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1、第第三三节节 矩矩阵阵的的秩秩主要内容主要内容v矩阵的秩的概念矩阵的秩的概念；v初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵初等变换不改变矩阵的秩的原理，以及矩阵 的秩的求法；的秩的求法；v矩阵的秩的基本性质矩阵的秩的基本性质.基本要求基本要求v理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变理解矩阵的秩的概念，知道初等变换不改变 矩阵的秩的原理；矩阵的秩的原理；v掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；掌握用初等变换求矩阵的秩的方法；v知道矩阵的标准形与秩的联系；知道矩阵的标准形与秩的联系；v知道矩阵的秩的基本性质知道矩阵的秩的基本性质.1优讲课堂一、k 阶子式例如例如 是是 的一个的一个2阶阶子式，子式， 的的2
2、阶子阶子式共有式共有 个个.一般地，一般地， 矩阵矩阵 的的 阶子式共有阶子式共有 个个.2优讲课堂二、矩阵的秩二、矩阵的秩定义定义 设在矩阵设在矩阵 中有一个不等于零的中有一个不等于零的 阶子阶子式式 ，且所有，且所有 阶子式（如果存在的话）全等阶子式（如果存在的话）全等于零，那么于零，那么 称为矩阵称为矩阵 的的最高阶非零子式最高阶非零子式，数，数 称为称为矩阵的秩矩阵的秩，记作，记作 或或 .规定：规定：零矩阵的秩等于零矩阵的秩等于0.例例1 求矩阵求矩阵 和和 的秩的秩.3优讲课堂在在 中，容易看出一个中，容易看出一个2阶阶子式子式 的的3阶子式只有一个阶子式只有一个因此因此在在 中，
3、中， 由于它是行阶梯形由于它是行阶梯形矩阵，容易看出它的矩阵，容易看出它的4阶子式阶子式全为零，而以三个非零行的全为零，而以三个非零行的首非零元为对角元的首非零元为对角元的3阶子式阶子式不等于零，不等于零，因此因此这里的两个行列这里的两个行列式分别是式分别是 和和 的的最高阶非零子式最高阶非零子式4优讲课堂说明说明根据行列式的展开法则知，在根据行列式的展开法则知，在 中当所有中当所有 阶阶子式全为零时，所有高于子式全为零时，所有高于 阶的子式也全为零，阶的子式也全为零，因此把因此把 阶非零子式称为最高阶非零子式；阶非零子式称为最高阶非零子式；矩阵矩阵 的秩就是的秩就是 中不等于零的子式的最高阶
4、中不等于零的子式的最高阶数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；数，这就是矩阵的秩所表明的矩阵的一个特征；当矩阵当矩阵 中有某个中有某个 阶子式不为阶子式不为0，则，则 当矩阵当矩阵 中所有中所有 阶子式都为阶子式都为0，则，则5优讲课堂对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，当，当 时，时， 称为称为满秩满秩矩阵；矩阵；否则称为否则称为降秩矩阵降秩矩阵. 由于由于 阶矩阵阶矩阵 的的 阶子式只有一个阶子式只有一个 ，当，当 时，时， 所以所以可逆矩阵的秩等于矩阵可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又的阶数，可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵又称降秩矩阵称降秩矩阵.6优讲课堂四、矩阵
5、的秩的计算矩阵的秩的计算定理定理1 若若 ，则，则即两个等价矩阵的秩相等即两个等价矩阵的秩相等.说明说明根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用根据此定理，为求矩阵的秩，只要把矩阵用 初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩初等行变换变成行阶梯形矩阵，行阶梯形矩 阵中非零行的行数即是矩阵的秩阵中非零行的行数即是矩阵的秩.证明略证明略7优讲课堂例例2 设设求矩阵求矩阵 的秩，并求的秩，并求 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.解解析：根据定理析：根据定理1，为求，为求 的秩，只需将的秩，只需将 化为化为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵.8优讲课堂所以所以大多情况下只大多情况下只用初等行变换，用初等行变
