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1、夫琅和费衍射远场衍射Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望ab3.2.3 夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射衍衍射射图图样样的的主主要要特特征征：衍衍射射亮亮斑斑集集中中分分布布在在相相互互垂垂直直的的 x 轴和轴和 y 轴，且亮斑宽度与矩形孔沿两个轴的宽度相反。轴，且亮斑宽度与矩形孔沿两个轴的宽度相反。 是观察屏中心点是观察屏中心点 P0 处的光场复振幅；处的光场复振幅； 而而a, b 分别是矩形孔沿分别是矩形孔沿 x1, y1 轴方向的宽度；轴方向的宽度；透镜焦平面上
2、透镜焦平面上 P(x, y)点的光场复振幅：点的光场复振幅：1. 光强分布公式光强分布公式 即即矩矩形形孔孔衍衍射射的的相相对对强强度度分分布布等等于于两两个个正正交交单单缝缝衍衍射射因因子子的的乘乘积积。由由此此可可见见，夫夫琅琅和和费费矩矩形形孔孔衍衍射射，实实质质上上是是两个正交方向上的单缝衍射因子共同起作用的结果。两个正交方向上的单缝衍射因子共同起作用的结果。则在则在 P(x,y) 点的光强度为：点的光强度为：式中，式中，I0 是是 P0 点的光强度，且有点的光强度，且有 I0= |Cab|2 。 2. 结果分析与讨论结果分析与讨论(1) 衍射光强分布衍射光强分布(2) 中央亮斑中央亮
3、斑(3) 衍射图样衍射图样(1) 衍射光强分布衍射光强分布当当 = 0 时时(对应于对应于P0点点)，有主极大，有主极大，IM /I0 = 1 。对于对于沿沿 x 轴轴的光强度分布，因的光强度分布，因 y = 0，有，有: 在在 = m (m=1,2,) 处处，有有极极小小值值，Im= 0，相相应应的的点点是暗点，暗点的位置为是暗点，暗点的位置为:相邻两暗点之间的间隔为相邻两暗点之间的间隔为:在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置在相邻两个暗点之间有一个强度次极大，次极大的位置:即即图解法求解结果图解法求解结果2 0 2 0 夫朗和费矩形孔衍射夫朗和费矩形孔衍射在在 y 轴上的光强度
4、轴上的光强度: 在在 x, y 轴以外各点的光强度，可按夫琅和费矩孔衍射的轴以外各点的光强度，可按夫琅和费矩孔衍射的总光强分布公式进行计算。总光强分布公式进行计算。 尽管尽管 xOy 面内存在一些次极大点，但其光强度极弱。面内存在一些次极大点，但其光强度极弱。其分布特性与其分布特性与x 轴类似。轴类似。夫朗和费矩形孔衍射图样中夫朗和费矩形孔衍射图样中 一些特征点的相对强度一些特征点的相对强度 (2) 中央亮斑中央亮斑说说明明：中中央央亮亮斑斑面面积积与与矩矩形形孔孔面面积积成成反反比比，在在相相同同波波长长和和装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，反之亦然。装置下，衍射孔愈小，中央亮斑愈大，反之亦
5、然。中央亮斑面积为：中央亮斑面积为： 矩孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在矩孔衍射的光能量主要集中在中央亮斑处，其边缘在 x, y 轴上的位置是：轴上的位置是：可可见见，随随衍衍射射孔孔的的减减小小，虽虽然然中中央央亮亮斑斑增增大大，但但相相应应的的P0 点光强度愈小。点光强度愈小。注意：注意：(3) 衍射图样衍射图样a b对于方形孔径：对于方形孔径：a = b，沿，沿 x, y 方向有相同的衍射图样。方向有相同的衍射图样。对对于于矩矩形形孔孔径径：a b，衍衍射射图图样样沿沿x、y 方方向向形形状状相相同同、线线度不同。度不同。3.2.4 夫朗和费圆孔衍射夫朗和费圆孔衍射 由于光学
