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1、第二章第二章 数列极限数列极限符号符号的含意：的含意：表示表示连加加.如如: Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.实例实例求由曲线求由曲线围成的面积围成的面积.(一个看上去古老而又笨拙的方法一个看上去古老而又笨拙的方法)过程过程:1. 将区间将区间0,1分为分为n等分等分:相应把所求面积分为相应把所求面积分为n个小细长条个小细长条.2. 区间区间的中点坐标为的中点坐标为每一小细条的面积近似用如下小矩形的面
2、积代之每一小细条的面积近似用如下小矩形的面积代之Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.2. 区间区间的中点坐标为的中点坐标为每一小细条的面积近似用如下小矩形的面积代之每一小细条的面积近似用如下小矩形的面积代之所求面积近似为所求面积近似为:3. 分得越细分得越细(即即n越大越大),上述近似值就越接近于其精确值上述近似值就越接近于其精确值.通过观察通过观察,令令n趋于趋于“无穷大无穷大”，可得所求的面积为：，可
3、得所求的面积为：问题：问题：若计算小细条的面积时，以左端点计算，如何？若取右端点呢？若计算小细条的面积时，以左端点计算，如何？若取右端点呢？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.将区间将区间0,1分为分为n等分等分:若每一小细条的面积用左端点为高的矩形近似，则小细条的面积为若每一小细条的面积用左端点为高的矩形近似，则小细条的面积为所求面积近似为所求面积近似为:分得越细分得越细(即即n越大越大),上述近似值就
4、越接近于其精确值上述近似值就越接近于其精确值.通过观察通过观察,令令n趋于趋于“无穷大无穷大”，可得所求的面积为：，可得所求的面积为：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.将区间将区间0,1分为分为n等分等分:若每一小细条的面积用右端点为高的矩形近似，则小细条的面积为若每一小细条的面积用右端点为高的矩形近似，则小细条的面积为所求面积近似为所求面积近似为:分得越细分得越细(即即n越大越大),上述近似值就越接近
5、于其精确值上述近似值就越接近于其精确值.通过观察通过观察,令令n趋于趋于“无穷大无穷大”，可得所求的面积为：，可得所求的面积为：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.当取中点计算小细条面积时，所求面积当取中点计算小细条面积时，所求面积S近似为近似为:当取左端点计算小细条面积时，所求面积当取左端点计算小细条面积时，所求面积S近似为近似为:当取右端点计算小细条面积时，所求面积当取右端点计算小细条面积时，所求面积
6、S近似为近似为:令令n趋于趋于“无穷大无穷大”，它们都趋于同一个数：，它们都趋于同一个数：Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.1 数列的极限数列的极限1. 数列的函数定义数列的函数定义排列着的一列数称为数列排列着的一列数称为数列:常记为常记为:若函数若函数f的定义域为的定义域为则称则称为数列为数列.2. 数列极限的定义数列极限的定义当当n无限增大时无限增大时,考察下列数列的趋向考察下列数列的趋向:当当n无
7、限增大时无限增大时,无限地接近常数无限地接近常数则称此数列以则称此数列以a为极限为极限.(这只能算是描述性定义这只能算是描述性定义,因为不能以此来进行数学推导因为不能以此来进行数学推导)如何用如何用“精确精确”的数学语言刻划：的数学语言刻划：当当n无限增大时无限增大时,无限地接近常数无限地接近常数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.当当n无限增大时无限增大时,无限地接近常数无限地接近常数当当n无限增大时无
8、限增大时,可以任意小，要多小就有多小可以任意小，要多小就有多小.当当n无限增大时无限增大时,可以小于任意小的正数可以小于任意小的正数.对于事先给定的任意小的正数对于事先给定的任意小的正数,当当n大到一定程度时大到一定程度时,就可以小于该正数就可以小于该正数.定义定义1 设设为数列为数列,为定数为定数. 若对任给的正数若对任给的正数总存在正整数总存在正整数使得当使得当时有时有则称数列则称数列收敛于收敛于定数定数称为数列称为数列的极限的极限,记作记作读作读作:当当n趋于无穷大时趋于无穷大时,以以为极限为极限,或称或称趋于趋于Evaluation only.Created with Aspose.S
9、lides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.考察数列考察数列当当时，当当充分大充分大时， 与与充分接近，要多近就有多近。充分接近，要多近就有多近。考察数列考察数列能否与能否与充分接近？能否与充分接近？能否与充分接近？充分接近？当当充分大充分大时，是否所有的，是否所有的与与充分接近？充分接近？（不存在！）（不存在！）Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyrigh
10、t 2004-2011 Aspose Pty Ltd.考察数列考察数列当当时，当当充分大充分大时， 与与充分接近，要多近就有多近。充分接近，要多近就有多近。对任给的正数对任给的正数总存在正整数总存在正整数使得当使得当时有时有比如，若要比如，若要只要只要即可。即可。Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.对任给的正数对任给的正数总存在正整数总存在正整数使得当使得当时有时有比如，若要比如，若要只要只要即可。即可。
