《概率论与数理统计第三章ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论与数理统计第三章ppt课件（76页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、河南理工大学精品河南理工大学精品河南理工大学精品河南理工大学精品课课程程程程 概率概率概率概率论论与数理与数理与数理与数理统计统计 二二维随机随机变量量 边缘分布分布 随机随机变量的独立性量的独立性 二二维随机随机变量函数的分布量函数的分布第三章 多维随机变量及其分布11、二、二维随机随机变量量一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念 定定义1 1 设在在实验E E的的样本空本空间S=eS=e上定上定义了两个了两个 随机随机变量量X X、Y,Y,称向量称向量(X,Y)(X,Y)为二二维随机随机变量或二量或二维随随 机向量机向量. . 二二维随机随机变量量(X,Y)(X,Y)不不仅与各个
2、随机与各个随机变量量X,YX,Y有关有关, , 也与也与X,YX,Y间的内在的内在联络有关有关. . 因此因此, ,不能不能试图经过单独研独研讨随机随机变量量X,YX,Y而来了解而来了解 二二维随机随机变量量(X,Y),(X,Y),必需将必需将(X,Y)(X,Y)作作为一个整体来研一个整体来研讨. . 类似于一似于一维随机随机变量量, ,我我们也可利用也可利用“分布函数来分布函数来研研 究二究二维随机随机变量量(X,Y),(X,Y),并且分并且分别就离散型与延就离散型与延续型来加型来加 以分析以分析. .请 他他 注注 意意 定定义2 2 设(X,Y)(X,Y)为二二维随机随机变量量, ,称二
3、元函数称二元函数为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数, ,也称为随机变量也称为随机变量X X 与与Y Y的结合分布函数的结合分布函数, ,其中其中 为恣意实数为恣意实数. . 分布函数分布函数 在点在点 处的函数的函数值就是事件就是事件 “随机点随机点(X,Y)落在以点落在以点 为右上右上顶点的角形区点的角形区 域的概率域的概率.二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性二、分布函数及其性质质质定定义域域为全平面全平面 分布函数具有以下根本性分布函数具有以下根本性质: 关于关于x、y均均单调不减右延不减右延续. 对
4、恣意点恣意点 均有：均有： 分布函数与离散型二分布函数与离散型二维随机随机变量分布律、量分布律、连 续型二型二维随机随机变量概率密度的关系量概率密度的关系见后后.随机向量落在矩随机向量落在矩形区域的概率形区域的概率三、离散型二三、离散型二三、离散型二三、离散型二三、离散型二三、离散型二维维维随机随机随机随机随机随机变变变量量量量量量 1 1、概念、概念、概念、概念 定定义3 3 假假设二二维随机随机变量量(X,Y)(X,Y)一切能一切能够取取值为 有限个或可列无限个点有限个或可列无限个点, ,那么称那么称(X,Y)(X,Y)为二二维离散型随离散型随机机 变量量. . 2 2、分布律、分布律、分
5、布律、分布律 设二二维离散型随机离散型随机变量量(X,Y)能能够取取值为 那么那么(X,Y)的分布律的分布律(概率分布概率分布)X与与Y的的结合分布律合分布律为 分布律分布律满足足: 分布律可用表格表示分布律可用表格表示:XY 概率的非概率的非负性性概率的概率的规范性范性【例1】P.71 将一枚硬将一枚硬将一枚硬将一枚硬币连币连抛三次抛三次抛三次抛三次, ,以以以以X X表示在表示在表示在表示在“ “三次中出三次中出三次中出三次中出现现正正正正面的次数面的次数面的次数面的次数,Y,Y表示表示表示表示“ “三次中正、反面次数差的三次中正、反面次数差的三次中正、反面次数差的三次中正、反面次数差的绝