6、仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论由于光学仪器的光瞳通常是圆形的，所以讨论圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际圆孔衍射现象对光学仪器的应用，具有重要的实际意义。意义。 夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的夫朗和费圆孔衍射的讨论方法与矩形孔衍射的讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，讨论方法相同，只是由于圆孔结构的几何对称性，采用采用极坐标极坐标处理更加方便。处理更加方便。 设设圆圆孔孔半半径径为为 a ，中中心心 位位于于光光轴轴上上，圆圆孔孔上上任任一一点点 Q 的的坐坐标标 1、 1与与相相应应直直角角坐坐标标关关系系：x1= 1cos 1 ，y1= 1sin 1 11P0
7、PQx1xy1yO1O1. 光强分布公式光强分布公式按按照照衍衍射射积积分分方方程程，在在经经过过坐坐标标变变换换后后，P点点的的光光场场复复振振幅幅可表示为：可表示为： 类似地，观察屏上任一点类似地，观察屏上任一点 P P 的位置坐标的位置坐标 、 与相应直与相应直角坐标的关系为：角坐标的关系为：式中式中是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。是衍射方向与光轴的夹角，称为衍射角。可得：可得：其中利用了其中利用了 J0(k 1 ) 为偶函数的性质。为偶函数的性质。再由贝塞尔函数的性质：再由贝塞尔函数的性质：根根据零阶贝塞尔函数的积分表示式据零阶贝塞尔函数的积分表示式：则则 P点光强：点光强：圆孔面
8、积圆孔面积 P0 点光强；点光强；圆孔边缘与中心点沿圆孔边缘与中心点沿 方向光线间的光程差方向光线间的光程差得：得：2. 结果分析与讨论结果分析与讨论(1) 衍射图样衍射图样 光强度分布仅与衍射角光强度分布仅与衍射角 (或或 )有关，而与方位角有关，而与方位角 无无关，即夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。关，即夫朗和费圆孔衍射图样是圆形条纹。(2) 衍射图样的极值特性衍射图样的极值特性 由贝塞尔函数的级数定义，可将夫琅和费圆孔衍射的由贝塞尔函数的级数定义，可将夫琅和费圆孔衍射的光强分布公式进一步表示为：光强分布公式进一步表示为：当当 = 0 时，对应光轴上的时，对应光轴上的 P0 点，有点，有
9、I = I0 ，衍射光强主，衍射光强主极大。极大。当当 满足满足 J1( ) = 0 时，时， I = 0，衍射光强极小（暗环）。，衍射光强极小（暗环）。相相邻邻两两个个暗暗环环之之间间存存在在一一个个衍衍射射次次极极大大，其其位位置置由由满满足足下下式的式的 值决定：值决定：I/I0 衍衍射射图图样样中中两两相相邻邻暗暗环环的的间间距距不不相相等等，距距离离中中心心越越远远，间距越小，这一点与矩形孔的衍射图样不同。间距越小，这一点与矩形孔的衍射图样不同。(3) 爱里斑爱里斑或以角半径或以角半径 0 表示：表示：因此因此 中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的中央亮斑集中了入射在圆孔上能量的 83.
10、78% ，称之为，称之为爱里斑。其半径爱里斑。其半径 0 由第一光强极小值处的由第一光强极小值处的 值决定：值决定：爱里斑的面积：爱里斑的面积：圆圆孔孔面面积积 S 愈愈小小，爱爱里里斑斑面面积积愈愈大大，衍衍射射现现象象愈愈明明显显。只有在只有在 S = 0.61 f 时，时，S0 =S 。3.2.5 光学成像系统的分辨本领光学成像系统的分辨本领(分辨率）分辨率）1. 瑞利判据瑞利判据2. 几种光学成像系统的分辨本领几种光学成像系统的分辨本领1. 瑞利判据瑞利判据 从从几几何何光光学学的的观观点点看看，每每个个像像点点应应该该是是一一个个几几何何点点，因因此此，对对于于一一个个无无像像差差的
