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1、量子力学量子力学第三讲第三讲 力学量的平均值力学量的平均值 算符算符 薛定格方程薛定格方程 量子力学中的基本假设量子力学中的基本假设1第三讲目录第三讲目录一、一、 简短的回顾简短的回顾二、二、力学量的平均值力学量的平均值三、三、力学量用算符表示力学量用算符表示四、四、薛定格方程薛定格方程五、五、量子力学的基本假设量子力学的基本假设2 一一、简短的回顾简短的回顾 为了解释微观世界粒子的运动规律，为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出了以下观点人们提出了以下观点能量量子化，基于此，推出了能量量子化，基于此，推出了Planck公式，公式，解释了黑体辐射现象；解释了黑体辐射现象；波粒二象性波粒二象性
2、: 认为任何粒子都具有粒子和波认为任何粒子都具有粒子和波动二重性。其中的波动，称为物质波，满足动二重性。其中的波动，称为物质波，满足德布罗意公式：德布罗意公式： =E/h，= h /p测不准原理（不确定度关系）测不准原理（不确定度关系）: 认为微观粒认为微观粒子的坐标和动量不可能同时完全确定。子的坐标和动量不可能同时完全确定。3 为了使这些观点能用一个系统的理论为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先做了以下工作。（来概括，人们首先做了以下工作。（1）1、自由粒子的波函数、自由粒子的波函数 既然粒子具有波动性，那么就应该用一既然粒子具有波动性，那么就应该用一个反映波动的函数来加以描述。
3、个反映波动的函数来加以描述。 由平面波公式由平面波公式 借助德布罗意公式：借助德布罗意公式：=E/h，= h /p 和和 得到得到 也可以写作也可以写作42、任意粒子的波函数可以看作无限多个平、任意粒子的波函数可以看作无限多个平面波的叠加面波的叠加5 为了使这些观点能用一个系统的理论来为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先做了以下工作。（概括，人们首先做了以下工作。（2）w3、该如何理解波函数的物理意义？为此，、该如何理解波函数的物理意义？为此，人们提出了波函数的统计诠释来作为对波函人们提出了波函数的统计诠释来作为对波函数物理意义的一种理解。基于此，数物理意义的一种理解。基于此， 应
4、该是应该是表示表示 粒子出现在点粒子出现在点(x,y,z)附件概率大小的一个量。由此要求附件概率大小的一个量。由此要求波函数必须满足以下性质波函数必须满足以下性质 1）可积性；）可积性；2）归一化）归一化 3）单值性；）单值性；4）连续性）连续性6 为了使这些观点能用一个系统的理论来为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先做了以下工作。概括，人们首先做了以下工作。（3）4、不确定度关系与力学量的平均值、不确定度关系与力学量的平均值 通过举例得到，通过举例得到， 由此得知一般由此得知一般情况下情况下x和和p不能完全确定。这样可以提出不能完全确定。这样可以提出一个问题一个问题: x和和p的
5、平均值可否确定？的平均值可否确定？由此引申出：由此引申出：力学量的平均值力学量的平均值7二二、力学量的平均值力学量的平均值(1)w既然既然 表示表示 粒子出现在点粒子出现在点 附件的概率，那么粒子坐标的平附件的概率，那么粒子坐标的平均值，例如均值，例如 的平均值的平均值 ，由概率论，有，由概率论，有 又如，势能又如，势能V是是 的函数：的函数： ，其平均值，其平均值由概率论，可表示为由概率论，可表示为8二二、力学量的平均值力学量的平均值(2)再如，动量再如，动量 的平均值为：的平均值为：对比对比 和和提出两个问题：提出两个问题：1、为什么不能写成、为什么不能写成2、能否用以坐标为自变量的波函数
6、计算动、能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？量的平均值？由此引申出量子力学中特有的概念：由此引申出量子力学中特有的概念：力学量的算符力学量的算符9三三、力学量用算符表示力学量用算符表示(1)当算符当算符 作用到平面波波函数作用到平面波波函数 上，上， 有有10三三、力学量用算符表示力学量用算符表示(2)动量的平均值动量的平均值以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为 11三三、力学量用算符表示力学量用算符表示(3)动量的平均值，动量的平均值，用以动量为自变量的波函数表示用以动量为自变量的波函数表示用以坐标为自变量的波函数表示用以坐标为自变量的波