6、对值绝对值, ,求求求求X X与与与与Y Y的的的的结结合分布律合分布律合分布律合分布律. . 解解X取取值0,1,2,3;Y取取值1,3.根身手件根身手件总数数为8. X与与Y的的结合分布律合分布律为: PX=0,Y=1=P()=0; PX=0,Y=3=1/8; TTT PX=1,Y=1=3/8; HTT,THT,TTHPX=1,Y=3=P()=0; PX=2,Y=1=3/8; HHT,HTH,THH PX=2,Y=3=P()=0;PX=3,Y=1=P()=0; PX=3,Y=3=1/8. HHH古典概率古典概率例1-续X与与Y的的结合分布律合分布律为：二二维离散型随机离散型随机变量的分布列
7、量的分布列笼统化解化解释 想象将一想象将一单位位质量的物量的物质分配在分配在X，Y所所 有能有能够取取值的点的点处，相，相应分配的量就是分配的量就是对应的概的概 率率值。 这样一来，随机一来，随机变量取量取值落在某个平面区域落在某个平面区域 G上的概率就等于上的概率就等于G内各能内各能够取取值点点处概率之和。概率之和。请自学自学P.72:例例2。四、延四、延四、延四、延四、延四、延续续续型二型二型二型二型二型二维维维随机随机随机随机随机随机变变变量量量量量量 1 1、概念、概念、概念、概念 定定义4 4 设 为二二维随机随机变量量(X,Y)(X,Y)分布函数分布函数, , 假假设存在非存在非负
8、函数函数 使使对恣意恣意实数数 有有 那么称那么称(X,Y )(X,Y )为二维延续型随机变量为二维延续型随机变量, ,其中其中 称为称为 随机变量随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度, ,或称为随机变量或称为随机变量X X与与Y Y的联的联 合概率密度合概率密度. .2 2、概率密度及其性、概率密度及其性、概率密度及其性、概率密度及其性质质概率密度具有以下性概率密度具有以下性质: 设G为平面平面xoy上的一个区域上的一个区域,那么随机点那么随机点(X,Y) 落在落在G内的概率内的概率为: 曲曲顶柱柱体体体体积确定待定参数确定待定参数 概率密度性质 假假设 在点在点 处延延续,那么
9、有那么有由分布函数由分布函数求概率密度求概率密度由概率密度由概率密度求分布函数求分布函数 【例2】(典型题设设r.v.(X,Y)r.v.(X,Y)的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度为为 解由概率密度性解由概率密度性质得得 (1)(1)确定确定确定确定C C的的的的值值;(2);(2)求求求求(X,Y)(X,Y)的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数;(3);(3)求概率求概率求概率求概率 (1) 由于由于 所以所以 故故例2-续1 (2)由概率密度求分布函数由概率密度求分布函数. 解解题思思绪 画出结合概率密度的 非零区域; 点(x,y)在全平面范围 内取值; 综合上述两点得出就 (x
10、,y)的分段情形. 例2-续2 本例中分布函数本例中分布函数应分分为两段来两段来计算算:就就x0,y0与与 “其它。其它。利用重积分对积分利用重积分对积分区域的可加性区域的可加性,只只保管非零积分保管非零积分例2-续3 (3)求概率求概率PYX. 只需在概率密度只需在概率密度f的非零的非零 区域与事件区域区域与事件区域 G=(x,y)|yx 的交集的交集D上上积分分. 由公式由公式 得得:例2-续4本例是一个典型本例是一个典型本例是一个典型本例是一个典型题题. . . .大家大家大家大家应应熟熟熟熟练练掌握分析与掌握分析与掌握分析与掌握分析与计计算算算算 的方法。特的方法。特的方法。特的方法。
