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1、飞行器结构力学基础飞行器结构力学基础电子教学教案电子教学教案航空结构工程系航空结构工程系1第三章第三章 静定结构的内力与变形计算静定结构的内力与变形计算Internal Forces and Deformations ofStatically Determinate Structures第三讲第三讲静定结构的位移计算静定结构的位移计算2一、结构位移计算概述一、结构位移计算概述 结构在外界因素（诸如载荷、温度改变、结构在外界因素（诸如载荷、温度改变、支座移动、制造误差等）作用下几何形状支座移动、制造误差等）作用下几何形状发生的变化，称为结构变形。发生的变化，称为结构变形。 结构变形可通过不同的结
2、构位移形式来结构变形可通过不同的结构位移形式来表征，并通过计算位移值来定量描述。表征，并通过计算位移值来定量描述。3线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等统称为统称为结构位移结构位移线位移：参考点沿某一方向上的变形量。线位移：参考点沿某一方向上的变形量。角位移：参考截面或元件的转动变形量，转角、扭转角位移：参考截面或元件的转动变形量，转角、扭转角等。角等。相对线位移：两个参考点沿某一方向上的相对变形量。相对线位移：两个参考点沿某一方向上的相对变形量。相对角位移：两个参考面或元件间的相对转动变形量。相对角位移：两个参考面或元件间的相对转动变形量。4 计算
3、结构的位移是结构设计中的一项非计算结构的位移是结构设计中的一项非常重要的内容，一方面为研究结构的刚度常重要的内容，一方面为研究结构的刚度提供数据，另一方面为静不定结构的内力提供数据，另一方面为静不定结构的内力计算奠定基础。计算奠定基础。实质：分析结构几何关系的变化。实质：分析结构几何关系的变化。5二、回顾：外力功和变形能二、回顾：外力功和变形能对于图对于图(a)的杆件为完全弹性体，其横的杆件为完全弹性体，其横截面积为截面积为A，长度为，长度为L。在载荷。在载荷P 作用下作用下杆件的轴向力杆件的轴向力N 由零逐渐增加到最终值由零逐渐增加到最终值P，杆件的变形也由零逐渐增加到，杆件的变形也由零逐渐
4、增加到。力。力与变形之间的关系按图与变形之间的关系按图(b)曲线变化。曲线变化。这时这时外力所作的功外力所作的功W 等于等于 按照能量守恒原理，外载荷所作的功就以按照能量守恒原理，外载荷所作的功就以能量的形式贮存于杆件中。能量的形式贮存于杆件中。弹性体变形后弹性体变形后具有的作功能力，称为变形能或应变能，具有的作功能力，称为变形能或应变能，用用U 表示应变能。表示应变能。 6二、回顾：外力功和变形能二、回顾：外力功和变形能对于完全弹性体，显然应变能就等于外对于完全弹性体，显然应变能就等于外力所作的功，即力所作的功，即 图示杆件的应变能为图示杆件的应变能为 式中式中称为称为 应变能密度应变能密度
5、( (单位体积的应变能单位体积的应变能) )。图图(b)中曲线下面的那部分面积就代表了外中曲线下面的那部分面积就代表了外力所作的功力所作的功W 或应变能或应变能U 的大小。的大小。7二、回顾：外力功和变形能二、回顾：外力功和变形能图图(b)曲线上面的那部分面积所代表的功曲线上面的那部分面积所代表的功量记为量记为W* 或或U*，并称，并称W* 为为外力余功外力余功，称称U* 为为余应变能余应变能。对完全弹性体来说，。对完全弹性体来说， 图示杆件的外力余功图示杆件的外力余功W*和余应变能和余应变能U*为为 式中式中称为称为 余应变能密度余应变能密度( (单位体积的余应变能单位体积的余应变能) )。
