《高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.1 排列、组合课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.1 排列、组合课件（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十一章 计数原理11.1 排列、组合高考数学高考数学(浙江专用)考点排列、组合考点排列、组合1.(2017课标全国理,6,5分)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成 , 则 不 同 的 安 排 方 式 共 有()A.12种B.18种C.24种D.36种五年高考答案答案D本题主要考查排列、组合.第一步:将4项工作分成3组,共有种分法.第二步:将3组工作分配给3名志愿者,共有种分配方法,故共有=36种安排方式,故选D.方法总结方法总结分组、分配问题分组、分配问题是排列组合的综合问题,解题思想是先分组后分配.(1)分组问题属于“组合”问题,常见的分组方法有三种:完全均匀
2、分组,每组元素的个数都相等;部分均匀分组,应注意不要重复;完全非均匀分组,这种分组不考虑重复现象.(2)分配问题属于“排列”问题,常见的分配方法有三种:相同元素的分配问题,常用“挡板法”;不同元素的分配问题,利用分步乘法计数原理,先分组,后分配;有限制条件的分配问题,采用分类法求解.2.(2016课标全国,5,5分)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A.24B.18C.12D.9答案答案B分两步,第一步,从EF,有6条可以选择的最短路径;第二步,从FG,有3条可以选择的最短路径.由分步乘法计数
3、原理可知有63=18条可以选择的最短路径.故选B.3.(2016四川,4,5分)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A.24B.48C.60D.72答案答案D奇数的个数为=72.4.(2016课标全国,12,5分)定义“规范01数列”an如下:an共有2m项,其中m项为0,m项为1,且对任意k2m,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,若m=4,则不同的“规范01数列”共有()A.18个B.16个C.14个D.12个答案答案C当m=4时,数列an共有8项,其中4项为0,4项为1,要满足对任意k8,a1,a2,ak中0的个数不少于1的个数,则必有a1=0,a
4、8=1,a2可为0,也可为1.(1)当a2=0时,分以下3种情况:若a3=0,则a4,a5,a6,a7中任意一个为0均可,则有=4种情况;若a3=1,a4=0,则a5,a6,a7中任意一个为0均可,有=3种情况;若a3=1,a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况;(2)当a2=1时,必有a3=0,分以下2种情况:若a4=0,则a5,a6,a7中任一个为0均可,有=3种情况;若a4=1,则a5必为0,a6,a7中任一个为0均可,有=2种情况.综上所述,不同的“规范01数列”共有4+3+2+3+2=14个,故选C.评析评析本题是新定义问题,考查学生分析问题、解决问题的能力
5、,理解“规范01数列”的定义并分类讨论是解题关键,属难题.5.(2015四川,6,5分)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个答案答案B数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2=48个;同理,以5开头的有3=72个.于是共有48+72=120个,故选B.评析评析本题考查了分类与分步计数原理、排列数的知识.考查学生分析问题、解决问题的能力.6.(2014广东,8,5分)设集合A=(x1,x2,x3,x4
6、,x5)|xi-1,0,1,i=1,2,3,4,5,那么集合A中满足条件“1|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|3”的元素个数为()A.60B.90C.120D.130答案答案D设t=|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|,t=1说明x1,x2,x3,x4,x5中有一个为-1或1,其他为0,所以有2=10个元素满足t=1;t=2说明x1,x2,x3,x4,x5中有两个为-1或1,其他为0,所以有22=40个元素满足t=2;t=3说明x1,x2,x3,x4,x5中有三个为-1或1,其他为0,所以有222=80个元素满足t=3,从而,共有10+40+80=130个元素满足1t
