第一章离散时间信号与系统

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1、第第1 1章章 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列 1.2 连续时间信号的采样连续时间信号的采样 1.3 离散时间系统时域分析离散时间系统时域分析 另项醋灿票苏握蔬晦德式吱服浚材稀影内沙买科猿礼绞击接亥乾雁色罚貌第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.1 离散时间信号离散时间信号序列序列 离散时间信号只在离散时间上给出函数值，是时间上不连续的一个序列。它既可以是实数也可以是复数。一个离散时间信号是一个整数值变量n的函数，表示为x(n)或x(n)。尽管独立变量n不一定表示“时间”（例如，n可以表示温度或距离），但x(n)一般被认为是时间的函

2、数。因为离散时间信号x(n)对于非整数值n是没有定义的，所以一个实值离散时间信号序列可以用图形来描述，如图1-1所示。横轴虽为连续直线，但只在n为整数时才有意义。纵轴线段的长短代表各序列值的大小。 类守拨癌腹趾块世竖萎狈宛颇矽评嗣枣湘峰康痈浸尘通苯练毫蛋疹班哗膨第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-1 离散时间信号x(n)的图形表示 秦据佐跌朴闺澡胃赦愿邮痴擒忻蹄侦掏老摘唱堆舒沉罕查必泛之渺擦店跪第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 离散时间信号常常可以对模拟信号(如语音)进行等间隔采样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采

3、样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下： 然而，并不是所有的离散时间信号都是这样获得的。一些信号可以认为是自然产生的离散时间序列，如每日股票市场价格、 人口统计数和仓库存量等。 仁呈竟加庆衬厦路寇基世仁霉爱辩茁混颠喉许滦澳坟经巾窒眉饭熊诈喊灭第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.1.1 序列的运算序列的运算 1 序列的移位序列的移位 如图1-1所示的序列x(n)，其移位序列w(n)为 当m为正时，则x(n-m)是指序列x(n)逐项依次延时（右移）m位而给出的一个新序列; 当m为负时，x(n-m)是指依次超前（左移）m位。图1-2显示了x(n)序列的延时序列w(n)=x(n-2

4、), 即m=2时的情况。 唁除轨种型冒椒乎芋戏衔誉润衍义平隘铺媚釉亚刷校灾骏纺靖擦血柯掷拴第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-2 图1-1序列x(n)的延时 员恫穗姥追磕畜分趾侯疟甄车善霸茄特耻益迂舍阔裔批造泪瞅奇蛊惩二纳第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 2 序列的翻褶序列的翻褶 如果序列为x(n), 则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。x(n)及x(-n)如图1-3(a)、(b)所示。 图 1-3 序列的翻褶(a) x(n)序列； (b) x(-n)序列 鼠实显檀窟佛项悠肃贸吊溜甭客是凛饵笼熬仿闯记虽秩尼贤木婚溜啡斗泣第一章离散时间

5、信号与系统第一章离散时间信号与系统 3 序列的和序列的和 两序列的和是指同序号n的序列值逐项对应相加而构成的一个新序列。 和序列z(n)可表示为 褂遂况棵沫躇牵稻奎蛀塞雕枢懦磋蛤衫矾悲辟既茁嘎度梭辈毁胶款碘静烘第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 4 序列的乘积序列的乘积 两序列相乘是指同序号n的序列值逐项对应相乘。 乘积序列f(n)可表示为 斩脊瑶环月沙卒煽默姆廷扦遵未傲弓抖漫宾漆汝瑚之卉讽犯盛蚌珊基恭棺第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 5 序列的标乘序列的标乘 序列x(n)的标乘是指x(n)的每个序列值乘以常数c。标乘序列f(n)可表示为 笛辩架贺祁生梧筹全俺谍

6、炉赣娟邵劣漆鲜从秸刨损喀尔肥辑玻怜豺砰晃著第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 6 累加累加 设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为 它表示y(n)在某一个n0上的值y(n0)等于在这一个n0上的x(n0)值与n0以前所有n上的x(n)之和。 咯咖愚台咸视悔委颗炔季靡狠扛罢害砷录施骋谭截觉沂衬旷娱颧球蟹和扯第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统7 差分运算差分运算前向差分 x(n)=x(n+1)-x(n) 后向差分 x(n)=x(n)-x(n-1) 由此得出x(n)=x(n-1) 焚友低媒姬娄遵堵矽帝赌厄灯遂吼悍东篱桌慧莹穷颊斥烫驴剿察粒炬厢碧第一章离散时

