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1、第二章第二章曲面论曲面论1曲面的概念曲面的概念简单曲面以及参数表示简单曲面以及参数表示几种观点1、一般式2、显式3、映射观点（与曲线定义类似）基本概念若尔当曲线若尔当曲线平面上不自交的闲曲线初等区域初等区域-若尔当曲线所围成的有限区域若尔当曲线所围成的有限区域1优讲课堂如果到初等区域初等区域D到三维欧氏空间内建立的对应是一一的，双方连续的在上映射，则我们把三维欧氏空间中的象称为简单曲面称为的坐标坐标式参数方程。式参数方程。称为曲面的向量向量式参数方程。式参数方程。u和v称曲面上的点的曲面上的点的曲纹坐标，曲纹坐标，U=U=常数或常数或V=V=常数在常数在曲面上的曲面上的象称为曲面的曲面的坐标曲
2、线。（坐标曲线。（坐标曲线。（坐标曲线。（ U=U=常数而常数而v v变动变动的曲线叫的曲线叫V-V-线，线，v=v=常数而常数而u u变动的曲线叫变动的曲线叫u-u-线，线， V-V-线线u-u-线构成的网称为曲面上的线构成的网称为曲面上的曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网2优讲课堂曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网曲纹坐标网坐标曲线坐标曲线坐标曲线坐标曲线3优讲课堂曲线（z=常数）即它是垂直于轴的平面和原柱面的交线，它们都是圆。曲线（ 是常数）即:它是原柱面上的直母线。设是长方形区域常见曲面圆柱面的参数表示4优讲课堂球面的参数表示为： 是一个长方形区域：坐坐标标曲曲线线是是曲曲线线= =
3、常数），即常数），即 ，是球面上等是球面上等纬纬度的度的圆圆纬线纬线，曲曲线线：它是球面上它是球面上过过两极的半两极的半圆圆经线经线（子午（子午线线）。=，5优讲课堂旋转面把xz平面上一条曲线：x =绕z轴旋转，得旋转面x = ，y= ,，6优讲课堂1.2光滑曲面 曲面的切平面和法线1定义：如果曲面 有直到 阶连续偏微商，则称为K阶正则曲面，或 曲面。当 时， 此曲面又称为光滑曲面2 u线v线表示. u线：. v线u-线的切向量v-线的切向量7优讲课堂定定义义 曲面 的点P是正则点正则点(正常点正常点)若有正则曲面:处处是正则点的曲面.曲面的正规坐标网：若则存在 的一个邻域U，使得U内每一点有
4、 命题1：曲面在正则点的邻域中总可以有形如z = z(x, y)的表示因为，至少有一分量不为零此时U内两坐标曲线构成的网为曲面的正规坐标网8优讲课堂假设则有隐函数存在定理有唯一一对单值连续函数代入则有z=z(x,y)命题2：曲面在正常点某个的邻域内点都是正常点曲面上一点P0处的切方向(方向): 上的经过 P的曲线在P0的切方向.（切方向很多） 曲面：r r = r r(u, v)上曲线的(曲纹)坐标式参 数方程-: u = u(t)，v = v(t).的向量式参数方程:r = r(u(t), v(t) = r(t). （一个 参数）9优讲课堂曲线的切向量曲线的切向量也可写为曲线r = r(u(
5、t), v(t) = r(t)其切方向在正常点所有切向量都有可定成u线v线切向的组合都有在由u线v线切向确定的平面上，称此平面为曲面在这一点的切平面命题2曲面上正常点的所有切方向都在过该点的坐标曲线的切向量所决定的切平面上10优讲课堂从上可以看出曲面上一点的一个切方向由du:dv值完全确定，切方向也可表示成,或二者视为同一方向.例如,du:dv=(-2):3表方向,也表方向，二者视为同一方向.曲面S一点处切平面的方为：其中是切平面上一点的向径:,坐标形式为：11优讲课堂法向：垂直于切平面的方向法向：垂直于切平面的方向法线：经过曲面上的一点并平行于法方向的直线法线：经过曲面上的一点并平行于法方向
6、的直线法向量法向量:单位法向量：单位法向量：法线的方程为法线的方程为其中其中R（X，Y，Z）是线上任一点的向径，是线上任一点的向径，参数。参数。用坐标形式表达的法线的方程为：用坐标形式表达的法线的方程为：=12优讲课堂 =过点（1，2）的切平面方程是 即3x+y-2z-4=0.例：求求S在点在点(1,2)处的单位处的单位法向量及切平面的方程。法向量及切平面的方程。解：13优讲课堂3. 3. 曲面上的曲曲面上的曲线线族和曲族和曲线线网网S S上的曲上的曲线线用方程用方程曲面曲面消去t得或或微分方程微分方程表示曲面上的一表示曲面上的一族曲线，族曲线，特别地当特别地当方程变为方程变为它表示曲面上的它表示曲面上的u曲线族（曲线族（v=常数）。常数）。当当它表示曲面上的它表示曲面上的v曲线族曲线族(v族族)或14优讲课堂微分方程微分方程:+ =0当当 0时时它表示的曲它表示的曲线线网就是曲面上的曲网就是曲面上的曲纹纹坐坐标标网网表示曲面上的两族曲线表示曲面上的两族曲线曲线网。曲线网。当时，方程变为时，方程变为15优讲课堂