6、8二、回顾：外力功和变形能二、回顾：外力功和变形能外力余功外力余功 W* 或余应变能或余应变能 U* 并无任何并无任何物理意义，纯粹是为了使用上的方便而物理意义，纯粹是为了使用上的方便而定义的一个数学量而已。定义的一个数学量而已。但可以证明，余应变能同样服从工程结但可以证明，余应变能同样服从工程结构中的能量守恒原理，因而，通过它所构中的能量守恒原理，因而，通过它所建立的一种能量方法同样可用于实际结建立的一种能量方法同样可用于实际结构分析。构分析。在线弹性情况下，载荷在线弹性情况下，载荷-位移曲线退化为位移曲线退化为直线，应变能直线，应变能 U 与余应变能与余应变能U*相等，从相等，从而应变能和
7、余应变能可以互换。而应变能和余应变能可以互换。9二、回顾：外力功和变形能二、回顾：外力功和变形能将应变能将应变能 U 和余应变能应变能 U* 分别对分别对 和和 P 微分，可得到微分，可得到 分别表示应变能对位移的一阶导数等于外力，而余应变能对外分别表示应变能对位移的一阶导数等于外力，而余应变能对外力的一阶导数等于位移，力的一阶导数等于位移，可适用于线弹性或非线弹性情况可适用于线弹性或非线弹性情况。 在线弹性情况下，在线弹性情况下，著名的卡氏第著名的卡氏第二定理二定理,只适用只适用于线弹性情况。于线弹性情况。10二、回顾：外力功和变形能二、回顾：外力功和变形能等轴力杆等轴力杆等弯矩梁等弯矩梁等
8、扭转杆等扭转杆11三、广义力与广义位移三、广义力与广义位移 在结构力学中，经常用到各种不同类型的力和与这些力相在结构力学中，经常用到各种不同类型的力和与这些力相对应的位移。如图所示的三种线弹性元件上，分别作用有集中对应的位移。如图所示的三种线弹性元件上，分别作用有集中力力 、弯矩、弯矩 、扭矩、扭矩 ，对应于这些力的位移分别为线位移，对应于这些力的位移分别为线位移 、弯曲转角、弯曲转角 和扭转角和扭转角 。外力所作的功分别为：。外力所作的功分别为：拉伸拉伸弯曲弯曲扭转扭转12三、广义力与广义位移三、广义力与广义位移 上述三种作用力及对应的三种变形均不相同，但它们有共上述三种作用力及对应的三种变
9、形均不相同，但它们有共同点，就是都能使物体发生变形，从而对物体作了功，所作之同点，就是都能使物体发生变形，从而对物体作了功，所作之实功均等于系数实功均等于系数“1/2”乘乘“力力”乘乘“位移位移”。若把这三种不同。若把这三种不同型式的型式的“力力”均称为广义力，与此广义力相对应的位移称为广均称为广义力，与此广义力相对应的位移称为广义位移的话，则广义力所作的功可表达为义位移的话，则广义力所作的功可表达为 （广（广义力）力） （广（广义位移）位移） 广义力广义力与与广义位移广义位移的定的定义：一般而一般而论，任何一个力或一，任何一个力或一组相互相互有关且又彼此独立的力系，如果可以用一个代数量来表示
10、它，有关且又彼此独立的力系，如果可以用一个代数量来表示它，则称它称它为一个广一个广义力，与此广力，与此广义力相力相对应的位移称的位移称为广广义位移。广位移。广义力与相力与相应的广的广义位移乘位移乘积的一半等于的一半等于该广广义力所作的功。力所作的功。13三、广义力与广义位移三、广义力与广义位移如果杆件同时承受有集中力如果杆件同时承受有集中力 、弯矩、弯矩 、扭矩、扭矩 作用，则广作用，则广义外力与广义位移分别为义外力与广义位移分别为于是，广义力所作的功等于于是，广义力所作的功等于 一般地：一般地：（非线性）（非线性）（线性）（线性）14三、广义力与广义位移三、广义力与广义位移一些典型结构元件的
11、广义力和广义位移：一些典型结构元件的广义力和广义位移：等轴力杆：等轴力杆：等弯曲杆：等弯曲杆：等扭转杆：等扭转杆：等剪力杆：等剪力杆：15四、弹性体的虚功原理四、弹性体的虚功原理弹性体在外力作用下处于弹性体在外力作用下处于平衡，存在两个力学状态平衡，存在两个力学状态平衡的力状态平衡的力状态协调的位移状态协调的位移状态特别注意：这两个状态属同一个体系，是同一个力学特别注意：这两个状态属同一个体系，是同一个力学问题的两种表现形式，相互关联，不可分割。问题的两种表现形式，相互关联，不可分割。平衡关系、协调关系、物理关系平衡关系、协调关系、物理关系力学问题的力学问题的3个基本关系个基本关系 （广（广义