11、的理理想想光光学学成成像像系系统统，其其分分辨辨本本领领应应当当是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。是无限的，即两个点物无论靠得多近，像点总可分辨开。 但但实实际际上上光光波波通通过过光光学学成成像像系系统统时时，总总会会因因光光学学孔孔径径的的有有限限性性产产生生衍衍射射，这这就就限限制制了了光光学学成成像像系系统统的的分分辨辨本本领领。通通常常，由由于于光光学学成成像像系系统统具具有有光光阑阑、透透镜镜外外框框等等圆圆形形孔孔径径，所所以讨论其分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为基础。以讨论其分辨本领时，都是以夫朗和费圆孔衍射为基础。 设设有有 S1 和和 S2 两两个个非非
12、相相干干点点光光源源，间间距距为为 ，它它们们到到直直径为径为 D 的圆孔距离为的圆孔距离为 R，则，则 S1 和和 S2 对圆孔的张角对圆孔的张角 为：为： 由于圆孔的衍射效应，由于圆孔的衍射效应，S1和和 S2 将分别在观察屏上形成各将分别在观察屏上形成各自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为自的衍射图样。假设其爱里斑关于圆孔的张角为 0，则，则 两个点物的衍射像的分辨两个点物的衍射像的分辨 S2S10S1S2S2S1S1S20S2S1S1S2=0 根根据据瑞瑞利利判判据据，将将一一个个点点物物衍衍射射图图样样的的中中央央极极大大位位置置与与另另一一个个点点物物衍衍射射图图样样的的第第
13、一一个个极极小小位位置置重重合合的的状状态态作作为为光光学学成成像像系系统统的的分分辨辨极极限限，认认为为此此时时光光学学系系统统恰恰好好可可分分辨辨开开这这两两个个点点物物。这这时时，两两点点物物衍衍射射图图样样的的重重叠叠区区中中点点光光强强度度约约为为每每个个衍衍射射图图样样中中心心最最亮亮处处光光强强度度的的73.5 (对对于于缝缝隙隙形光阑，约为形光阑，约为81%)。 于于是是，由由于于衍衍射射效效应应，一一个个光光学学成成像像系系统统对对点点物物成成像像的爱里斑角半径的爱里斑角半径 0 决定了该系统的分辨极限。决定了该系统的分辨极限。2.几种光学成像系统的分辨本领几种光学成像系统的
14、分辨本领(1) 人眼睛的分辨本领人眼睛的分辨本领(2) 望远镜的分辨本领望远镜的分辨本领(3) 照相物镜的分辨本领照相物镜的分辨本领(4) 显微镜的分辨本领显微镜的分辨本领(1) 人眼睛的分辨本领人眼睛的分辨本领 人人眼眼的的成成像像作作用用可可等等价价于于单单凸凸透透镜镜。通通常常人人眼眼睛睛的的瞳瞳孔孔直直径径约约为为 1.56 mm（视视入入射射光光强强而而定定)。当当人人眼眼瞳瞳孔孔直直径径为为2mm 时时，对对于于最最敏敏感感的的光光波波波波长长 = 0.55 m，计计算算可可得得人眼的最小分辨角人眼的最小分辨角 e 为：为： 通通常常实实验验测测得得的的人人眼眼最最小小分分辨辨角角
15、约约为为 1 (=2.910-4rad)，与计算结果基本相符与计算结果基本相符。 (2) 望远镜的分辨本领望远镜的分辨本领 望望远远镜镜的的作作用用相相当当于于增增大大人人眼眼睛睛的的瞳瞳孔孔。设设望望远远镜镜物物镜镜的的圆圆形形通通光光孔孔直直径径为为 D，若若有有两两个个物物点点恰恰好好能能为为望望远远镜镜所所分分辨，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角辨，则根据瑞利判据，这两个物点对望远镜的张角 为：为： 这这就就是是望望远远镜镜的的最最小小分分辨辨角角公公式式。该该式式表表明明，望望远远镜镜物物镜镜的的直径直径 D 愈大，分辨本领愈高，并且像的光强也愈大。愈大，分辨本领愈高，并且像
