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1、441 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质141 不定积分的概念及性质不定积分的概念及性质一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质二、不定积分的性质三、基本积分表三、基本积分表原函数、原函数存在定理不定积分、积分曲线微分与积分的关系2一、原函数一、原函数 定义1 如果在区间I上，可导函数F(x)的导函数为 f(x)，即对任一x I，都有F (x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数 例如，sin x 是cos x 的原函数又如当x (1，)时，在区间(1，)内的原函数3原函数存在定理： 如果函数
2、f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F(x)，使对任一 x I 都有F (x)f(x) 简单地说就是：连续函数一定有原函数两点说明： (1)如果F(x)是f(x)的原函数，那么F(x)C 也是f(x)的原函数，其中C是任意常数 (2)如果(x)和F(x)都是f(x)的原函数，则(x)F(x)C (C为某个常数)4二、不定积分的概念：二、不定积分的概念： 定义2 在区间I上，函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分，记作 f(x)称为被积函数， f(x)dx称为被积表x 称为积分变量 根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，那
3、么F(x)C就是 f(x)的不定积分，即达式，5ln|x|C 例3 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 解 设所求的曲线方程为yf(x)，所以曲线方程为yx 2C因所求曲线通过点(1，2)，故21C， C1于是所求曲线方程为yx 21按题设 例1 例2 6微分与积分的关系： 从不定积分的定义可知：又由于F(x)是F (x)的原函数，所以积分曲线： f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线1012112xy3x2积分曲线： y=x3+CC=0C=1.5C=1C=27三、不定积分的性质和基本积分公式三、不定积分的性质和基本积分公式 性质1 函数
4、的和的不定积分等各个函数的不定积分的和，即 性质2 求不定积分时，被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来，即1、不定积分的性质、不定积分的性质8k x C (k是常数)，arctan x C ，arcsin x C ，ln |x|C ，sin x C ，cos x C ，2、基本积分公式、基本积分公式9(12) e x dx ex+ +C ，10 例6 例5 例7 四、直接积分法四、直接积分法11 例8 例9 12e x 3sin x C arctan x ln | x | C 例11 例12 例10 例13 13 tan x x C 4cot x C 例14 例15 例16课堂练习课堂练习14练习题练习题4.1 3、（、（1）（）（3）（）（5）（）（7）（）（9）作业：P7315