12、力）力） （广（广义位移）位移） 实功：实功：16研究弹性体力学问题的研究弹性体力学问题的两种能量方法两种能量方法当协调的位移状态当协调的位移状态发生微小变化时，发生微小变化时，结构系统的能量有结构系统的能量有什么变化？什么变化？当平衡的力状态发当平衡的力状态发生微小变化时，结生微小变化时，结构系统的能量有什构系统的能量有什么变化？么变化？虚位移原理虚位移原理虚力原理虚力原理统称为：虚功原理统称为：虚功原理17重要定义重要定义1虚位移虚位移 一种假想的、满足位移约束条件的、任意一种假想的、满足位移约束条件的、任意的、微小的连续位移。的、微小的连续位移。假象的假象的：是指虚位移仅仅是想象中发生但
13、实际并不一定发生的一种可能位移。满足位移约束的满足位移约束的：是指虚位移应当满足变形体的变形协调条件和位移边界条件。任意的任意的：是指虚位移与变形体是否受力无关。微小的微小的：是指虚位移并不影响变形体的几何关系，即不影响力的平衡关系。因此，在发生虚位移的过程中，外力与内力均保持不变因此，在发生虚位移的过程中，外力与内力均保持不变，即保持原有的平衡状态。，即保持原有的平衡状态。18虚位移的例子虚位移的例子位移边界条件为：位移边界条件为：w 为梁的真实挠度曲线。为梁的真实挠度曲线。几种虚位移的形式：几种虚位移的形式：变形体的真实位移变形体的真实位移是否可作为虚位移是否可作为虚位移呢？呢？完全可以完
14、全可以19重要定义重要定义2虚功虚功 实力在虚位移上所作的功，或广义力在与实力在虚位移上所作的功，或广义力在与其无关的虚广义位移上所作的功。其无关的虚广义位移上所作的功。因为，在发生虚位移的过程中，外力和内力保持不变因为，在发生虚位移的过程中，外力和内力保持不变,因此，在虚功的表达式中无系数因此，在虚功的表达式中无系数“1/2”。为了与实功为了与实功W区别，记虚功为区别，记虚功为W，虚位移，则虚功为20虚功的例子虚功的例子真实外力真实外力虚位移虚位移虚功为：虚功为：21重要定义重要定义3虚力虚力 一种假想的、满足平衡条件的任意力系。一种假想的、满足平衡条件的任意力系。假象的假象的：是指虚力仅仅
15、是想象中一种可能力系。满足平衡条件的满足平衡条件的：是指虚力应当满足力的平衡方程（内部）和力的边界条件（外部）。任意的任意的：是指虚力与变形体的变形无关。因此，在发生虚力的过程中，变形体的位移均保持不变因此，在发生虚力的过程中，变形体的位移均保持不变，即保持原有的协调状态。，即保持原有的协调状态。22虚力的例子虚力的例子真实受力和变形状态：真实受力和变形状态：虚力状态虚力状态1：虽然力状态是平虽然力状态是平衡的，但力状态衡的，但力状态与实际变形无关与实际变形无关系。系。不是真实的受力状态，而仅是满足平衡条件的力状态。23虚力的例子虚力的例子真实受力和变形状态：真实受力和变形状态：虚力状态虚力状
16、态2：虚力状态虚力状态3：变形体的真实受力变形体的真实受力状态是否可作为虚状态是否可作为虚力呢？力呢？完全可以完全可以24重要定义重要定义4余虚功余虚功 虚力在真实位移上所作的功，或虚广义虚力在真实位移上所作的功，或虚广义力在与其无关的广义位移上所作的功。力在与其无关的广义位移上所作的功。因为，在发生虚力的过程中，位移保持不变，在余虚功因为，在发生虚力的过程中，位移保持不变，在余虚功的表达式中也无系数的表达式中也无系数“1/2”。为了与余功为了与余功W*区别，记余虚功为区别，记余虚功为W*，虚力P，则余虚功为25余虚功的例子余虚功的例子余虚功为：余虚功为：真实位移真实位移虚力虚力262.1 质
