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1、 第二讲第二讲 研究函数与极限研究函数与极限 的的 基本方法基本方法1函数函数研究的对象研究的对象极限极限研究的工具研究的工具连续连续研究的桥梁研究的桥梁微积分学的基础微积分学的基础参考参考 : 第一章 (第一节, 第二节)(英 1642-1727)(德1646-1716)(法1789-1857)2 1-1 函数和连续的概念、性质和应用函数和连续的概念、性质和应用一一. 方法指方法指导导1. 对函数的理解和讨论对函数的理解和讨论(1) 定义定义定义域 对应规律值域基本要素基本要素定义域定义域使表达式及实际问题有意义的自变量取值集合 .对应规律对应规律表示方式:图象法; 表格法 .解析法;值域值
2、域3(2) 基本特基本特性性有界性 ,单调性 ,奇偶性,周期性.(3) 基本结构基本结构基本初等函数复合运算反演运算初等函数非初等函数分段函数级数表示的函数四则运算有限次运算且用一个式子表示4(4) 常用的等式与不等式常用的等式与不等式52. 函数的连续与间断函数的连续与间断(1) 连续性的等价形式连续性的等价形式在连续当时6(2) 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质(P4 , 5)有界定理 ; 最值定理 ;介值定理 ;零点定理 (3) 函数的间断点函数的间断点第一类间断点第一类间断点可去间断点:跳跃间断点:第二类间断点第二类间断点无穷间断点振荡间断点二二. 实例分析实例分析7例例1
3、. 设其中求解解: 令令则代入原方程得即再令再令则代入上式得即将将 , 两式与原方程原方程联立,解得8例例2. 设其中满足判断的奇偶性.解解: 令则故为奇函数为奇函数 .又令 y = 0 ,得故而故为奇函数为奇函数 .因此为偶函数 .9例例3. 求常数k及函数g(x),使函数为连续的奇函数。解解: 连续的奇函数有 f (0) = 0, 即而所以10例例4. 设求解解:当时; 当时,11例例5. 设证明但证证: 在 (0,1) 中取点列在 (0,1 上无界,则有显然 ,在 (0,1 上无界 .但 , 若取点列则而故(P8.例例4)12的间断点 , 并 x = 1 为第一类可去间断点可去间断点 x
4、 = 1 为第二类无穷间断点无穷间断点 x = 0 为第一类跳跃间断点跳跃间断点例例6.求函数判别间断点的类型 .解解:所以 f (x) 有间断点 13例例7.7.设函数 (2008(2008考研考研) )解解: :只有两个间断点则 有（ ）；1个可去间断点，1个跳跃间断点； 1个可去间断点，1个无穷间断点；2个跳跃间断点； 2个无穷间断点。为可去间断点； 为跳跃间断点。14例例8. 讨论下述函数的连续与间断问题(P8.例例5(1)解解:显然 ,在区域上连续 .因故 x =1 为第二类无穷间断点.151-2 求极限的方法求极限的方法 (P13 第二节第二节)一一. 方法指导方法指导1. 求极限
5、的基本方法求极限的基本方法 (P16-P19)(1) 已知极限值利用极限定义验证(用“ - N ” 或 “ - ”语言)(2) 未知极限值先判别极限存在后再求极限根据法则演算, 判定与计算同时进行.16求极限的基本方法求极限的基本方法 1）用验证极限的定义。8) 用极限运算法则与函数的连续性求极限。2）用消去不定型法求极限。3）用有界函数与无穷小乘积仍为无穷小的结论求极限。5）用等价无穷小的替代定理求极限。6）用变量代换求极限。4）用两个重要极限公式求极限。7）用左、右极限存在且相等的方法求极限。9）用函数极限和数列极限的关系求极限。10）利用极限存在准则求极限。1712）用导数的定义或定积分
6、定义求极限。13）利用微分中值定理求极限。14）利用泰勒公式求极限。16）用无穷级数的有关知识求极限。11）用洛必达法则求极限。15）用积分中值定理求极限。17） 其他。182.求未定式的极限的方法求未定式的极限的方法通分通分转化转化取倒数取倒数转化转化取对数取对数转化转化3. 求极限的基本技巧求极限的基本技巧(1) 定式部分应尽早求出; 各种方法注意综合使用.(2) 注意利用已知极限的结果 .例如, 当 时时速度一个比一个快 .19(3) 善于利用等价无穷小替换利用麦克劳林公式找等价无穷小当时替换定理替换定理（整个分子、整个分母或分子分母乘积的因子）20当 x 0 时, 有下列常用等价无穷小