11、特别别是会根据不同外形的概率密度非零区域是会根据不同外形的概率密度非零区域是会根据不同外形的概率密度非零区域是会根据不同外形的概率密度非零区域 与所求概率的事件区域与所求概率的事件区域与所求概率的事件区域与所求概率的事件区域G G G G来来来来处处置置置置这类问题这类问题。 就就P.73:例例3来共同思索如何分段来共同思索如何分段?应分几段分几段?怎怎 样计算各段算各段值?(板板书) 二二维均匀分布均匀分布 设G为一个平面有界区域一个平面有界区域,其其 面面积为A.假假设二二维延延续型随机型随机变量量(X,Y)的概率密的概率密 度度为那么称那么称(X,Y)服从区域服从区域G上的均匀分布上的均
12、匀分布,记为(X,Y)U(G).1 1、二、二维维均匀分布均匀分布两种常见的二维延续型分布两种常见的二维延续型分布 二二维正正态分布分布 设二二维延延续型随机型随机变量量(X,Y) 的概率密度的概率密度为2 2、二、二维维正正态态分布分布 其中其中 均均为常数常数,称称(X,Y) 为服从参数服从参数为 的二的二维正正态分布分布,记为22、边缘边缘分布分布分布分布一、一、一、一、一、一、边缘边缘边缘分布函数及其求法分布函数及其求法分布函数及其求法分布函数及其求法分布函数及其求法分布函数及其求法 设二二维随机随机变量量(X,Y)的分布函数的分布函数为 ,X与与Y 作作为单个随机个随机变量的分布函数
13、分量的分布函数分别为 ,称称分分别为二二维随机随机变量量(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的的边缘分布分布 函数函数.问题:结合分布合分布(函数函数)与与边缘分布分布(函数函数)有什么关系有什么关系?结论:结合分布合分布(函数函数) 边缘分布分布(函数函数) 但当但当X与与Y相互独立相互独立时,结合分布合分布(函数函数)与与边缘分布分布 (函数函数)可相互确定可相互确定.3 设二二维随机随机变量量(X,Y)的分布函数的分布函数为 ,边缘分分 布函数布函数即即X与与Y的分布函数的分布函数为 ，那么有，那么有 因此，由因此，由结合分布函数可合分布函数可 求得求得边缘分布函数：分布函数：即可即可经过
14、结合分布函数求极限合分布函数求极限 来确定来确定边缘分布函数。分布函数。二、离散型二二、离散型二二、离散型二二、离散型二二、离散型二二、离散型二维维维随机随机随机随机随机随机变变变量的量的量的量的量的量的边缘边缘边缘分布律分布律分布律分布律分布律分布律 设离散型二离散型二维随机随机变量量(X,Y)的分布律的分布律为 那么由那么由结合分布函数与合分布函数与边缘分布函数、分布函数、结合分布律关合分布律关 系得：系得： 又由一又由一维离散型随机离散型随机变量分布函数与分布律关系得：量分布函数与分布律关系得： 比比较可得可得X的分布律的分布律为： 同理可得同理可得Y的分布律的分布律为： 我我们称称 (
15、X,Y)关于关于X的的边缘分布律分布律 (X,Y)关于关于Y的的边缘分布律分布律 显然然,由由结合分布律可求得各个合分布律可求得各个边缘分布律分布律,只需只需 采用采用“同一表格法同一表格法.设r.v.X与与Y的的结合分布律合分布律为 解利用公式得解利用公式得边缘分布律分布律,见上表上表“边缘.求求X,Y的的边缘分布律分布律.【例3】三、延三、延三、延三、延三、延三、延续续续型二型二型二型二型二型二维维维随机随机随机随机随机随机变变变量的量的量的量的量的量的边缘边缘边缘概率密度概率密度概率密度概率密度概率密度概率密度 设延延续型二型二维随机随机变量量(X,Y)的概率密度的概率密度为 那么由那么
16、由结合分布函数与合分布函数与边缘分布函数、分布函数、结合概率密度合概率密度关系得：关系得： 又由一又由一维延延续型随机型随机变量分布函数与概率密度关系得：量分布函数与概率密度关系得： 比比较可得可得X为延延续型随机型随机变量量,且且X的概率密度的概率密度为： 同理可得同理可得Y的概率密度的概率密度为： 我我们称称 (X,Y)关于关于X的的边缘概率密度概率密度 (X,Y)关于关于Y的的边缘概率密度概率密度 显然然,由由结合概率密度可求得各个合概率密度可求得各个边缘概率密度概率密度, 只需只需对某一个某一个变量在量在(-,+)上上积分分,但必需留意另但必需留意另 一个一个变量量应在全体在全体实数范