17、点的虚位移原理质点的虚位移原理一质点在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是：所有一质点在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是：所有力在质点虚位移上所作的虚功总和为零。力在质点虚位移上所作的虚功总和为零。必要条件必要条件充分条件充分条件平衡方程：平衡方程：虚功方程：虚功方程：272.2 质点系的虚位移原理质点系的虚位移原理一质点系在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是：对一质点系在诸力作用下处于平衡的充分必要条件是：对于任意的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和于任意的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。为零。必要条件必要条件充分条件充分条件平衡方程：平衡方程：虚功方程：虚功方程：282
18、.2 刚体刚体(或刚体系或刚体系)的虚位移原理的虚位移原理一刚体一刚体(系系)处于平衡的充分必要条件是处于平衡的充分必要条件是 ：对于任何可：对于任何可能的虚位移能的虚位移(刚体虚位移刚体虚位移)，作用于刚体，作用于刚体(系系)的所有外的所有外力所做虚功之和为零力所做虚功之和为零 。对于一刚体对于一刚体(系系)，去掉约束而，去掉约束而代之以相应的反力，该反力便代之以相应的反力，该反力便可看成外力。可看成外力。- -FP P +FB B=0假设一种刚体虚位移，则有假设一种刚体虚位移，则有相当于相当于MA=0292.4 弹性系统的虚位移原理弹性系统的虚位移原理平衡的力状态平衡的力状态协调的虚位移状
19、态协调的虚位移状态弹性系统在外力作用下处于平衡状态，对任意的虚位移，系统弹性系统在外力作用下处于平衡状态，对任意的虚位移，系统中所有外力在虚位移上所作的虚功总和等于所有内力在虚位移中所有外力在虚位移上所作的虚功总和等于所有内力在虚位移上所作的虚功总和。上所作的虚功总和。外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功符号标记：符号标记：Si、Vi 分别表示在真实外力作分别表示在真实外力作用下，弹性体内部第用下，弹性体内部第i个元件个元件的内力和位移；的内力和位移；Si 表示第表示第i个元件的虚内力；个元件的虚内力；Vi 表示第表示第i个元件的虚位移。个元件的虚位移。30协调的位移状态协调的位移状态平衡的虚力状
20、态平衡的虚力状态弹性系统在外力作用下处于变形协调状态，对任意的虚力状态弹性系统在外力作用下处于变形协调状态，对任意的虚力状态,系统中所有虚外力在位移上所作的余虚功总和等于所有虚内力系统中所有虚外力在位移上所作的余虚功总和等于所有虚内力在位移上所作的虚余功总和。在位移上所作的虚余功总和。2.4 弹性系统的虚力原理弹性系统的虚力原理外力余虚功外力余虚功内力余虚功内力余虚功31待分析平衡的力状态待分析平衡的力状态n 关于虚位移原理关于虚位移原理【例【例1】 建立图示桁架建立图示桁架1点的平衡方程。点的平衡方程。解：解：（1）设三根杆的内力分别为）设三根杆的内力分别为N1、N2、N3，在，在1点处与外
21、载荷应满足平衡条件。点处与外载荷应满足平衡条件。N1N2N3（2）假设）假设1处的水平位移为处的水平位移为u，垂直位，垂直位移为移为v。根据桁架的几何参数，可以得出。根据桁架的几何参数，可以得出各杆与结点各杆与结点1的位移相协调的变形，如表的位移相协调的变形，如表所示。所示。 协调的虚位移状态协调的虚位移状态32【例【例1】 建立图示桁架建立图示桁架1点的平衡方程。点的平衡方程。解：解：（3）外力虚功、内力虚功分别为）外力虚功、内力虚功分别为N1N2N3（4 4）根据虚位移原理，）根据虚位移原理， ，有，有由于虚位移由于虚位移u、v为任意值，有为任意值，有1点的点的X向平衡方程向平衡方程1点的