11、比如，若要比如，若要只要只要只要只要即可即可.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.对任给的正数对任给的正数总存在正整数总存在正整数使得当使得当时有时有若要若要只要只要证明证明的完整过程：的完整过程：证：证：取取(保证保证N为正整数为正整数), 当当时有时有进而有进而有故故Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profi
12、le 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.定义定义1 设设为数列为数列,为定数为定数. 若对任给的正数若对任给的正数总存在正整数总存在正整数使得当使得当时有时有则称数列则称数列收敛于收敛于定数定数称为数列称为数列的极限的极限,记作记作注注: :1) 定定义1称称为数列极限数列极限的的定定义.2) 定定义1的的简洁形式形式:3) 根据数列极限的根据数列极限的定定义,就能把就能把证明明的的问题,变成真正的数学成真正的数学问题 (而不是停留在直而不是停留在直观的文字描述上的文字描述上). Evaluation only.Created with As
13、pose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4) 按定按定义验证（证明）明）就是一个找就是一个找正整数正整数的的过程程,是一个数学推是一个数学推导的的过程程,其中包括其中包括“放大、放大、估估计、变形、解不等式形、解不等式”等常用的数学方法等常用的数学方法.5) 找找N的分析的分析过程从不等式程从不等式开始开始,证明的明的书写写过程按定程按定义的格式的格式.3. 例例例例1 设(常数数列常数数列). 证明明:证:任取正整数任取正整数当当时,恒有恒有即即Evaluation
14、only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例2 证明证明:分析分析:要要证证:取取当当时有时有所以所以Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例3 证明证明:分析分析(方法一方法一): 1)由于极限问题考虑的是当由于极限问题考虑的是当n趋趋于无
15、穷大时数列的极限于无穷大时数列的极限,所以在具体所以在具体分析证明时分析证明时,根据需要根据需要,可以认为可以认为n是是一个很一个很“大大”的正整数，即可限制的正整数，即可限制n大是大于某个具体的正整数大是大于某个具体的正整数.（常用（常用在去绝对值符号、估计不等式的时候）在去绝对值符号、估计不等式的时候）(为去掉绝对值符号对为去掉绝对值符号对n所作的限制所作的限制)在在的前提下的前提下,若要若要由此可以找到由此可以找到考虑到考虑到的限制的限制,故应取故应取 2)若在推导过程中对若在推导过程中对n作了限制作了限制,最后取最后取N的时候的时候,要把限制考虑进去要把限制考虑进去.Evaluatio
16、n only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例3 证明证明:证证:取取当当时有时有进而进而故故3)上述求出的上述求出的N是从不等式是从不等式“生硬生硬”的解出来的的解出来的,这样得到这样得到N看上去十分看上去十分“准确准确”，但在极限的证明中，我们不要求，但在极限的证明中，我们不要求“准确准确”，而要求，而要求“简洁可用简洁可用”即可。即可。Evaluation only.Created with Aspose.Slides f
17、or .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例3 证明证明:分析分析(方法二方法二):(对对n所作的限制？所作的限制？)注意到注意到在在的前提下，的前提下，只要只要即即证证:取取当当时有时有故故Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例3 证明证明:证证:取取当当时有时有故故4)取取保证了当保证了当时同时有时同
18、时有与与进而可导出进而可导出事实上，也可取事实上，也可取（理由）？（理由）？Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例4 证明证明:分析分析:当当时时,对任何对任何无论无论n为何数为何数,都有都有当当时时,要想要想4)因为因为表示表示的接近程度的接近程度,所以根据需要可以把所以根据需要可以把限制小于某个正数限制小于某个正数证证:对任给对任给当当时时, 取取当当nN时有时有当当时时,当当nN时也有时也有所以所
19、以Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例5 证明证明:分析分析:(方法一方法一)证证:取取当当时时,有有Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.例例5 证明证明:证证: (方法二方法二)令令则则所以有所以有取取当当nN
20、时有时有所以所以(两种方法两种方法,你喜欢哪一个你喜欢哪一个?)Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4. 关于极限定义的说明关于极限定义的说明定义定义1 设设为数列为数列,为定数为定数. 若对任给的正数若对任给的正数使得当使得当时有时有(1)的任意性的任意性:表示表示的接近程度的接近程度.越小越小, 表示接近程度越好表示接近程度越好.可以任意小可以任意小,说明说明任意接近到任何程度任意接近到任何程度.又具
21、有相对的固定性又具有相对的固定性,一但给出一但给出,就暂时确定下来就暂时确定下来,以此来求出以此来求出N.是任意小的正数是任意小的正数,进而进而都可以认为是任意小的正数都可以认为是任意小的正数.在具体应用时在具体应用时,常可根据需要将其限制小于某个确定的正数常可根据需要将其限制小于某个确定的正数.定义中的不等式定义中的不等式可改写成可改写成总存在正整数总存在正整数Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.4.