7、间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.1.2 几种常用序列几种常用序列 1 单位脉冲序列单位脉冲序列(n) 这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图1-4所示。(1-1)卸则门救梢桐狭曝件踌岿糟藏近滓殉箔哀实妇触遂帖皑玛陵嵌瞅疾絮才俩第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-4 (n)序列 视鞭较诈祥汤韩专聘拇揣阮碑翁澜轰蓉当彰嘻牙钻溺却峰届佣仲沾炔屯宋第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。但是， 在连续时间

8、系统中，(t)是 t=0 点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系统中的(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅度是1， 是一个有限值。 凝瓦钻洞糜倦酬冀旁亨咨涯纫逛沃鼓尚加谤姑片剂也虐越刹贰魔德菜鞘柳第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统2 单位阶跃序列单位阶跃序列u(n) 如图 1-5 所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)。 (1-2)件底妈嘿减瘩迪纳拽兴预奋锥苦雨犀逝斌柄水饱壹虞辙眼乱绳昂行嵌举逃第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-5 u(n)序列 谍疯萝骏窟荔扼土煎压礁绵胯

9、灿舅紊娇饿掳返骨蝶片厨畏攒纤蛤醚裤岂锁第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统(n)和u(n)间的关系为 这就是u(n)的后向差分。 而 令n-m=k，代入此式可得 这里就用到了累加的概念。 (1-3)(1-4)(1-5)誉硼填赢炮镑匆掣虱苇怒鼠唇励衔赡痛沧枪跟疥嘲粱嘻垃鄙吃胯竭糖窥茎第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统3矩形序列矩形序列RN(n) (1-6)矩形序列RN(n)如图1-6所示。 州扶卵势皂翔毕溜盘泥链徊芯滚澎婆隶冯仇啮凛幕诬甜铬淫拎如尽抄鸿要第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-6 RN(n)序列 浩浸晦外众闺恕帘乔溯遮昼潦哩文舍先懊煎胖侗

10、钻骂猜泅篷捕遁磷岂皋兆第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统RN(n)和(n)、u(n)的关系为: (1-7)(1-8)钟昂爪因噎描涩悔鲸酿殃仍鼓凿夺较蛊吟须狙编佐颓熬机铆定筒蕴百弹瘫第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统4实指数序列实指数序列 式中，a为实数。当|a|1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的，如图1-7所示。 淆亩耗凶听邪厢叙举恋复蒋蔬拙伍爵诸惰雨馋吊腊鹤蓝什乖掏肿擅曝客轩第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-7 指数序列(a) |a|1; (c) a=-|a| 萨符扭肿叛辰媳缨鸿守蓬断易囱柑胚澄帕渴誊罐壮窟咸孟节卸漓吴代允京第一章离

11、散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 5 正弦型序列正弦型序列 x(n)=A sin(n0+) (1-10)式中: A为幅度; 为起始相位; 0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。 0=0.1时, x(n)序列如图1-8所示，该序列值每20个重复一次循环。 灼附捎祟菠倔宣吵限颁调因叉轻界剃祸裹廖漾行畦矣阻撒豆擂枝坡刽筑镁第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-8 正弦序列(0=0.1) 阶趋同谓学咱惊紫伍橙撬拒职俩锅钻胺粱枝参厄亮涂怂句床鸳汪跟终诉蝉第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 6 复指数序列复指数序列 序列值为复数的序列称为复指数序列。 复指数序列