22、点的Y向平衡方程向平衡方程33出出导导n 关于虚位移原理关于虚位移原理实际受力状态的平衡方程实际受力状态的平衡方程实质：用几实质：用几何法解静力何法解静力平衡问题。平衡问题。34待分析协调的位移状态待分析协调的位移状态n 关于虚力原理关于虚力原理【例【例2】 图示桁架在外力作用下处于变形协图示桁架在外力作用下处于变形协调状态。已知杆子调状态。已知杆子12、13、14的伸长量分别的伸长量分别为为L12、 L13、 L14，求1点的水平位移点的水平位移u和垂直位移和垂直位移v。解：解：（1） 内位移内位移L12、 L13 和 L14，与1点点的水平位移的水平位移u和垂直位移和垂直位移v应满足协调条
23、件。应满足协调条件。（2）假设）假设1点处的水平力为点处的水平力为Px，垂直力，垂直力为为Py。根据虚力的定义，可以求与虚外。根据虚力的定义，可以求与虚外力平衡的一种内力状态，如图所示。力平衡的一种内力状态，如图所示。 满足平衡条件的虚力状态满足平衡条件的虚力状态035【例【例2】解：】解：（3）外力余虚功、内力余虚功分别为）外力余虚功、内力余虚功分别为（4 4）根据虚位移原理，）根据虚位移原理， ，有，有由于虚力由于虚力Px、Py为任意值，有为任意值，有1点的点的X向几何方程向几何方程1点的点的Y向几何方程向几何方程36出出导导n 关于虚力原理关于虚力原理实际变形状态的几何实际变形状态的几何
24、(协调协调)方程方程实质：用静实质：用静力平衡法解力平衡法解几何问题。几何问题。虚力原理对求解静不定结构虚力原理对求解静不定结构内力具有重要的应用。内力具有重要的应用。37五、单位载荷法求位移的五、单位载荷法求位移的Mohr公式公式利用虚功原理利用虚功原理(虚力原理虚力原理)，可以求出变形结构中任意一点由于，可以求出变形结构中任意一点由于变形而产生的位移。变形而产生的位移。真实的位移状态真实的位移状态平衡的虚力状态平衡的虚力状态令令 ，则有，则有虚功原理虚功原理38五、单位载荷法求位移的五、单位载荷法求位移的Mohr公式公式式中：式中： 即为所求即为所求m m点处的结构位移值；点处的结构位移值
25、； 表示外力作用下结构元件表示外力作用下结构元件 i 的的真实位移；真实位移； 表示单位广义力作用下的结构内力。表示单位广义力作用下的结构内力。这就是这就是单位载荷法单位载荷法(Dummy-Unit Load Method)，它是它是 Maxwell(1864)和和Mohr(1874)提出的，故也称为提出的，故也称为Maxwell-Mohr Method。39上式可写成：上式可写成：五、单位载荷法求位移的五、单位载荷法求位移的Mohr公式公式如何求如何求 ？ ：外力作用下第：外力作用下第 i 个结构元件的广义力；个结构元件的广义力； ：第：第 i 个结构元件的刚度系数个结构元件的刚度系数桁架：
26、桁架：刚架：刚架： 等等40五、单位载荷法求位移的五、单位载荷法求位移的Mohr公式公式根据不同类型元件的广义力与广义位移，可得到不同类型结根据不同类型元件的广义力与广义位移，可得到不同类型结构的位移计算公式。构的位移计算公式。n 平面或空间桁架平面或空间桁架n 平面刚架平面刚架截面形状系数。如：截面形状系数。如：（1）对矩形截面）对矩形截面k=6/5；（2）对圆形截面）对圆形截面k=10/9。 轴力轴力弯矩弯矩剪力剪力41五、单位载荷法求位移的五、单位载荷法求位移的Mohr公式公式a)求在外载荷作用下的结构真实内力求在外载荷作用下的结构真实内力 ；b)施加与所求位移相对应的单位广义力，并求在
