u ruuu ruuu ruuuu ruuu r 2MN (MA MD)(AB DC)(BN CN)uuu ruuu r AB DCuuuu r1uuu ruuu r MN (AB DC).2思考探索交流提示：k=-1。练习五.1. A;2. D;3. 1;uuu ruuu ruuu r4.AB (6,8), AB BC (10,2);rrrr5.2a b (5,6), a 3b (1,4);6. 0;7. x+2y-5=0.思考探索交流思考
16、探索交流提示： 3。2练习六1. D;2. B;3. B;4. C(3,3); C(2,)或(4, );5. 证明:rrra (x1, y1) x1i y1jrrrb (x2, y2) x2i y2jr rrrrr a+b (x1i y1j)+(x2i y2j)rr = (x1+x2)i(y1 y2)j =(x1+x2, y1 y2).43836. 设 A(1,0),B(0,2),C(-1,-2).设第四个顶点 M(x,y).若对角线是AB,CM,则由它们中点的坐标为(0.5,1)可求得 M(2,4);若对角线是AC,DM,则由它们的中点坐标为(0,-1)可求得 M(0,-4);若对角线是BC
17、,AM,则由它们的中点坐标为(-0.5,0)可求得 M(-2,0).7. x=6.思考探索交流思考探索交流提示：G(x1 x2 x3y1 y2 y3,)。33练习七.1. D;2. D;3. D;4. B;r rrrr rb a b cosa,b3;5. agr rrrr rb a b cos a,b 3;agr rrrr rb a b cosa,b 2;agr rrrr rb a b cosa,b 0;agrrrrr2r rr2(2ab)g(a2b) 2a 3ag b2b 23 3 8 3 3 6.7.rrrrr2r rr2(2ab)g(a2b) 2a 3ag b2br r 63ag b 3
18、,r rr rag b 1即2cos a,b 1r r1cos a,b 2r r a,b 120o.思考探索交流提示：40Nm。练习八1、B；2、120；3、rrba；44、C；r rrr rrrrr rrr5、解： 因为(a2b) a,(b2a) b， 所以ag(a2b) 0且bg(b2a) 0;r2r2r rr2r r r2r r从而得到a 2ag b,b 2ag b，从而a b 2agb 0，所以得到rra与b的夹角为 0。6、证明：uuu ruuu ruuuu r uuu rAB ACuuu ruuu rAMgBC g(AB AC)2uuu r2uuu r2AB AC 02所以 AMB
19、C。7、证明：如图在等腰梯形ABCD中,ABPDC,uuu ruuu r所以可设AB DC,uuu ruuu ruuu ruuu r又因为DC DA AB BC,uuu ruuu ruuu ruuu ruuu rDA BCBC AD所以DC 11,uuu ruuu r uuu ruuu ruuuu r uuu rBC AD BC AD从而MNgDC g21uuu r2uuu r2BC AD 0.2(1)所以，MNDC。思考探索交流解法一: AB AC, AB AC 0.提示： AP AQ,BP AP AB,CQ AQ AC,BPCQ (AP AB)(AQ AC) AP AQ AP AC AB
20、AQ AB AC a2 AP AC AB AP a2 AP(AB AC)1PQBC21 a2PQBC2 a2 a2cos. a2故当cos1,即 0(PQ与BC方向相同)时,BPCQ最大.其最大值为0.解法二：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.设| AB | c | AC | b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且| PQ | 2a,| BC | a.设点P的坐标为(x, y),则Q(x,y).BP (x c, y),CQ (x,y b),BC (c,b),PQ (2x,2y).BPCQ (x c)(x) y(y b) (x2 y2)
21、 cx by. cosPQBC| PQ | BC |cx by.2acx by a2cos.BPCQ a2 a2cos.故当cos1,即 0(PQ与BC方向相同)时,BC CQ最大,其最大值为0.练习九rrrrrrrr28 793（a 2b） （ g a b)=-56；|a 2b |=61；| a b |=52；cos.1、7932、-1;3、6；4、13；5、；6、y=1；7、cos10.174思考探索交流思考探索交流uuu r4 17提示：Z（4，2） ，OZ=（4，2） ，cosAZB=.17练习十1、B；2、C；3、A；4、B；5、3x+2y-2=0;6、2x-3y+4=0;7、k=;
22、d=1217 5.5思考探索交流思考探索交流提示：由题意知，x2+x4=x1+x3，y2+y4=y1+y3，从而获知AC 和 BD 的中点重合，从而四边形ABCD 为平行四边形。练习十一1、49 2；2、50m;2m/s;3、33；4、B；5、G(6、t=x1 x2 x3y1 y2 y3,)；3315;27、x+y-5=0;思考探索交流提示：最大仰角在人离塔最近时取得， 此时可由平面几何知识知离塔为103米，进而可求得塔高为 10 米。单元测试题一、 DADCCCACBD；二、 1、;2、-25；3、 （-3，-4） ；4、120；三、 1、6 或 10；2、 x=2,y=3;3、x 、uuuu ruuu ruuu ruuu rMN MA AB BNuuu u ruuu ruuu r =MD DC CNuuu ruuu ruuuu rAB DC MN 211, y ;10534、设中点为，则（，） 。uuu r uuu rQ ABgAC 0,P为圆心2122521圆方程可求得x-y 142