7、3.故选D.评析评析本题考查了分类、分步计数原理及组合数的综合应用,考查了学生分类讨论的能力.解题的关键在于对t的可能取值进行分类讨论.7.(2014重庆,9,5分)某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺 序 , 则 同 类 节 目 不 相 邻 的 排 法 种 数 是()A.72B.120C.144D.168答案答案B 先 不 考 虑 小 品 类 节 目 是 否 相 邻 , 保 证 歌 舞 类 节 目 不 相 邻 的 排 法 共 有=144种,再剔除小品类节目相邻的情况,共有=24种,于是符合题意的排法共有144-24=120种.8.(2014安徽,8,5分)从
8、正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60的共有()A.24对B.30对C.48对D.60对答案答案C利用正方体中两个独立的正四面体解题,如图,它们的棱是原正方体的12条面对角线.一个正四面体中两条棱成60角的有(-3)对,两个正四面体有(-3)2对.又正方体的面对角线中平行成对,所以共有(-3)22=48对.故选C.9.(2014辽宁,6,5分)6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()A.144B.120C.72D.24答案答案D先把三把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把三人带椅子插放在四个位置,共有=24种放法,故选D.评析评析本题主要考查排
9、列组合内容及逻辑思维能力,解决不相邻问题采用插空法.10.(2014大纲全国,5,5分)有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医 疗 小 组 . 则 不 同 的 选 法 共 有()A.60种B.70种C.75种D.150种答案答案C从6名男医生中选出2名有种选法,从5名女医生中选出1名有种选法,由分步乘法计数原理得不同的选法共有=75种.故选C.11.(2017浙江,16,4分)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,共有种不同的选法.(用数字作答)答案答案660解析解析本题考查计数原理、排列、组合,排列
10、数、组合数计算,利用间接法解决“至少”类的组合问题,考查推理运算能力.从8人中选出4人,且至少有1名女学生的选法种数为-=55.从4人中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人的选法为=12种.故总共有5512=660种选法.12.(2017天津理,14,5分)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有个.(用数字作答)答案答案1080解析解析本题主要考查计数原理及排列组合的应用.(1)有一个数字是偶数的四位数有=960个.(2)没有偶数的四位数有=120个.故这样的四位数一共有960+120=1080个.思路分析思路分析分两种情
11、况:有一个数字是偶数的四位数;没有偶数的四位数.13.(2014浙江,14,4分)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,不同的获奖情况有种(用数字作答).答案答案60解析解析不同的获奖情况可分为以下两类:(1)有一个人获得两张有奖奖券,另外还有一个人获得一张有奖奖券,有=36种获奖情况.(2)有三个人各获得一张有奖奖券,有=24种获奖情况.故不同的获奖情况有36+24=60种.14.(2015广东,12,5分)某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)答案答案1560解析解析同学之间两两
12、彼此给对方仅写一条毕业留言,且全班共有40人,全班共写了4039=1560条毕业留言.15.(2016江苏,23,10分)(1)求7-4的值;(2)设m,nN*,nm,求证:(m+1)+(m+2)+(m+3)+n+(n+1)=(m+1).解析解析(1)7-4=7-4=0.(2)当n=m时,结论显然成立.当nm时,(k+1)=(m+1)=(m+1),k=m+1,m+2,n.又因为+=,所以(k+1)=(m+1)(-),k=m+1,m+2,n.因此,(m+1)+(m+2)+(m+3)+(n+1)=(m+1)+(m+2)+(m+3)+(n+1)=(m+1)+(m+1)(-)+(-)+(-)=(m+1
13、).评析评析本题主要考查组合数及其性质等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.16.(2014福建,10,5分)用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球.由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5B.(1+a5