27、单位广义力施加与所求位移相对应的单位广义力，并求在单位广义力作用下的结构内力作用下的结构内力 ；c)代入单位载荷法的一般表达式中，求广义位移代入单位载荷法的一般表达式中，求广义位移 ；d)若若 e) ，表示所求位移的方向与单位力方向相同；，表示所求位移的方向与单位力方向相同；f) ，表示所求位移的方向与单位力方向相反。，表示所求位移的方向与单位力方向相反。着重指出：单位力的位置、类型和方位必须与所求位移相对应。着重指出：单位力的位置、类型和方位必须与所求位移相对应。施加单位广义力的原则：单位广义力施加单位广义力的原则：单位广义力位移所求位移值位移所求位移值42如何施加与所求位移对应的单位广义力
28、如何施加与所求位移对应的单位广义力求求5点的竖向位移点的竖向位移1求求1点和点和6点的水平点的水平相对位移相对位移1143如何施加与所求位移对应的单位广义力如何施加与所求位移对应的单位广义力求求15杆的转角杆的转角求求1点和点和6点在点在1、6连线上的相对位移连线上的相对位移1144如何施加与所求位移对应的单位广义力如何施加与所求位移对应的单位广义力求求15杆、杆、36杆杆的相对转角的相对转角45如何施加与所求位移对应的单位广义力如何施加与所求位移对应的单位广义力求求A点的竖向位移点的竖向位移1求求A截面的转角截面的转角146如何施加与所求位移对应的单位广义力如何施加与所求位移对应的单位广义力
29、求求A、B两点的竖向两点的竖向相对位移相对位移1求求A、B两截面的相两截面的相对转角对转角11147例例 1：求桁架：求桁架4点的竖向位移点的竖向位移4V，设各杆，设各杆EA均相同。均相同。解：解：1、几何特性分析、几何特性分析该桁架为无多余约束的几何不变该桁架为无多余约束的几何不变体，故为静定的。体，故为静定的。3、为求、为求4点的竖向位移，在点的竖向位移，在4点点竖向方向上施加单位广义力，并竖向方向上施加单位广义力，并求单位广义力作用下的结构内力，求单位广义力作用下的结构内力，即求即求 。4、由单位载荷法求、由单位载荷法求4V2、求桁架在外载荷作用下的内、求桁架在外载荷作用下的内力，即求力
30、，即求 。48例例 1：求桁架：求桁架4点的竖向位移点的竖向位移4V，设各杆，设各杆EA均相同。均相同。4V0，与单位力的方向一致。，与单位力的方向一致。49例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移点的竖向位移AV。设。设E、J、G、A均相同。均相同。解：解：1、几何特性分析、几何特性分析该刚架为无多余约束的几何不变体，该刚架为无多余约束的几何不变体，故为静定的。故为静定的。2、求刚架在外载荷作用下的内力，、求刚架在外载荷作用下的内力，即求即求 。50例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移点的竖向位移AV。设。设E、J、G、A均相同。均相同。3、为求、为求A点的竖向位移，在点的竖向位移，在A点竖
31、向方点竖向方向上施加单位广义力，并求单位广义力向上施加单位广义力，并求单位广义力作用下的结构内力，即求作用下的结构内力，即求 。51例例 2：求刚架：求刚架A点的竖向位移点的竖向位移AV。设。设E、J、G、A均相同。均相同。4 4、由单位载荷法求、由单位载荷法求AVAV。弯曲弯曲轴向轴向剪切剪切对于细长杆件，相比弯矩来说，轴力和剪力对变形的影响很小对于细长杆件，相比弯矩来说，轴力和剪力对变形的影响很小, ,可略去轴力项和剪力项的影响，只计及弯矩项。可略去轴力项和剪力项的影响，只计及弯矩项。52例例 3：求半径为：求半径为R的半园环的半园环A点的位移点的位移A。设抗弯刚度为。设抗弯刚度为EJ。解
