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1、第三章 数值积分与数值微分复化求积公式Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望第三章 数值积分与数值微分对于定积分对于定积分 其精确值其精确值.I=2.302585。用梯形公式（。用梯形公式（3.1.6）计）计算有算有 用用Simpson公式（公式（3.1.7）计算）计算 可以可以看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶看出，它们的误差很大。由上一节的讨论可知，高阶Newton-Cotes求积公求积公式是不稳定的。式是不稳定的。 因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的
2、积分值，而是将整个积因此，通常不用高阶求积公式得到比较精确的积分值，而是将整个积分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为分区间分段，在每一小段上用低阶求积公式。这种方法称为复化求积方法复化求积方法。本节讨论复化梯形公式和复化本节讨论复化梯形公式和复化Simpson公式。公式。高次插值有高次插值有Runge 现象现象，故采用分段低次插值，故采用分段低次插值 分段低次合成的分段低次合成的 Newton-Cotes 复合复合求积公式。求积公式。第三章 数值积分与数值微分一、复化梯形公式一、复化梯形公式:在每个在每个 上用梯形公式：上用梯形公式：=Tn 3.2 复化求积公式复化求积公式称称
3、 Tn为为复化梯形公式复化梯形公式 第三章 数值积分与数值微分设设 由梯形公式的误差有由梯形公式的误差有因为因为所以存在所以存在 使得使得（3.2.2）于是于是,复化梯形公式的余项为复化梯形公式的余项为第三章 数值积分与数值微分 事实上，由定积分的定义可知，对事实上，由定积分的定义可知，对a，b的任意分划的任意分划 所作所作黎曼和的极限黎曼和的极限存在。该积分对于等距分划和特殊的存在。该积分对于等距分划和特殊的 当然成立，于是对复化梯当然成立，于是对复化梯形公式有形公式有 定义定义3.2 如果一种公式如果一种公式 有有 则则称求积公式称求积公式 是是P阶收敛的。阶收敛的。显然，复化梯形公式是显
4、然，复化梯形公式是2 阶收敛的。阶收敛的。可以看出，误差（可以看出，误差（3.2.2）是）是 阶的。而且，当阶的。而且，当 时，时， ，即复化梯形公式收敛到，即复化梯形公式收敛到 值得值得指出的是，收敛的结论，只要指出的是，收敛的结论，只要f（x）在）在a，b上可积即可成立。上可积即可成立。第三章 数值积分与数值微分用复化梯形求积公式时，如果用复化梯形求积公式时，如果 不够精确，那么我们可以将每个子不够精确，那么我们可以将每个子区间区间 对分，得到对分，得到2n个子区间，再用复化梯个子区间，再用复化梯形公式计算。此时，计算形公式计算。此时，计算 的分点也是计算的分点也是计算 的分点。的分点。（
5、3.2.3）因此，我们可以将复化梯形公式递推化，即有因此，我们可以将复化梯形公式递推化，即有其中其中 。这样，计算。这样，计算 时，只须把新分点上的函数值算时，只须把新分点上的函数值算出加到出加到 中即可。中即可。第三章 数值积分与数值微分3.2.2 复化复化simpson求积公式求积公式将积分区间将积分区间a,b为为n等份，等份，h=(b-a)/h, 在每个子区间在每个子区间 上用上用 Simpson公式可得公式可得44444= Sn（3.2.4）称称Sn为为复化复化Simpson公式公式 。第三章 数值积分与数值微分设设 ，由，由Simpson公式的误差有公式的误差有 （3.2.5）类似于
6、复化梯形公式的推导，复化类似于复化梯形公式的推导，复化Simpson公式的余项为公式的余项为 由此可见，复化由此可见，复化Simpson公式是公式是4阶收敛的阶收敛的 。第三章 数值积分与数值微分例例 3.3 分别用复化梯形公式和复化分别用复化梯形公式和复化Simpson公式计算公式计算 时，要时，要使用误差不超过使用误差不超过 ，问各取多少个节点？，问各取多少个节点？解：由（解：由（3.2.2），令），令由此解得由此解得由（由（3.2.5），令），令 由此解得由此解得 。因此，复化梯形公式取。因此，复化梯形公式取361个节点，个节点，复化复化Simpson公式取公式取19（即（即92+1）个
7、节点。可见，复化）个节点。可见，复化Simpson公式公式明显由于复化梯形公式。明显由于复化梯形公式。第三章 数值积分与数值微分例例 3.4 计算计算解：解：其中其中= 3.138988494其中其中= 3.141592502运算量基运算量基本相同本相同第三章 数值积分与数值微分3.3用样条函数方法和外推法求下列函数的一阶和二阶导数，用样条函数方法和外推法求下列函数的一阶和二阶导数，并结合函数的图形说明精度与步长并结合函数的图形说明精度与步长h的关系。的关系。3.4设计自适应的设计自适应的Simpson方法求积分的近方法求积分的近似值，即对不同的子区间分别按精度标准确定各自适当的步长，计似值，即对不同的子区间分别按精度标准确定各自适当的步长，计算各子区间上的积分近似值，然后将各个近似值相加，要求近似值算各子区间上的积分近似值，然后将各个近似值相加，要求近似值的绝对误差限为。的绝对误差限为。