6、换，不用初等列变不用初等列变换换9优讲课堂再求再求 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.因此因此 在在 中中,找一个找一个3阶非零子式是比较阶非零子式是比较容易的，另外注意到，容易的，另外注意到， 的子式都是的子式都是 的子式，所的子式，所以易求得的一个最高阶非零子式以易求得的一个最高阶非零子式10优讲课堂说明说明最高阶非零子式一般是不唯一的最高阶非零子式一般是不唯一的.上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外上述找最高非零子式的方法是一般方法，另外 观察法也是常用的方法观察法也是常用的方法.11优讲课堂例例3 设设已知已知 ，求，求 与与 的值的值.解解 析：这是一道已知矩阵的秩，讨论
7、其中参数析：这是一道已知矩阵的秩，讨论其中参数的值的题目的值的题目.一般有两个途径，一是用定义；一般有两个途径，一是用定义；二是用初等变换二是用初等变换.当当 时，时， 的的3阶阶子式全为零，从而可以计算出参数的值子式全为零，从而可以计算出参数的值.下面下面用初等变换解答此题用初等变换解答此题.12优讲课堂因为因为 ，故，故即即说明说明此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简此方法就是，用初等变换，将矩阵化为比较简 单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论单的矩阵，然后根据矩阵的秩进行讨论.13优讲课堂分块矩阵的概念分块矩阵的概念 用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种用一些横线和竖线把矩阵分成若
8、干小块，这种“操操作作”称为称为对矩阵进行分块对矩阵进行分块，每一个小块称为，每一个小块称为子块子块；这；这样处理矩阵的方法称为样处理矩阵的方法称为分块法分块法； 矩阵分块后，以子块矩阵分块后，以子块为元素的矩阵称为为元素的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.说明说明分块矩阵只是形式上的矩阵；分块矩阵只是形式上的矩阵；分块法的优越之处是：分块法的优越之处是：把大矩阵的运算化为小矩阵的运算把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化用它的特殊结构，使运算简化.可为某些命题的证明提供方法可为某些命题的证明提供方法
9、.14优讲课堂例如例如得到得到4个子块：个子块：以这些子块为元素，于是，得到以这些子块为元素，于是，得到 的按照这种的按照这种分法的分块矩阵：分法的分块矩阵：这是一个形式上为这是一个形式上为 的分块矩阵的分块矩阵15优讲课堂对对 还可以进行其它分法，如下面的两种分法：还可以进行其它分法，如下面的两种分法：16优讲课堂五、矩阵的秩的性质若若 为为 矩阵，则矩阵，则 若若 ，则，则 若若 可逆，则可逆，则 特别地，当特别地，当b为列向量时，有为列向量时，有即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不即，分块矩阵的秩不小于每一个子块的秩，不超过所有子块的秩之和超过所有子块的秩之和.17优讲课堂矩阵的秩的
10、性质 若若 则则 （下节）（下节）（下章）（下章）18优讲课堂例例4 设设 为为 矩阵，矩阵， 为为 矩阵，矩阵， 证明证明证证根据性质根据性质7，有，有而而 为为 阶矩阵，所以阶矩阵，所以关关于于矩矩阵阵的的秩秩的的性性质质的的证证明明题题19优讲课堂关关于于矩矩阵阵的的秩秩的的性性质质的的证证明明题题例例5 设设 为为 阶矩阵，证明阶矩阵，证明证证因为因为由性质由性质6，有，有而而所以所以20优讲课堂六、小结v矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数矩阵的秩是用矩阵的最高阶非零子式的阶数 定义的；定义的；v矩阵的秩的求法：矩阵的秩的求法：根据定义，求最高阶非零子式的阶数，根据定义，求最高阶非零子式的阶数，根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用根据初等变换不改变矩阵的秩这条性质，用 初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩初等变换将矩阵化为行阶梯形，行阶梯形矩 阵的行数就是矩阵的秩；阵的行数就是矩阵的秩；v矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质.v可逆矩阵的特征刻画：可逆矩阵的特征刻画：阶矩阵阶矩阵 可逆可逆21优讲课堂22优讲课堂