17、数范围内取内取值.参量参量积分分【例4】(典型题设设r.v.Xr.v.X与与与与Y Y的的的的结结合概率密度合概率密度合概率密度合概率密度为为 解解题思思绪 求求求求X,YX,Y的的的的边缘边缘概率密度概率密度概率密度概率密度. . 画出结合概率密度的 非零区域; 参量x(y)在实数范围 内取值; 综合上述两点就x(y) 分两种情形关于y(x)由-积分到+,只需在积分直线 与非零区域交线上进展. 类似可得似可得:解由公式得解由公式得:例4-续1例4-续2本例是求本例是求边缘概率密概率密度的典型度的典型题，不同的，不同的标题只是非零区域外形和只是非零区域外形和积分分表达式的表达式的变化，必需熟化
18、，必需熟练掌握掌握. .二维正态分布的边缘分布 不不难求得二求得二维正正态分布随机分布随机变量的量的边缘概率密概率密 度度为: 由此可知由此可知:二二维正正态分布的分布的边缘分布均分布均为一一维正正 态分布分布,且与参数且与参数无关无关. 阐明明:由由结合分布可以确定合分布可以确定边缘分布分布,但由但由边缘 分布未必能确定分布未必能确定结合分布合分布.33、相互独立的随机、相互独立的随机、相互独立的随机、相互独立的随机变变量量量量那么称随机那么称随机变量量X X与与Y Y是相互独立的是相互独立的. . 定定义1 1 设 分分别为二二维随机随机 变量量(X,Y)(X,Y)分布函数与分布函数与边缘
19、分布函数分布函数. .假假设对于恣意于恣意 的的实数数 均有均有 一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念一、概念即即 利用两事件的独立性可以定利用两事件的独立性可以定义两随机两随机变量的独立量的独立性性.二、断定二、断定二、断定二、断定二、断定二、断定 由定由定义可以断定随机可以断定随机变量量X X与与Y Y的独立性的独立性: : X X与与Y Y相互独立相互独立 特特别的，的，对离散性和延离散性和延续性随机性随机变量，也可利量，也可利 用其分布律与概率密度来断定独立性。用其分布律与概率密度来断定独立性。1 1、离散型随机、离散型随机、离散型随机、离散型随机变变量量量量 离散型随机离散型随机
20、变量量(X,Y)(X,Y)的分布律、的分布律、边缘分布律分布律 分分别为那么那么X X与与Y Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是: :对对(X,Y)(X,Y)的一切能的一切能够够 获得值获得值 , ,均有均有 设延延续型随机型随机变量量(X,Y)(X,Y)的概率密度、的概率密度、边缘概率概率 密度分密度分别为那么那么X X与与Y Y相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是: :在全平面上几乎在全平面上几乎处处 成立成立2 2、延、延、延、延续续型随机型随机型随机型随机变变量量量量 总之，之，结合分布可确定合分布可确定边缘分布分布; ;但当但当X X与与Y Y相互相互 独立独立时，边缘分
21、布也可确定分布也可确定结合分布。合分布。 普通，要断定普通，要断定X X与与Y Y的独立性，可先求的独立性，可先求边缘分布分布, , 再根据上述条件之一断定再根据上述条件之一断定. .【例1】 设设随机随机随机随机变变量量量量(X,Y)(X,Y)的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度为为(1)(1)求求求求(X,Y)(X,Y)的的的的边缘边缘概率密度概率密度概率密度概率密度; ; (2)(2)断定断定断定断定X,YX,Y的独立性的独立性的独立性的独立性. . 解解(1)求求(X,Y)的的边缘概率概率 密度密度例1-续1(2)断定独立性断定独立性由于由于 即即X与与Y不独立。不独立。所以在所以
