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1、非闭区域及奇点条件下格林公式的应用非闭区域及奇点条件下格林公式的应用摘要： 平面区域上的二重积分可以通过沿区域的边界曲线上的曲线积分来表示， 正是由于这个性质使得格林公式尤为重要。本文主要介绍在不满足公式使用条件的前提下，如何间接使用格林公式.关键词：格林公式非闭区域奇点1预备知识格林公式建立了闭区域 D 上的二重积分与 D 的边界曲线 L 上第二型曲线积分之间的联系。定理：设闭区域 D 由分段光滑的曲线围成，函数 P（x，y）及 Q（x，y）在D 上具有一阶连续偏导数，则-dxdy=Pdx+Qdy其中 L 是 D 的取正向的边界曲线。注意：若平面闭区域 D 由分段光滑曲线 C 和 C0 围成
2、（如图 1） ， 其中 C 与C0 均取逆时针方向，运用格林公式可得Pdx+Qdy=Pdx+Qdy+-dxdy2非闭区域格林公式的应用2.1 引例求 I=y+2xlny+dx+dy，其中曲线 L 为由点 M(-R,0)依逆时针方向到点N(R,0)的半圆周（如图 2） ，0 为常数；分析：如果先求出 L 的参数方程再用代公式直接计算将会非常复杂，计算量大、过程繁琐。一个有效的方法是利用格林公式，但曲线 L 不是封闭曲线，所以要添加辅助线 NM 使之构成封闭的曲线，以便使用格林公式化为二重积分，再减去辅助线上的曲线积分（要确保它容易计算）即得结果。方法：连接 NM：y=0 且（-RxR） ，曲线
3、L 与直线 NM，围成一个闭区域记作D，它是半径为 R， 圆心为原点 O 的圆在三、四象限的部分。设 P=y+2xlny+，Q=， 在闭区域 D 上用格林公式即得I=Pdx+Qdy=-dxdy-Pdx+Qdy注意到，在直线 NM 上 y=0，dy=0 且-RxR，在区域 D 上Pdx+Qdy=Pdx=2xlndx=0-=-2x（1+）=-于是I=-dxdy=-dxdy= R22.2 结论当曲线积分中的积分区域并非封闭的时候， 若要用格林公式，需要先作适当的辅助线以构建封闭曲线，并切记，所添加辅助线的线积分必须易于计算。3有奇点存在格林公式的应用3.1 引例求 I=dx+dy，其中曲线 L 是以
4、原点为圆心，R 为半径的封闭圆周取逆时针方向，且 R；分析：设曲线 L 围成的闭区域为 D，它是一个半径不确定的圆面。随着半径R 增大闭区域 D 的面积也增大，并会取到点（0，） ，值得注意的是该点是奇点，被积函数在该点无定义，因此不能盲目运用格林公式，需分情况讨论；方法：先设 P=， Q=，通过求偏导数可得= 其中 x2+（2y-1）20当 R （如图 4） ， 在 L 所围成的有界闭区域 D 内必定包含奇点(0,)， 函数 P、Q 在此点无定义，不能直接用格林公式。此时，以奇点为圆心。以充分小的正数 为半径作圆周 Cx2+（2y-1）2=2，在 L 与 C 所围成的新的闭区域 D上，由于去
5、掉了奇点(0,)，可对此直接用格林公式：Pdx+Qdy-Pdx+Qdy=-dxdy=0其中曲线 L 与 C 均为逆时针方向，因此I=Pdx+Qdy=Pdx+Qdy=xdx+（4y-2）dy在闭区域内用格林公式即得I=odxdt=03.2 结论在闭区域中使用格林公式计算曲线积分时， 请注意积分区域中是否存在被积函数无定义的点，如果存在则不能直接使用公式。4结语格林公式使用前提要求严格，最值得注意的有两条。其一，积分曲线必须是封闭曲线， 若不封闭则要添加辅助线使之闭合，并且添加部分的线积分必须易于计算；其二，被积函数在积分区域上应有连续的偏导数，若存在奇点（即函数 P、Q 在该点无定义或偏导数不存在或偏导数不连续）则不可直接用公式，此时需要去掉奇点间接计算。参考文献：1同济大学数学系. 高等数学M.北京：高等教育出版社，2006.2周远国.余庆.高等数学的教学难点及应对技巧J.读与写, 2011,(06).3胡红亮.从一道题目的解决看格林公式的使用 J.西安航空技术高等专科学院学报,2009,(05).