7、函数表示其中，其中， 为动量为动量 的算符，的算符，即：即：动量算符动量算符12三三、力学量用算符表示力学量用算符表示(4)动能动能 ，动能算符，动能算符动能平均值动能平均值角动量角动量 ，角动量算符，角动量算符角动量平均值角动量平均值13三三、力学量用算符表示力学量用算符表示(5)力学量力学量 的平均值为的平均值为其中，其中， 为力学量为力学量 的算符。的算符。问题：坐标问题：坐标 的平均值的平均值可否表示为可否表示为可以，其中可以，其中14三三、力学量用算符表示力学量用算符表示 (6)描述粒子一般状态的波函数，可以由平描述粒子一般状态的波函数，可以由平面波的叠加来表示面波的叠加来表示对这个
8、波函数关于时间做偏微商，有对这个波函数关于时间做偏微商，有因此，因此，能量算符利用能量算符，可以从形式上给出量利用能量算符，可以从形式上给出量子力学中的基本方程：薛定格方程子力学中的基本方程：薛定格方程15四、薛定格方程（四、薛定格方程（1）粒子的能量粒子的能量 两边同乘粒子的波函数两边同乘粒子的波函数得到薛定格方程得到薛定格方程 量子力学的基本假设之一：波函数的量子力学的基本假设之一：波函数的 时空演化满足薛定格方程时空演化满足薛定格方程16 连续性方程连续性方程 薛定格方程的推论薛定格方程的推论薛定格方程薛定格方程 （1）由由 ，得，得令令 得到连续性方程得到连续性方程 四、薛定格方程（四
9、、薛定格方程（2）概率密度概率密度概率概率(粒子粒子)流密度流密度17四四、薛定格方程（薛定格方程（3） 概率守恒定律概率守恒定律由由 有有高斯定理高斯定理有有左边表示在闭区域左边表示在闭区域 中找到粒子的总数目在单位时中找到粒子的总数目在单位时间内的增量。间内的增量。右边表示单位时间内通过右边表示单位时间内通过 的封闭表面的封闭表面 而流入而流入 内的粒子数。所以，内的粒子数。所以， 表示粒子流密度。表示粒子流密度。 18四四、薛定格方程（薛定格方程（4） 能量本征方程能量本征方程薛定格方程薛定格方程若若 不显含不显含 ，则可令，则可令 ，有，有因此，有因此，有 和和因此，因此， 满足的方程
10、满足的方程称为能量本征方程称为能量本征方程 ， 称为能量本征函数，称为能量本征函数， 称为能量本征值称为能量本征值19本征方程本征方程数学中，形如数学中，形如 的方程，称为的方程，称为本征方程本征方程。其中。其中对方程对方程算符算符 被称为哈密顿算符，被称为哈密顿算符， 因为本征值因为本征值E具有能量的量纲，故此方程被之为能具有能量的量纲，故此方程被之为能量本征方程，量本征方程， 被称为能量本征函数，被称为能量本征函数， E被称被称为能量本征值。为能量本征值。20五、量子力学的基本假设五、量子力学的基本假设（1）1、微观粒子的状态由波函数、微观粒子的状态由波函数 描写。描写。2、波函数的模方、
11、波函数的模方 表示表示 t 时刻粒子出现时刻粒子出现在空间点在空间点(x,y,z)的概率。的概率。3、力学量用算符表示。、力学量用算符表示。21五、量子力学的基本假设五、量子力学的基本假设（2）1、微观粒子的状态由波函数、微观粒子的状态由波函数 描写。描写。2、波函数的模方、波函数的模方 表示表示 t 时刻粒子出现时刻粒子出现在空间点在空间点(x,y,z)的概率。的概率。3、力学量用算符表示。、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程、波函数的运动满足薛定格方程22五、量子力学的基本假设五、量子力学的基本假设（3）1、微观粒子的状态由波函数、微观粒子的状态由波函数 描写。描写。2、波函数的模方、波函数的模方 表示表示 t 时刻粒子出现时刻粒子出现在空间点在空间点(x,y,z)的概率。的概率。3、力学量用算符表示。、力学量用算符表示。4、波函数的运动满足薛定格方程。、波函数的运动满足薛定格方程。5、态叠加原理。、态叠加原理。 由此构成量子力学的公理体系由此构成量子力学的公理体系23
