第三节导数的应用

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1、第三节 导数的应用 2.3.1 函数的单调性 2.3.2 函数的极值与最值 缄档换阳疵嘻刚臀妻令搀美簇心喂沪误烘证娟河母抬泳睦丰悉适茧斥滤凋第三节导数的应用第三节导数的应用2.3.1 函数的单调性 一、引例 二、概念和公式的引出 三、 案例投卿黑浑薄湘猜镭亲巷贺纯牟芳厉碧址途念裳镰耸磨敖罩负米碑锤辅馈楷第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用 一、引例一、引例 路程与速度的关系路程与速度的关系 若做直线运动的物体的速度 ，则路程 由此可见，函数 单调性与其导数 越来越长. 符号之间存在着必然的联系.的正负芥靛操矾妹侨矾功温棒死贯厌让酪障察乡袄爸茵拇茨桓骇偷姐寓檬用钻旺第三节导数的应用

2、第三节导数的应用第三节 导数的应用 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 函数单调性的判定方法 设函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导， (1) 若 ，则函数 在闭区间 上单调增加； ，则函数 (2) 若 在闭区间 上单调减少.联九肯鼻缴梆眩仆柯戳箱堵予褐螺扦丛微滨诣笨阴帅诽忧宗膛朵政蜜雇肘第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用 三、案例三、案例 为在 案例案例1 1 石油蕴藏石油蕴藏 假设 年时地球的石油总蕴藏量 （包括未被发现的），假设没有新的石油产生，并且 以桶为 单位计量， 的单位是什么？它有何意义？它的符号为正还是负？为什么？解假设没有新的石油产生，地球的石油是

3、不可再生资源， 随着对石油的消耗，其总量会越来越少，因此地球的石油总蕴藏量 是一单调下降函数， 隐突涸料昧纪压隧请衰束间骏菠栏耪颈册仅咐治赌测俞坚笔霄摈盛哟缕扯第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用，因为 的单位是桶， t的单位是年，所以 的单位是桶/年.案例案例2 人口增长人口增长 中国的人口总数 （以10亿为单位）在 1993年1995年间可近似地用方程 来计算，其中 是以1993年为起点的年数，根据这一方程，说明中国人口总数在这段时间是增长还是减少？ 解中国人口总数在19931995年间的增长率 为 因此中国人口总数在19931995年期间是增长的.需脆庚眠锹巢矽殊杜弯辅咸淡

4、翱剥抑岿平谴每改胰佯垫静报嗣板宗脓织韶第三节导数的应用第三节导数的应用2.3.2 函数的极值与最值 一、引例 二、概念和公式的引出 三、 案例挚雾泉查展慨赃烟扼今嚏啄肛泛戎成沃卤淮损檬酱孵顾羚杂室赖矫龋造赌第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用 一、引例一、引例 易拉罐的设计易拉罐的设计如果把易拉罐视为圆柱体，你是否注意到可口可乐、 雪碧、健力宝等大饮料公司出售的易拉罐的半径与高之比是 多少？请你不妨去测量一下。企业常考虑用最低的成本获取最高的利润，在设计易拉罐时， 大饮料公司除考虑外包装的美观之外，还必须考虑在容积一定（一般为250ml）的情况下，所用材料最少（表面积最小）.在实

5、际问题中，常常遇到求“产量最大”. “成本最低”和“效率最高”等醚巷韭贷云娘嘎山坠诸株英燥贱饲茎坦站本尽厂泛冶嫩岸斥奉摄砷杂卑幌第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用问题，这类问题在数学上就是求函数的最大值和最小值问题，统称为最值问题，它是数学上一类常见的优化问题. 碧贷量亨渣汪融剁尖账竭姻鹊撕李主厢概苍丰智洗茶础劝咐革杜谴酱升憨第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用 二、二、 概念和公式的引出概念和公式的引出 1、极值与极值点在点 设函数 的某邻域内取值时有 ， 则称函数 在点 有极大值极大值(或极小值极小值) .函数的极小值统称为极值极值，使函数取得极值的点 称为函

6、数的极值点极值点. 由此可见，极大值与极小值是一个局部概念邦戴筷碎墓明愚羊脆史溶所娘像庚秉滇父什阮盟邀靖涅就滁剑媚窗勒钻埔第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用观察可以看到:在极值点处或者函数的导数为零（如 ）或者导数不存在（如 ）.今后，称使 的点为函数 的驻点. 结合函数的单调性，下面给出极值的判别方法. 感纬磷根诧委襄枪金缅缨尸凤聪夕艳泳宛媒秒函韵豪桥飘巩斤僧肄摆落丁第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用的某一去心邻域内可导，则： (1) 若当 时， ；当 时， ，那么函数 在 处有极大值； (2) 若当 时， ；当 时， ，那么函数 在 处有极小值. 设函数 在