22、在结合概率密度非零区域内合概率密度非零区域内例1-续2【例2】(典型题 设设随机随机随机随机变变量量量量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立, ,且且且且X X服从服从服从服从(0,1)(0,1)上的均匀分上的均匀分上的均匀分上的均匀分 布布布布,Y,Y的概率密度的概率密度的概率密度的概率密度为为(1)(1)求求求求X X与与与与Y Y的的的的结结合概率密度合概率密度合概率密度合概率密度; ; (2)(2)求关于求关于求关于求关于t t的二次方程的二次方程的二次方程的二次方程t2+2Xt+Y=0 t2+2Xt+Y=0 有有有有实实根的概率根的概率根的概率根的概率. . 解解(1)求求X
23、与与Y的的结合概率密度合概率密度 由于由于X,Y独立独立,且有且有 所以所以,X与与Y的的结合概率密度合概率密度为例2-续1 (2) (2)求方程有求方程有求方程有求方程有实实根的概率根的概率根的概率根的概率 “方程有方程有实根即根即为 故所求概率故所求概率为;例2-续2 均匀分布的概率密度；均匀分布的概率密度； 当两个随机当两个随机变量相互独立量相互独立时，可由，可由边缘概率概率 密度确定密度确定结合概率密度；合概率密度； 由由结合概率密度求事件合概率密度求事件“二二维随机随机变量取量取值落落 在一个平面区域内在一个平面区域内 概率的概率的积分公式；分公式； 二重二重积分的分的计算；算； 利
24、用利用规范正范正态概率密度函数概率密度函数计算有关概率算有关概率积 分分值； 一元二次方程有一元二次方程有实根的条件，等。根的条件，等。此此此此题题知知知知识识点回想点回想点回想点回想 不不难看出：看出：对于二于二维正正态随机随机变量量(X,Y),X与与Y相相 互独立的充要条件是参数互独立的充要条件是参数=0. 参数参数称称为X与与Y的相关系数的相关系数(ch4). 假假设随机随机变量量X与与Y的相关系数的相关系数=0,称称X与与Y是不是不 相关的相关的. 普通普通,X与与Y相互独立相互独立 X与与Y不相关不相关. 但但对二二维正正态随机随机变量量(X,Y),X与与Y独立与不相独立与不相 关是
25、等价的关是等价的.续 由一、二由一、二维随机随机变量推行至量推行至n维随机随机变量量.请看教看教 材材 我我们知道：二知道：二维正正态随机随机变量量(X,Y)的概率密度的概率密度为 两个两个边缘概率密度概率密度为二维正态分布与边缘分布44、条件分布、条件分布、条件分布、条件分布一、离散型二一、离散型二一、离散型二一、离散型二一、离散型二一、离散型二维维维随机随机随机随机随机随机变变变量的条件分布律量的条件分布律量的条件分布律量的条件分布律量的条件分布律量的条件分布律 定定定定定定义义义1 1 1 设设设X X X，Y Y Y为为为离散型二离散型二离散型二离散型二离散型二离散型二维维维随机随机随
26、机随机随机随机变变变量，量，量，量，量，量， 对对对于固定的于固定的于固定的于固定的于固定的于固定的j j j，当，当，当，当，当，当 时时时，称，称，称，称，称，称为在为在 条件下条件下X的条件分布律；的条件分布律；由条件概率可以自然地引入条件分布。由条件概率可以自然地引入条件分布。为在为在 条件下条件下Y的条件分布律。的条件分布律。对于固定的对于固定的i，当，当 时，称时，称设r.v.X与与Y的的结合分布律合分布律为求在求在Y=1条件下条件下X的条件分布律的条件分布律.【例1】 解先求解先求边缘分布律分布律,见上表上表“边缘. 再求条件分布律：再求条件分布律：显然，条件分布律也然，条件分布