16、的光强也愈大。 例例如如，天天文文望望远远镜镜物物镜镜的的直直径径做做得得很很大大( 10m )，原原因因之之一一就就是是提提高高分分辨辨本本领领。对对于于 = 0.55 m 的的单单色色光光来来说说，其其最最小小分分辨辨角角 = 0.023 = 1.1210-7rad，比比人人眼眼的的分分辨辨本本领领要大三千倍左右。要大三千倍左右。 通通常常在在设设计计望望远远镜镜时时，为为了了充充分分利利用用望望远远镜镜物物镜镜的的分分辨辨本本领领，应应使使望望远远镜镜的的放放大大率率保保证证物物镜镜的的最最小小分分辨辨角角经经望望远远镜镜放大后等于眼睛的最小分辨角，即：放大后等于眼睛的最小分辨角，即：(
17、3) 照相物镜的分辨本领照相物镜的分辨本领 照照相相物物镜镜一一般般都都是是用用于于对对较较远远物物体体的的成成像像，感感光光底底片片大大致致与与其其焦焦平平面面重重合合。若若照照相相物物镜镜孔孔径径为为D，相相应应第第一一极极小小的的衍射角为衍射角为 0，则底片上恰能分辨的两条直线的间距，则底片上恰能分辨的两条直线的间距 为：为： 习习惯惯上上，照照相相物物镜镜的的分分辨辨本本领领用用底底片片上上每每毫毫米米内内能能成成多少条恰能分开的线条数多少条恰能分开的线条数 N 表示：表示：式中，式中，D / f 是照相物镜的相对孔径是照相物镜的相对孔径 可可见见，照照相相物物镜镜的的相相对对孔孔径径
18、愈愈大大，分分辨辨本本领领愈愈高高。例例如如，对对于于 D/f = 1:3.5 的的常常用用照照相相物物镜镜，若若 =0.55 m，则则N=14901/3.5=425(条条/mm)。作作为为照照相相系系统统总总分分辨辨本本领领的的要要求求来来说说，感感光光底底片片的的分分辨辨本本领领应应大大于于或或等等于于物物镜镜的分辨本领。的分辨本领。 对对于于上上面面的的例例子子，应应选选择择分分辨辨本本领领大大于于425 条条/mm的底片。的底片。(4) 显微镜的分辨本领显微镜的分辨本领 显显微微镜镜由由物物镜镜和和目目镜镜组组成成，一一般般情情况况下下系系统统成成像像孔孔径径为为物物镜镜框框，因因此此
19、限限制制显显微微镜镜分分辨辨本本领领的的是是物物镜镜框框(孔孔径径光光阑阑)。 S1S2S1S2uul物面像面0 点点物物S1和和S2位位于于物物镜镜前前焦焦点点外外附附近近，由由于于物物镜镜焦焦距距很很短短，所所以以S1和和S2发发出出的的光光波波以以很很大大的的孔孔径径角角入入射射到到物物镜镜，其其像像S1 和和S2 离离物物镜镜较较远远。虽虽然然S1和和S2离离物物镜镜很很近近，它它们们的的像像也也是是物物镜边缘镜边缘(孔径光阑孔径光阑)的夫朗和费衍射图样，其爱里斑的半径为：的夫朗和费衍射图样，其爱里斑的半径为： 其中，其中，l 是像距；是像距；D是物镜直径。是物镜直径。 如如果果 =
20、0，则则按按照照瑞瑞利利判判据据，两两衍衍射射图图样样刚刚好好可可以以分分辨，此时的二点物间距辨，此时的二点物间距 就是物镜的最小分辨距离。就是物镜的最小分辨距离。 由于显微镜物镜的成像满足阿贝由于显微镜物镜的成像满足阿贝(Abbe)正弦条件正弦条件：n 和和 n 分分别别是是物物方方和和像像方方折折射射率率，在在 n =1 时时，l D 。所以，能分辨两点物的最小距离为：所以，能分辨两点物的最小距离为：式中，式中，NA= n sinu 为物镜的数值孔径。为物镜的数值孔径。 由此可见，提高显微镜分辨本领的途径：由此可见，提高显微镜分辨本领的途径： 增大物镜的数值孔径；增大物镜的数值孔径； 减小波长。减小波长。 例例如如，电电子子显显微微镜镜利利用用电电子子束束的的波波动动性性成成像像，由由于于其其波波长长可可达达10-3nm，因因而而分分辨辨本本领领将将比比可可见见光光显显微微镜镜提提高高几几十十万万倍倍，只只是是由由于于电电子子显显微微镜镜的的数数值值孔孔径径较较小小，其其分分辨辨本本领领实实际际上仅提高千倍以上。上仅提高千倍以上。作作 业业3，5，8，12