14、)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)以下为教师用书专用答案答案A从5个有区别的黑球中取k个的方法数为,故可用(1+c)5的展开式中ck的系数表示.所有的蓝球都取或都不取用1+b5表示.由乘法原理知,符合题意的取法可由(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5表示.17.(2013四川,8,5分)从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lga-lgb的 不 同 值 的 个 数 是()A.9B.10C.18D.2
15、0答案答案Clga- l g b=lg,从1,3,5,7,9中任取两个数分别记为a,b, 共 有=20种结果,其中lg=lg,lg=lg,故共可得到不同值的个数为20-2=18.故选C.18.(2013山东,10,5分)用0,1,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为()A.243B.252C.261D.279答案答案B由分步乘法计数原理知:用0,1,9十个数字组成的三位数(可有重复数字)的个数为91010=900,组成无重复数字的三位数的个数为998=648,则组成有重复数字的三位数的个数为900-648=252,故选B.19.(2013福建,5,5分)满足a,b-1,0,1,2,且
16、关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对(a,b)的个 数 为()A.14B.13C.12D.10答案答案B当a=0时,关于x的方程为2x+b=0,此时有序数对(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)均满足要求;当a0时,=4-4ab0,ab1,此时满足要求的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0).综上,满足要求的有序数对共有13个,选B.20.(2013浙江,14,4分)将A,B,C,D,E,F六个字母排成一排,且A,B均在C的同侧,则不同的排法共有种(用数字作答).答案答案480解
17、析解析从左往右看,若C排在第1位,共有排法=120种;若C排在第2位,共有排法=72种;若C排在第3位,则A、B可排C的左侧或右侧,共有排法+=48种;若C排在第4,5,6位时,其排法数与排在第3,2,1位相同,故共有排法2(120+72+48)=480种.21.(2013北京,12,5分)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案答案96解析解析5张参观券分成4份,1份2张,另外3份各1张,且2张参观券连号,则有4种分法,把这4份参观券 分 给 4 人 , 则 不 同 的 分 法 种 数 是 4=96.评析
18、评析本题主要考查排列问题,“5张参观券分成4份,且2张参观券连号的分法有4种”是解题的关键,审题不清楚是学生失分的主要原因.1.(2017浙江宁波二模(5月),7)从1,2,3,4,5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数,则奇数 位 上 必 须 是 奇 数 的 三 位 数 个 数 为()A.12B.18C.24D.30三年模拟一、选择题A组 20152017年高考模拟基础题组答案答案B 先 在 3 个 奇 数 中 取 2 个 奇 数 排 在 个 位 和 十 位 , 有种方法;再从剩余的3个数中选1个数放在十位,有种方法.所以满足条件的三位数的个数为=18,故选B.2.(2017浙江名校(
19、杭州二中)交流卷三,3)有2张写数字1,3张写数字2,4张写数字7的卡片,从中任取 3 张 排 列 , 最 多 可 以 组 成 不 同 的 数 的 个 数 为()A.24B.44C.32D.26答案答案 D分三类:三个数字不同,有= 6 个 ; 2 个 数 字 相 同 有=18;3个数字都相同的有2个,共6+18+2=26个,故选D.3.(2015浙江调研模拟试卷自选模块三(镇海中学),04(1)4名男生和3名女生排成一排,若3名女生中 需 要 有 2 名 站 在 一 起 , 但 3 名 女 生 不 能 全 排 在 一 起 , 则 不 同 的 排 法 种 数 有()A.2880种B.3080种
20、C.3200种D.3600种答案答案A 先 排 男 生 , 有种 , 再 将 两 名 女 生“捆 绑”和另一名女生插入5个空当中,有种,共有=2880种.二、填空题4.(2015浙江名校(金华一中)交流卷自选模块(六),04(2)某学生希望参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试,其中甲、乙两所学校的考试时间相同,因此该学生不能同时报考甲、乙这两所学校,则该学生不同的报考方法种数是(用数字作答).答案答案16解析解析该学生甲、乙这两所学校都不报考,有=4种报考方法;该学生报考甲、乙这两所学校中的一所,有=12种报考方法.故该学生不同的报考方法种数是16.5.(2017浙江绍兴质量调测(3月),