27、律也满足分布律的性足分布律的性质。例1-续 定定定定定定义义义2 2 2 设设设延延延延延延续续续型二型二型二型二型二型二维维维随机随机随机随机随机随机变变变量量量量量量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的概率密的概率密的概率密的概率密的概率密的概率密 度度度度度度为为为 ，边缘边缘边缘概率密度概率密度概率密度概率密度概率密度概率密度为为为 ，那么当，那么当，那么当，那么当，那么当，那么当 时时时，称，称，称，称，称，称为在条件为在条件 下下X的条件概率密度；当的条件概率密度；当 时，时，称称为在条件为在条件 下下Y的条件概率密度的条件概率密度二、延二、延二、延二、延二、延二、延续续续型二型二型二
28、型二型二型二维维维随机随机随机随机随机随机变变变量的条件概率密度量的条件概率密度量的条件概率密度量的条件概率密度量的条件概率密度量的条件概率密度【例【例2 2】 设设设r.v.Xr.v.Xr.v.X与与与与与与Y Y Y的的的的的的结结结合概率密度合概率密度合概率密度合概率密度合概率密度合概率密度为为为求条件概率密度求条件概率密度求条件概率密度求条件概率密度求条件概率密度求条件概率密度 。 解先求解先求边缘概率密度：概率密度：再先条件概率密度：当再先条件概率密度：当 时，时，55、二、二、二、二维维随机随机随机随机变变量函数的分布量函数的分布量函数的分布量函数的分布 一一维随机随机变量函数的分
29、布在前一章曾量函数的分布在前一章曾经讨论过， 下面就几个下面就几个详细的分布来的分布来讨论二二维随机随机变量函数的分量函数的分 布。布。 主要就延主要就延续型随机型随机变量量(X,Y)来根据来根据详细情况运用情况运用 公式公式: 至于离散型随机至于离散型随机变量情形可参照量情形可参照处置置.55、二、二、二、二维维随机随机随机随机变变量函数的分布量函数的分布量函数的分布量函数的分布 一一维随机随机变量函数的分布在前一章曾量函数的分布在前一章曾经讨论过， 下面就几个下面就几个详细的分布来的分布来讨论二二维随机随机变量函数的分量函数的分 布。布。 主要就延主要就延续型随机型随机变量量(X,Y)来根
30、据来根据详细情况运用情况运用 公式公式: 至于离散型随机至于离散型随机变量情形可参照量情形可参照处置置. 由由对称性得：称性得： 因此因此,由由结合概率密度求和分布合概率密度求和分布Z=X+Y的概率密的概率密 度公式度公式为： 特特别，当，当X与与Y相互独立相互独立时,几乎几乎处处有有:于是于是,上述公式上述公式变为卷卷积公式公式: 因此因此,普通可由普通可由X与与Y的的结合概率密度求和分布合概率密度求和分布 Z=X+Y的概率密度的概率密度;当当X与与Y独立独立时,可由可由边缘概率密概率密 度的卷度的卷积公式求之公式求之. 参照参照D就就z在在(-,+)上上进展分段展分段; 对上述各分段中取定
31、的上述各分段中取定的z值,就就x从从- 积分至分至 +,实践只需在非零区域践只需在非零区域D上一段上一段积分分. 卷卷积计算思算思绪 在在xoz平面上确定被平面上确定被积函数及其非零区域函数及其非零区域D; 留意：上述也是普通参量留意：上述也是普通参量积分的分的计算方法。算方法。 设设随机随机随机随机变变量量量量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立, ,且均服从且均服从且均服从且均服从规规范正范正范正范正态态分布分布分布分布, , 求求求求Z=X+YZ=X+Y的概率分布的概率分布的概率分布的概率分布. .所以由卷所以由卷积公式得公式得Z=X+Y概率密度概率密度为 解由于解由于X,Y独立
