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1、人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u3.1.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u目目 标标 要要 求求u1. 能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解能够借助计算器用二分法求方程的近似解，了解二分法是求方程近似解的常用方法二分法是求方程近似解的常用方法u2理解二分法的步骤与思想理解二分法的步骤与思想.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u热热 点点 提提 示示u1. 判断函数零点所在的区间判断函数零点所在的区间u2求方程根的个数求方程根的个数.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必
2、修一新课标新课标数学数学u1二分法的定义二分法的定义u对于于在在区区间a，b上上连续不不断断且且f(a)f(b)0的的函函数数yf(x)，通通过不不断断地地把把函函数数f(x)的的零零点点所所在在的的区区间一一分分为二二，使使区区间的的两两个个端端点点逐逐步步逼逼近近零零点点，进而而得得到到零点近似零点近似值的方法，叫做二分法的方法，叫做二分法u想想一一想想：能能否否用用二二分分法法求求任任何何函函数数(图象象是是连续的的)的近似零点？的近似零点？u提提示示：不不能能看看一一个个函函数数能能否否用用二二分分法法求求其其零零点点的的依依据据是是函函数数图图象象在在零零点点附附近近是是连连续续不不
3、断断的的，且且在在该该零点左右函数值异号零点左右函数值异号人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u2二分法的步骤二分法的步骤u给定定精精确确度度，用用二二分分法法求求f(x)零零点点近近似似值的的步步骤如如下：下：u(1)确定区确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度定精确度；u(2)求区求区间(a，b)的中点的中点c；u(3)计算算f(c)；u若若f(c)0，则c就是函数的零点；就是函数的零点；u若若f(a)f(c)0，则令令bc(此此时零点零点x0(a，c)；u若若f(c)f(b)0，则令令ac(此此时零点零点x0(c，b)u(4)判判断断是是否否达达到到精精确确度度：即
4、即若若|ab|，则得得到到零零点近似点近似值a(或或b)；否；否则重复重复(2)(4)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u想想一一想想：函函数数f(x)lnx2x6在在区区间间(2,3)内内有有零零点点，且且f(2)0.用用二二分分法法求求函函数数的的零零点点，下下一一步应找的区间是哪个区间？步应找的区间是哪个区间？u提提示示：取取区区间间(2,3)的的中中点点2.5，用用计计算算器器算算得得f(2.5)0.0840.因因为为f(2.5)f(3)0，所所以以零零点点在在区区间间(2.5,3)内内人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u1下面关于二分法的叙述，正确的是下面关于
5、二分法的叙述，正确的是()uA用二分法可求所有函数零点的近似用二分法可求所有函数零点的近似值uB用用二二分分法法求求方方程程的的近近似似解解时，可可以以精精确确到到小小数数点后的任一位点后的任一位uC二分法无二分法无规律可循，无法在律可循，无法在计算机上完成算机上完成uD只有求函数零点只有求函数零点时才用二分法才用二分法u答案：答案：B人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u2设f(x)3x2x8，用用二二分分法法求求方方程程3x2x80在在x(1,2)内内近近似似解解的的过程程中中得得f(1)0，f(1.25)0，f(1.25)0，方程根在区间方程根在区间u(1.25,1.5)内内u
6、答案：答案：A人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u3求求方方程程x32x50在在区区间(2,3)内内的的实根根，取取区区间中点中点x02.5，那么下一个有根区，那么下一个有根区间是是_u解解析析：设设f(x)x32x5，f(2)0，f(2.5)0即即f(2)f(2.5)0，所以下一个区间是，所以下一个区间是(2,2.5)u答案：答案：(2,2.5)人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u4已知函数已知函数g(x)的的图象是象是连续不断的，不断的，x，g(x)的的对应值表如下：表如下：u函数函数g(x)在哪个区在哪个区间内有零点？内有零点？为什么？什么？u解：解：g(1)20
7、，g(1)g(2)0，g(x)在区间在区间(1,2)内有零点内有零点x012345g(x)623102140人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u类型一类型一二分法的概念二分法的概念u【例例1】下下列列函函数数图象象与与x轴均均有有交交点点，其其中中不不能能用二分法求用二分法求图中函数零点的是中函数零点的是()u思路分析：思路分析：由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：u题中给出了函数的图象；题中给出了函数的图象；u二分法的概念二分法的概念u解解答答本本题题可可结结合合二二分分法法的的概概念念，判判断断是是否否具具备备使使用