22、关于极限定义的说明关于极限定义的说明定义定义1 设设为数列为数列,为定数为定数. 若对任给的正数若对任给的正数使得当使得当时有时有(2)的相对性的相对性:随随的变小而变大的变小而变大.对于同一个对于同一个N并不是唯一的并不是唯一的.对对N只要求只要求“找到找到”,并不要求准确并不要求准确,可根据具体情况设其大于某个定数可根据具体情况设其大于某个定数.可将定义中的可将定义中的改为改为(3) 几何意义几何意义从几何上看从几何上看,当当时有时有表示表示:当当时时,所有下标大于所有下标大于N的项都落在邻域的项都落在邻域内内.即在即在之外只有数列的有限项之外只有数列的有限项.总存在正整数总存在正整数Ev
23、aluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.(3) 几何意义几何意义从几何上看从几何上看,当当时有时有表示表示:当当时时,所有下标大于所有下标大于N的项都落在邻域的项都落在邻域内内.即在即在之外只有数列的有限项之外只有数列的有限项.例例6 观察以下极限过程：观察以下极限过程：（取（取a=9的情形）的情形）例例7 考察数列的趋势：考察数列的趋势：5.数列极限的邻域定义数列极限的邻域定义定义定义1-1 若对任给的正数若对
24、任给的正数在邻域在邻域外至多有数列外至多有数列的有限项的有限项,则称数列则称数列收敛于收敛于Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.5.数列极限的邻域定义数列极限的邻域定义定义定义1-1 若对任给的正数若对任给的正数在邻域在邻域外至多有数列外至多有数列的有限项的有限项,则称数列则称数列收敛于收敛于5-1 数列数列不收敛于不收敛于的定义的定义定义定义1-2若存在某个若存在某个使得在邻域使得在邻域外有数列外有数列
25、的无穷项的无穷项,则则不以不以为极限为极限.例例8 证明证明:是发散数列是发散数列.证证: 要证明对任何实数要证明对任何实数能找到一个能找到一个使在使在有有的无数项的无数项.对任何实数对任何实数取取则则中满足中满足的项都在的项都在之外之外,且有无穷项且有无穷项,故故不是数列不是数列的极限的极限,由由a的任意性的任意性,数列数列无极限无极限,即是发散数列即是发散数列.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.定义
26、定义1-1 若对任给的正数若对任给的正数在邻域在邻域外至多有数列外至多有数列的有限项的有限项,则称数列则称数列收敛于收敛于例例9 设设作数列作数列证明证明:证证: 因因故对任给的正数故对任给的正数数列数列落在邻域落在邻域之外的项至多只有有限项之外的项至多只有有限项,所以数列所以数列中落在中落在之外的项至多只有有限项之外的项至多只有有限项,所以所以命题命题1设设为已知数列为已知数列,为对为对增加、减少或改变有限项之后增加、减少或改变有限项之后得到的数列得到的数列, 则则与与有相同的敛散性有相同的敛散性.6. 无穷小数列无穷小数列定义定义2 若若则称则称为无穷小数列为无穷小数列.定理定理2.1 数列数列收敛于收敛于的充要条件是的充要条件是:为无穷小数列为无穷小数列.Evaluation only.Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0.Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd.