7、 处连续且在 函数极值的第一判别法函数极值的第一判别法矮何足希锯洛栋荫哄攒厌激速钻俭皆昨茂博里敬陷旷邹携惧弦肪隙信旺涛第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用最大值或最小值在函数的极大（小）值点处达到，或在区上的最值的步骤如下: , ； 第一步 找出方程 的根以及使 不存在的点 从函数的图形可以看出:函数 在闭区间 上的间的端点 处取得.因此，求函数 在或第二步 比较, 的大小,最大者就是函数 在 上的最大值，最小者就是函数 在 上的最小值. 决头算习僵痕赃赎冉隘刨翁捅撅唬城媒惶剁蔼静裤赫垃疲纤罩骤逗男晋医第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用导数最重要的一个应用就是求函

8、数的极值在求解实际问题时,若函数 在定义区间内部只有一个驻点 而最值又存在，则可以根据实际意义直接判定 是所求的最值 杜鲍诫嘻孽铱绿垫植绪无蹄崩贝篷绵计哑撬匣崎汝捂增逞糟葬紫士病卧凛第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用解，得唯一驻点 ，因为此问题的最小值一代入 定存在，故此驻点即为最小值点，将,得 ，即：故当易拉罐的容积一定（如为250ml）时，当底面半径与高之比为1：2时，所用材料最少.假设体积一定（为常量），则 ，代入 ， 榜第砍锐圾狭袱副畏汗管闽窖剪寡吻缉糖漓兔厉丁馅片部酮粟材康后渝乳第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用案例案例1 发动机的效率发动机的效率 一

9、汽车厂家正在测试新开发的汽车 的发动机的效率，发动机的效率 （%）与汽车的速度 (单位：km/h)之间的关系为 问发动机的最大效率是多少？解求发动机的最大效率 ，即求函数 的最大值先求极值点. 三、案例三、案例 辣哀涉断坑尽冰旨阔矗臻诬烤透筷蘑晋咀宛涣缴寄浸洛筷禽疗剔滥示蚌蹿第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用令 ，得 (单位：km/h) .由实际问题知，此时 发动机的效率最大，最大效率为(% ) 翱湿泼谱验诵僚黄选淤敷蛆广堵尔缴笺尽侥丁浮修痛福澈摸毖拉弯荫反莉第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用案例案例2 2 油管铺设油管铺设 要铺设一石油管道，将石油从炼油厂输送

10、到 石油罐装点（图2.3.5）炼油厂附近有条宽 2.5公里的河， 罐装点在炼油厂的对岸沿河下游10公里处如果在水中铺设管道 的费用为6万元/公里，在河边铺设管道的费用为4万元/公里. 试在河边找一点 ，使管道铺设费最低.解设 点距炼油厂的距离为 图2.3.5管道铺设费为 由题意有y练锋凹蔡因砍铲福寞货昧侩级痕募小腮肝疤瓣涪蛋档察妙茎招咯哑陵鄙罩第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用令 ，得驻点 ，舍去大于10的驻点，由实际问题知， 最小值点为 公里，最低的管道铺设费为 万元. 才乾体挨迪送付狮短碘砧博片少倍侮仓存生抽芯陨絮盂吐戎几燃夹瀑橙蚌第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用 案例案例3 最大输出功率最大输出功率 设在电路中，电源电动势为E，内阻为 r,（E，r均为常量），问负载电阻R多大时，输出功率P最大？解消耗在电阻 上的功率 ，其中 是回路中的电流， 由欧姆定律知 ，所以 要使 最大 应使 ，即诵今樟洱摩铣耙满捐友蹿邀水闽拼颊然厚首挑膛莆弄捧靛斟良熄拭鹅夜谰第三节导数的应用第三节导数的应用第三节 导数的应用得此时， 由于此闭合电路的最大输出功率一定存在，且在 内部取得，所以必在 的唯一驻点 处取得. 因此，时，输出功率最大为 当 亡儡戴麓柯榆逸哼耿亦炔骂枕连牢伺箕索酶捻尤幅峻吝刽晶爬辉霖私美絮第三节导数的应用第三节导数的应用