8、用二分法的条件二分法的条件人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u解解析析：利利用用二二分分法法求求函函数数零零点点必必须须满满足足零零点点两两侧侧函函数数值值异异号号在在B中中，不不满满足足f(a)f(b)0，不不能能用用二二分分法法求求零零点点，由由于于A、C、D中中零零点点两两侧侧函函数数值值异异号号，故可采用二分法求零点故可采用二分法求零点u答案：答案：B人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u温温馨馨提提示示：(1)准准确确理理解解“二二分分法法”的的含含义义二二分分就就是是平平均均分分成成两两部部分分二二分分法法就就是是通通过过不不断断地地将将所所选选区区间间一一分
9、分为为二二，逐逐步步逼逼近近零零点点的的方方法法，找找到到零零点点附附近近足足够够小小的的区区间间，根根据据所所要要求求的的精精确确度度，用用此此区区间间的的某个数值近似地表示真正的零点某个数值近似地表示真正的零点u(2)“二分法二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用值异号才能应用“二分法二分法”求函数零点求函数零点 u判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是象在零点附近是连续不断的，且不断的
10、，且该零点零点为变号零号零点因此，用二分法求函数的零点近似点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法的方法仅对函数的函数的变号零点适用，号零点适用，对函数的不函数的不变号零点不适号零点不适用用人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u1下列函数中能用二分法求零点的是下列函数中能用二分法求零点的是()人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u解解析析：在在A中中，函函数数无无零零点点在在B和和D中中，函函数数有有零零点点，但但它它们们均均是是不不变变号号零零点点，因因此此它它们们都都不不能能用用二二分分法法求求零零点点而而在在C中中，函函数数图图象象是是连连续续不不断断的的，且且图图象
11、象与与x轴轴有有交交点点，并并且且其其零零点点为为变变号号零零点点，所所以以C中的函数能用二分法求其零点，故选中的函数能用二分法求其零点，故选C.u答案：答案：C 人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u类型二类型二用二分法求零点的近似解用二分法求零点的近似解u【例例2】利利用用计计算算器器求求方方程程lgx3x的的近近似似解解(精精确度确度0.1)u思思路路分分析析：首首先先确确定定lgx3x的的根根的的大大致致区区间间，由由于于ylgx，y3x的的图图象象可可以以作作出出，由由图图象象确确定定根根的大致区间再用二分法求解的大致区间再用二分法求解人教人教A版必修一版必修一新课标新课标
12、数学数学u解解：作作出出ylgx，y3x的的图图象象(下下图图)可可以以发发现现，方方程程lgx3x有有唯唯一一解解，记记为为x0，并并且且解解在在区区间间(2,3)内内u设设f(x)lgxx3，用计算器计算，得，用计算器计算，得uf(2)0，x0(2,3)；uf(2.5)0x0(2.5,3)；uf(2.5)0x0(2.5,2.75)；uf(2.5)0x0(2.5,2.625)；uf(2.5625)0x0(2.5625,2.625)u2.6252.56250.06250.1，u原方程的近似解为原方程的近似解为2.5625.人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u温温馨馨提提示示：(1)
13、若若方方程程的的根根可可以以转转化化为为常常用用函函数数图图象象交交点点的的横横坐坐标标，也也可可以以通通过过常常用用函函数数图图象象的的交交点点，确定原方程所在的大致区间，再用二分法求解确定原方程所在的大致区间，再用二分法求解u(2)求方程的近似解即求函数的零点的近似值用二求方程的近似解即求函数的零点的近似值用二分法求解时要注意给定函数的符号、二分法求解的分法求解时要注意给定函数的符号、二分法求解的条件及要求的精确度条件及要求的精确度 u用二分法求方程的近似解，首先要用二分法求方程的近似解，首先要选好好计算的初始算的初始区区间，这个区个区间既要包含所求的根，又要使其既要包含所求的根，又要使其
14、长度度尽量小，其次要依据尽量小，其次要依据给定的精确度，及定的精确度，及时检验所得所得区区间端点差的端点差的绝对值是否达到要求是否达到要求(达到达到给定的精确定的精确度度)，以决定是停止，以决定是停止计算算还是是继续计算算人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u2求求方方程程2x33x30的的一一个个近近似似解解(精精确确度度0.1)u解：解：设设f(x)2x33x3，经计算，经计算f(0)f(1)0，uf(x)在在(0,1)内存在零点内存在零点u即方程即方程2x33x30在在(0,1)内有解，列表如下：内有解，列表如下：人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u类型三类型三二分