32、且其概率密度分独立且其概率密度分别为【例1】1、z在在(-,+)上取上取值; 2、x在在(-,+)上上积分分; 3、思索被、思索被积函数的非零区域函数的非零区域; 4、在、在xoz系中系中综合上述各点确合上述各点确定定z的分段情形的分段情形.例1-续1所以所以ZN(0,2). 设设随机随机随机随机变变量量量量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立, ,且概率密度均且概率密度均且概率密度均且概率密度均为为： 解由于解由于X,Y独立独立,所以和分布概率密度可由卷所以和分布概率密度可由卷 积公式公式计算算:求求求求Z=X+YZ=X+Y概率密度。概率密度。概率密度。概率密度。 计算算积分思分思绪
33、:1.被被积函数非零区域函数非零区域;2. z取恣意取恣意实 数数;3.x在在(-,+)上上积分分;4.综合上述就合上述就z分段分段.【例2】(典型题)例2-续1 由由边缘概率密度确定概率密度确定 的表达式的表达式, 特特别是其非零区域是其非零区域 : 由由标题条件得条件得:故得故得: 计算卷算卷积: 函数自函数自变量量为z,积分分变量量为x,当当z取取值范范围确确 定后定后,x由由-积分至分至+ (只需在非零区域内一段上只需在非零区域内一段上积 分分). 例2-续2 由于由于所以所以例2-续3综上可得上可得:例2-续4离散型随机变量和分布离散型随机变量和分布 设离散型随机离散型随机变量量(X
34、,Y)的概率分布的概率分布为 那么随机那么随机变量量Z=X+Y的概率分布的概率分布为： 特特别,当当X,Y独立独立时,那么那么Z=X+Y的概率分布的概率分布为：【例【例3 3】P.90:P.90:例例11 解解Z=X+Y能能够取取值为-3,-2,-1,0,1,2,3;且且值得留意得留意:二二项分布和泊松分布均具有分布和泊松分布均具有“可加性：可加性： 设延延续型随机型随机变量量(X,Y)的概率密度的概率密度为 那么随机那么随机变量量Z=X/Y的分布函数的分布函数为：二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布二、商分布Z=X/YZ=X/YZ=X/Y由广由广义积分求分求导公式得：公式得：Z
35、=X/Y的概率密度的概率密度为即商分布的概率密度即商分布的概率密度为：于是于是,上述公式上述公式变为: 特特别，当，当X与与Y相互独立相互独立时,几乎几乎处处有有:设设随机随机随机随机变变量量量量X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立, ,且概率密度均且概率密度均且概率密度均且概率密度均为为：求求求求Z=X/YZ=X/Y概率密度。概率密度。概率密度。概率密度。 解由于解由于X,Y独立独立,所以由公式所以由公式 计算商分布的概率密度。算商分布的概率密度。【例4】 计算算积分思分思绪:1.被被积函数非零区域函数非零区域;2. z取恣意取恣意实 数数;3.y在在(-,+)上上积分分;4.综合上
36、述就合上述就z分段分段.计算方法与算方法与卷卷积类似似 由由边缘概率密度确定概率密度确定 的表达式的表达式, 特特别是其非零区域是其非零区域 由由标题条件得条件得:故得故得:例4-续1 计算参量算参量积分分 函数自函数自变量量为z,积分分变量量为y,当当z取取值范范围确确 定后定后,x由由-积分至分至+ (只需在非零区域内一段上只需在非零区域内一段上积 分分). 例4-续2 由于由于 所以所以综上可得上可得:例4-续3三、极大三、极大三、极大三、极大三、极大三、极大( ( (小小小小小小) ) )分布分布分布分布分布分布 设随机随机变量量X,Y相互独立，其分布函数分相互独立，其分布函数分别为 现求随机求随机变量量M=maxX,Y,N=minX,Y的分布函数的分布函数. 由分布函数的定由分布函数的定义得；得； 于是，极大于是，极大(小小)分布的分布函数分布的分布函数为 特特别,当当X,Y独立且同分布独立且同分布时,有有 上述上述结果可推行到有限个随机果可推行到有限个随机变量情形量情形. P.102:1; 2; 3 ; 7; P.103:12; P.104: 14;15;17 ; P.105:20;22 。本章作业