7、 : ( P16)一般形式，如：21设对同一变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, (1) 和差取大规则和差取大规则: 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. 若 = o() , 例如例如,证明证明练习练习、求 22例如例如,(2) 和差代替规则和差代替规则: 23(3) 因式代替规则因式代替规则:界, 则例如例如,例例4. 求解解: 原式 24如, 利用导数定义 ,微分中值定理 ,泰勒公式等求极限 .3. 判断极限不存在的主要方法判断极限不存在的主要方法 (P22, 6)(1) 对分段函数, 在界点处讨论左右极限 ;(2) 利用数列极限与函数极限的关系 ;(3) 利用反证法
8、, 设极限存在推出矛盾.(4) 注意用求极限的特殊方法 25例例1. 求解解:原式二二. 实例分析实例分析26例例2. 求型解解:令 有例例3. 求型解解:不能直接用洛必达法则 !令则原式说明说明: 有许多极限问题可通过变量代换使其简化 . 再如, P27 例727例例4. 求（洛必达法则或泰勒公式）2008考研考研28例例5. 设解解: 利用前一极限式可令再利用后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故29例例6. 求解解:原式 = 1 .30例例7. 求函数解解:当时的等价无穷小.时 与小，求C. 解 是等价无穷则例例831练习练习 已知，(1)求的值，(2)当时，是求常数解解 由题意 (
9、1)；的同阶无穷小,的值。2012考研32(2) 因为，则可知当 时，因此 与x是同阶无穷小，33例例9. 求型证证:原式对指数用洛必达法则34例例10、求解解 令 则35例例11 求极限求极限2010考研考研36解解2011考研考研37当当2011考研考研设时，同样可得时，当原式383、所以因为2012考研考研39解解: 例例12 1、 求一般，若则402、计算2012考研考研41例例13. 求( P43 题题21(3) )解解:原式=利用42例例14. 解解: 因为当或所以所以43例例15. 设在 x = 0 的某邻域内二阶可导, 且求及的值.解解:代入, 得44例例16. 求型直接用洛必
10、达法则繁 !解决办法巧用泰勒公式巧用泰勒公式解解:见见 P70见见 P70 原式45说明说明 利用泰勒公式求极限 (P31例例12) 利用导数定义求极限(P29例例9(1) ; P30 例例10) 利用微分中值定理求极限(P31例例11) 求极限的特殊方法求极限的特殊方法: 利用定积分定义求极限 (P29例例9(2) 46例例1747例例18.解解: 原式48例例19. 解法解法1: 原式故于是而试确定常数 a , b 使(P34 例例14)49例例19. 解法解法2: 因试确定常数 a , b 使(P34 例例14)利用时得50例例20. 解解: 设由夹逼准则得求51例例21. 设证明证明:
11、严格单调增加，且有界，则证明存在。 时，有连续存在，严格单调增加，且有界，所以存在，则存在。或者存在。52例例2222 设数列满足（1）证明存在，并求之，（2）计算解解（1）因为 则当时，单调减少。又有下界，根据准则，存在，（2）递推公式两边取极限得2009考研考研53例例23. 设证明证明:设得则单调减少，且有下界，存在。即54例例24分解 55例例2556例例2657例例2727求的间断点，所以 是第一类间断点，时，使 所以 为第一类间断点，且可去间断点。并说明其类型.解解可能的间断点：分段点当58不存在，为第二类间断点，为第二类间断点，时， 无定义，不存在，为第二类间断点.当当例例27 27 求的间断点，并说明其类型.59例例28. 小球从 1 米米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球是否会停止运动 ? 若会停止, 何时停止 ?解解: 已知自由落体运动规律设小球第 k 次落下的时间为则小球停止运动的时间为(秒)60阅读与练习阅读与练习P13 第二节 ( 除 P27 例8(3) ; P29 例9(2) ; P39 例20 ; P40 例21 )61