21、15)将3个男同学和3个女同学排成一列,若男同学甲与另外两个男同学不相邻,则不同的排法种数为.(用具体的数字作答)答案答案288解析解析首先将3个女同学排成一列,有种排法,对男生是否相邻分类讨论.若男同学两两不相邻,则有种排法;若恰有两个男同学相邻,则有种排法.所以满足条件的不同排法种数为(+)=288种.6.(2017浙江名校(镇海中学)交流卷二,15)从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共有种.答案答案66解析解析要使得4个数之和为偶数,则其中必定是4奇或2奇2偶或4偶,所以不同的取法种数为+=66.7.(2017浙江温州2月模拟,14)在政治、历史、地
22、理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门.若同学甲必选物理,则甲的不同的选法种数为;乙、丙两人都选物理的概率是.答案答案15;解析解析若甲必选物理,则甲仅需在政治、历史、地理、化学、生物、技术6门学科中再任选2门,共有=15种选法.乙、丙两人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门,各有=35种选法,故共有352种选法;乙、丙两人都选物理的所有可能选法各有=15种,共有152种选法.因此乙、丙两人都选物理的概率P=.8.(2017浙江名校(诸暨中学)交流卷四,14)把1,2,3,4,5,6这六个数随机排成一列组成一个数列,如果要求1必须在3的左侧,则数列的个数为;若要求
23、该数列恰好先增后减,则这样的数列共有个.答案答案360;30解析解析如果要求1必须在3的左侧,则个数为=360.若要求该数列恰好先增后减,则分以下几类:从1,2,3,4,5中选出1个数排在6的右侧,其余数排在6的左侧,得到先增后减的数列有个;从1,2,3,4,5中选出2个数排在6的右侧,其余数排在6的左侧,得到先增后减的数列有个;因此满足条件的数列共有+=30个.9.(2017浙江宁波期末,15)某班级原有一张周一到周五的值日表,五位班干部每人值一天,现将值日表进行调整,要求原周一和周五值日的两人都不值这两天,周二至周四值日的这三人都不值自己原来的日期,则不同的调整方法种数是.(用数字作答)答
24、案答案24解析解析设原来周一至周五值日的人依次为a,b,c,d,e,依题意有a,e两人只能排周二至周四,有=6种调整方法,这样b,c,d中有一人只能排周一或周五,有2种调整方法,这三人中剩下的两人有=2种调整方法,故共有622=24种调整方法.10.(2017浙江吴越联盟测试,13)2016是这样一个四位数,其各个数位上的数字之和为9,则各个数位上的数字不同且其和为9的四位数共有个.答案答案54解析解析对构成满足条件的四位数各数位上的数字是否含0进行分类讨论.若不含0,则有1+2+3+4=109,不成立;若含0,则9可以改写为9=0+1+2+6=0+1+3+5=0+2+3+4,此时满足条件的四
25、位数共有33=54个.11.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,15)有写好数字1,1,2,2,3,3,4,4的8张卡片,任取4张,则可以组成不同的四位数的个数为.(用数字作答)答案答案204解析解析所取的四个数都不相同,可以组成=24个四位数;所取的四个数有两个相同,另两个不同,可以组成=144个四位数;所取的四个数中两两相同,可以组成=36个四位数,故共可组成204个不同的四位数.1.(2017浙江金华十校联考(4月卷),7)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组,若甲组至少两人,乙、丙 组 每 组 至 少 一 人 , 则 不 同 的 分 配 方 案 的 种 数 为()A.50B.80C.120D.
26、140一、选择题B组 20152017年高考模拟综合题组答案答案B分两种情况讨论,若甲组2人,则有种方法,此时将剩余的3人分给乙、丙两组,有种方法,共有种方法;若甲组3人,则有种方法,此时将剩余的2人分给乙、丙两组,有种方法,共有种方法.因此不同的分配方案的种数为+=80,故选B.2.(2017浙江名校(衢州二中)交流卷五,7)A,B,C,D,E,F6个人排成一列,要求A和B排在一起,E和F不能 排 在 一 起 , 则 不 同 的 排 法 种 数 为()A.216B.192C.144D.108答案答案C考虑A,B在一起的情况,再减去A,B在一起且E,F 在 一 起 的 情 况 即 可 , 所