15、法的实际应用二分法的实际应用u【例例3】中中央央电视台台有有一一档档娱乐节目目“幸幸运运52”，主主持持人人李李咏咏会会给选手手在在限限定定时间内内猜猜某某一一物物品品的的售售价价的的机机会会，如如果果猜猜中中，就就把把物物品品奖励励给选手手，同同时获得得一一枚枚商商标某某次次猜猜一一种种品品牌牌的的手手机机，手手机机价价格格在在5001000元元之之间选手手开开始始报价价：1000元元，主主持持人人回回答答：高高了了；紧接接着着报价价900元元，高高了了；700元元，低低了了；800元元，低低了了；880元元，高高了了；850元元，低低了了；851元元，恭恭喜喜你你，你你猜猜中中了了表表面面
16、上上看看猜猜价价格格具具有有很很大大的的碰碰运运气气的的成成分分，实际中中，游游戏报价价过程程体体现了了“逼逼近近”的的数数学学思思想想，你你能能设计出出可可行行的的猜猜价价方方案案来来帮帮助助选手猜价手猜价吗？人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u思路分析：思路分析：从游戏中可以发现选手的报价往往是从从游戏中可以发现选手的报价往往是从高于真实价或者低于真实价，从两边向真实价靠拢高于真实价或者低于真实价，从两边向真实价靠拢的，而手机的价格范围是确定的，且报数是整数，的，而手机的价格范围是确定的，且报数是整数，所以可用数学中的所以可用数学中的“逼近思想逼近思想”的特例二分法来设计的特例
17、二分法来设计猜价方案猜价方案人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u解：解：取价格区间取价格区间500,1000的中点的中点750，如果主持人，如果主持人说低了，就再取说低了，就再取750,1000的中点的中点875；否则取另一；否则取另一个区间个区间(500,750)的中点；若遇到小数取整数照这的中点；若遇到小数取整数照这样的方案，游戏过程猜测价如下：样的方案，游戏过程猜测价如下：750,875,812,843,859,851，经过，经过6次可猜中价格次可猜中价格 人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u1本本题是是二二分分法法的的应用用，二二分分法法不不仅可可用用于于查找找
18、电线、水水管管、气气管管故故障障，还能能用用于于实验设计、资料料查询，也是求根的常用方法，也是求根的常用方法u2此此方方案案应该说方方便便、迅迅速速、准准确确，而而且且很很科科学学在在实际生生活活中中处处有有数数学学，碰碰到到问题多多用用数数学学方方法法去思考，会使我去思考，会使我们变得更得更聪明，更具有数学素养明，更具有数学素养人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u3在在一一个个风雨雨交交加加的的夜夜里里，从从某某水水库闸房房到到防防洪洪指指挥部部的的电话线路路发生生了了故故障障这是是一一条条10 km长的的线路，如何迅速路，如何迅速查出故障所在？出故障所在？u如如果果沿沿线路路一
19、一小小段段一一小小段段查找找，困困难很很多多每每查一一个个点点要要爬爬一一次次电线杆杆子子，10 km，大大约有有200多多根根电线杆杆子子呢呢想想一一想想，维修修线路路的的工工人人师傅傅怎怎样工工作作最合理？最合理？人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u解：解：如下图所示，他首先从中点如下图所示，他首先从中点C查用随身带的查用随身带的话机向两端测试时，发现话机向两端测试时，发现AC段正常，判定故障在段正常，判定故障在BC段，再到段，再到BC段中点段中点D查，这次发现查，这次发现BD段正常，段正常，可见故障在可见故障在CD段，再到段，再到CD中点中点E来查来查u每每查查一一次次，可可
20、以以把把待待查查的的线线路路长长度度缩缩减减一一半半，算算一一算算，要要把把故故障障可可能能发发生生的的范范围围缩缩小小到到50100 m左左右右，即一两根电线杆附近，要查多少次？即一两根电线杆附近，要查多少次？u据初中所学知识可知只要据初中所学知识可知只要7次就够了次就够了人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u1二二分分法法的的基基本本思思想想是是将将含含零零点点的的区区间一一分分为二二，然然后后逐逐步步逼逼近近零零点点，由由于于使使用用二二分分法法的的依依据据是是勘勘根根定定理理，因因此此并并不不是是所所有有的的零零点点都都能能用用二二分分法法求求解解那么怎那么怎样的零点才能用二
21、分法求出其近似解呢？的零点才能用二分法求出其近似解呢？u判判定定一一个个函函数数能能否否用用二二分分法法求求其其零零点点的的依依据据是是：其其图象象在在零零点点附附近近是是连续不不断断的的，且且该零零点点为变号号零零点点因因此此，用用二二分分法法求求函函数数的的零零点点近近似似值的的方方法法仅对函函数数的的变号号零零点点适适合合，对函函数数的的不不变号号零零点点不不适适用用人教人教A版必修一版必修一新课标新课标数学数学u2使用二分法求函数零点近似使用二分法求函数零点近似值应注意以下几点：注意以下几点：u(1)第第一一步步中中要要满足足：区区间长度度尽尽量量小小；f(a)、f(b)的的值比比较容易容易计算且算且f(a)f(b)0.u(2)根根据据函函数数的的零零点点与与相相应方方程程根根的的关关系系，求求函函数数的的零零点点和和求求相相应方方程程的的根根是是等等价价的的对于于求求方方程程f(x)g(x)的的根根，可可以以构构造造函函数数F(x)f(x)g(x)，函函数数F(x)的零点即的零点即为方程方程f(x)g(x)的根的根