32、：解：1、几何特性分析、几何特性分析该刚架为静定的。该刚架为静定的。2、求刚架在外载荷作用下的内力，即、求刚架在外载荷作用下的内力，即求求 。外侧受压53例例 3：求半径为：求半径为R的半园环的半园环A点的位移点的位移A。设抗弯刚度为。设抗弯刚度为EJ。3、为求、为求A点的位移，在点的位移，在A点竖向和水平方向上分别施加单位广点竖向和水平方向上分别施加单位广义力，并求单位广义力作用下的结构内力，即求义力，并求单位广义力作用下的结构内力，即求 。内侧受压外侧受压54例例 3：求半径为：求半径为R的半园环的半园环A点的位移点的位移A。设抗弯刚度为。设抗弯刚度为EJ。4 4、由单位载荷法，分别求、由
33、单位载荷法，分别求 AV、AH 。由此计算得到由此计算得到A点的位移点的位移A为为55六、图乘法及其应用六、图乘法及其应用积分积分 的计算的计算 在用单位载荷法计算结构位移时，经常遇到类似在用单位载荷法计算结构位移时，经常遇到类似 形式的积分。其中形式的积分。其中 、 都是积分变量都是积分变量 的函数，并且的函数，并且 或或 两者之一是线性变化的。在这两者之一是线性变化的。在这种情形下，可以导出一种较为简便的计算方法，称为种情形下，可以导出一种较为简便的计算方法，称为图形互乘法图形互乘法。 56六、图乘法及其应用六、图乘法及其应用积分积分 的计算的计算设在区间设在区间 上定义两个函数上定义两个
34、函数 和和 ，其中，其中 是是 的线性函数，求积分的线性函数，求积分 的值。的值。57延长延长 至至 o 点，建立点，建立 oy 轴，有轴，有N1的图形对的图形对y轴的静矩轴的静矩图乘法是维利沙金图乘法是维利沙金(Vereshagin)于于1925年提出年提出的，值得一提的是，他当时为莫斯科铁路运输的，值得一提的是，他当时为莫斯科铁路运输学院的学生。学院的学生。58六、图乘法及其应用六、图乘法及其应用积分积分 的计算的计算一般地，一般地，为曲线图形的面积；为曲线图面积的形心对应于直线图形的高度。注意图乘法的应用条件：注意图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，）等截面直杆， EA 或或 EI 等应
35、为常数；等应为常数；（2）两个图中应有一个是直线；）两个图中应有一个是直线；（3） 应取自直线图中。应取自直线图中。59六、图乘法及其应用六、图乘法及其应用积分积分 的计算的计算60六、图乘法及其应用六、图乘法及其应用积分积分 的计算的计算61例例 4：求刚架：求刚架A点的竖向位移点的竖向位移AV。设。设EJ 均相同。均相同。解：解：1、几何特性分析、几何特性分析该刚架为无多余约束的几何不变体，该刚架为无多余约束的几何不变体，故为静定的。故为静定的。2、求刚架在外载荷作用下的内、求刚架在外载荷作用下的内力，即求力，即求 。3、为求、为求A点的竖向位点的竖向位移，在移，在A点竖向方向上点竖向方向
36、上施加单位广义力，并施加单位广义力，并求单位广义力作用下求单位广义力作用下的结构内力，即求的结构内力，即求 。62例例 4：求刚架：求刚架A点的竖向位移点的竖向位移AV。设。设EJ 均相同。均相同。4 4、利用图乘法求、利用图乘法求AVAV。63例例 5：求：求 x=?时，时，A点的垂直位移点的垂直位移AV等于零，设等于零，设EJ 均相同。均相同。解：解：1、几何特性分析、几何特性分析该刚架为无多余约束的几何该刚架为无多余约束的几何不变体，故为静定的。不变体，故为静定的。2、求、求 。3、求、求 。64例例 5：求：求 x=?时，时，A点的垂直位移点的垂直位移AV等于零，设等于零，设EJ 均相同。均相同。4 4、利用图乘法求、利用图乘法求AVAV。因此，因此， 时，时，A点的垂直点的垂直位移为零。位移为零。65