27、以 共 有- =144种不同的排法种数,故选C.3.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),7)4本不同的书全部分给甲、乙两人,每人至少一本,则不同的分 法 有()A.10种B.14种C.16种D.20种答案答案B首先将4本书分成两组,共有+=7种分法;再将书分给甲、乙两人,共有=2种分法.由乘法原理知,共有14种不同的分法,故选B.4.(2017浙江镇海中学模拟卷二,8)宁波某中学高三年级共有10个班级,现安排该年级10个班主任监考数学,每班1人,且除1班外其余班级班主任所监考的班级序号必须是1到自己班级的序号中的 一 个 ( 比 如 : 5 班 班 主 任 所 监 考 班 级 的 序 号 为
28、1 , 2 , 3 , 4 , 5 中 的 一 个 ) . 若 恰 有 6 个 班 主 任 监 考 的 是 自己的班级,则不同的监考安排共有()A.210种B.168种C.105种D.84种答案答案D由题知,1班班主任不能监考1班(否则后面每个班主任所监考的班级为自己任教班级,矛盾).除去6个监考自己班级的班主任,假设剩下的4个班级的序号为1,x,y,z,则必定是1班班主任监考x班,x班班主任监考y班,y班班主任监考z班,z班班主任监考1班.所以不同的监考安排共有=84种,故选D.5.(2017浙江台州4月调研卷(一模),16)某校在一天的8节课中安排语文、数学、英语、物理、化学、选修课与2节
29、自修课,其中第1节只能安排语文、数学、英语三门中的一门,第8节只能安排选修课或自修课,且选修课与自修课、自修课与自修课均不能相邻,则所有不同的排法共有种.(结果用数字表示)二、填空题答案答案1296解析解析先考虑特殊位置,第1节有种不同安排,第8节有种安排.然后将语文、数学、英语中剩余的两门和物理、化学作一全排列,有种,随后将选修课与自修课插空排入共有种,所以共有种,又2节自修课为相同元素,所以满足条件的排法共有=1296种.6.(2017浙江稽阳联谊学校高三4月联考,16)将7人分成3组,要求每组至多3人,则不同的分组方法种数是.答案答案175解析解析共可分为两类:每组分别为3,3,1人,则
30、有=70种分法;每组分别为3,2,2人,则有=105种分法,所以共有70+105=175种分法.易错警示易错警示对于平均分组问题,一定要注意组之间是没有任何区别的.7.(2017浙江镇海中学模拟卷一,14)一个盒子中有5个分别标有1,2,3,4,5的小球,每次取出一个小球,记下它的号后放回盒子中,共取放3次.设3次中最大标号为,则满足=2的取法共有种;随机变量的数学期望E是.答案答案7;解析解析由题可知,总的基本事件数为53=125,满足=1的基本事件数是1,P(=1)=;满足=2的基本事件数是23-1=7,P(=2)=;满足=3的基本事件数是33-23=19,P(=3)=;满足=4的基本事件
31、数是43-33=37,P(=4)=.满足=5的基本事件数是53-43=61,P(=5)=;E=1+2+3+4+5=.8.(2017浙江测试卷,15)如图所示,某货场有两堆集装箱,一堆2个,一堆3个,现需要全部装运,每次只能从其中一堆中取最上面的一个集装箱进行装运,则在装运的过程中不同取法的种数是.(用数字作答)答案答案10解析解析如图所示,对集装箱进行编号,则可知集装箱被取走的相对顺序为1,2,3(即1号箱子一定在2 号 箱 子 前 被 取 走 , 2 号 箱 子 一 定 在 3 号 箱子 前 被 取 走 ) 和 4 , 5 , 故 不 同 取 法 的 种 数 是=10.9.(2015浙江调研
32、模拟试卷自选模块一(诸暨中学),04(2)A,B,C,D,E,F六位同学和一位数学老师站成一排合影留念,数学老师穿白色文化衫,A,B和C,D同学分别穿白色和黑色文化衫,E和F同学分别穿红色和橙色文化衫.若老师站中间,穿着相同颜色文化衫的都不相邻,则不同的站法种数为.答案答案160解析解析按先排白色,再排黑色,最后排红色和橙色的顺序进行,白色分下面4种情况:10.(2015浙江调研模拟试卷自选模块五(杭州二中),04(2)盒子里装有一个1号球,两个相同的2号球,三个相同的3号球,现从盒子中每次取一球.如果把每次取出的球放到编号分别为1,2,3,4,5的五个盒子里,每盒至多放一球,共取球三次,则球
33、号与盒号都不相同的放法有几种?三、解答题解析解析(1)若取出的三个小球编号都为3,则这3个小球只能放入编号分别为1,2,4,5的四个盒子里,共有=4种不同的放法.(2)若取出的三个小球编号为221或223或331或332.以221为例:1号球放在2号盒子里,则另两个编号为2的球只能放入编号分别为1,3,4,5的四个盒子里,有=6种不同的放法.1号球不放在2号盒子里,则1号球要放到编号分别为3,4,5的三个盒子里,另两个编号为2的球只能放入除编号为2的剩余的三个盒子里,有=9种不同的放法.故若取出的三个小球编号为221或223或331或332,则共有4(6+9)=60种不同的放法.(3)若取出的三个小球编号分别为1,2,3,分三类情况讨论:三个小球都放在1,2,3号盒子里,有2种放法,两球放在1,2,3号盒子里,有3=18种放法,一球放在1,2,3号盒子里,有2=12种放法.故若取出的三个小球编号分别为1,2,3,则共有2+18+12=32种不同的放法.综上,共有4+60+32=96种不同的放法.