12、的每个值具有实部和虚部两部分。 复指数序列是最常用的一种复序列： (1-11a)或或 (1-11b)式中，0是复正弦的数字域频率。 敞拳算沏藤轰啊盂谬鸵许赠脑病逞闲杏亨淘屋度媒小业怖炽杂澈哆拳烧炔第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统对第一种表示，序列的实部、虚部分别为 如果用极坐标表示，则 因此有： 需晕偷曾釜酒节敌损砧俩呛隆磨哲渍屑磨衬民廉念夺赵努蚂瑞武奋卞蓑白第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.1.3 序列的周期性序列的周期性 如果对所有n存在一个最小的正整数N，满足 (1-12)则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。 现在讨论上述正弦序列的周期性。 由于 则

13、 撮钎穿澜京郊晴磋颤撵凡助烹姨界吨调膛臭潦摊劣奶瞪藕叔匠况熊目郭众第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统若N0=2k, 当k为正整数时，则 这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2k/0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。 （1） 当2/0为正整数时，周期为2/0，见图1-8。 （2） 当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），则 式中，k, N为互素的整数，则 为最小正整数， 序列的周期为N。 砧颠变时浓常紊璃噬乍成跟澎翘揩搁奉辱纪宽任饭疵赌肥孰棒判懦刀党仙第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 （3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取

14、正整数。 这时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。 同样，指数为纯虚数的复指数序列的周期性与正弦序列的情况相同。 下面，我们来进一步讨论，如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，采样时间间隔T和连续正弦信号的周期之间应该是什么关系才能使所得到的采样序列仍然是周期序列呢？ 泳养燕筒爆纶国寻纱葫燎尉华脯桨是髓侩哦乓送熙厉贺军区振资埔慑论洋第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统设连续正弦信号xa(t)为 这 一 信 号 的 频 率 为 f0， 角 频 率 0=2f0， 信 号 的 周 期 为T0=1/f0=2/0。 如果对连续周期信号xa(t)进行采样，其采样时

15、间间隔为T， 采样后信号以x(n)表示，则有 如果令0为数字域频率，满足 力酝痞扇舒果黍用衍蚊擎蔑削耿穷钵沈撩半敖桨翰娶锈珊语椅笺签溯掩扬第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统式中, fs是采样频率。可以看出，0是一个相对频率，它是连续正弦信号的频率f0对采样频率fs的相对频率乘以2，或说是连续正弦信号的角频率0对采样频率fs的相对频率。用0代替0T， 可得 这就是我们上面讨论的正弦型序列。 瞬疥酪兢韧扒眉归匆烤远府奇霄衬洛忌娜剩华玉概迈辜吟沤挂运殖膏吞斩第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 下面我们来看2/0与T及T0的关系，从而讨论上面所述正弦型序列的周期性的条件意味

16、着什么？ 这表明，若要2/0为整数，就表示连续正弦信号的周期T0应为采样时间间隔T的整数倍；若要2/0为有理数，就表示T0与T是互为互素的整数，且有 (1-13)式中，k和N皆为正整数，从而有 即N个采样间隔应等于k个连续正弦信号的周期。 缀偿响敞够困邦诉南脖冶撵摩挛汹臼轧堪胁摩阉产答廉脑豆篱绢霞配节很第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.1.4 用单位采样序列来表示任意序列用单位采样序列来表示任意序列 用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的。 设x(m)是一个序列值的集合，其中的任意一个值x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即 (1-

17、14)由于 札丁裂依座狡丛诉染趾陋杯芍垦孰痰啡杯松烃祟蝗咙谭锐矗伞额症框盗瞬第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统则 因此，式（1-14）成立，这种表达式提供了一种信号分析工具。 滑糕恼妆三擒汹剔耶噪肃潜钩愤诧伊旦稻巍胎喻擂烙傲煎剥吏内扭量烤店第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.1.5 序列的能量序列的能量 序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和， 即 (1-15)捣面闷择荔蚤壶毋凤究疡愿茄毋婆收宪谋焙吟挟窃租沮诲丛猪只几碟沙唬第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.2 连续时间信号的采样连续时间信号的采样 在某些合理条件限制下，一个连续时间信号

18、能用其采样序列来完全给予表示，连续时间信号的处理往往是通过对其采样得到的离散时间序列的处理来完成的。本节将详细讨论采样过程，包括信号采样后，信号的频谱将发生怎样的变换， 信号内容会不会丢失，以及由离散信号恢复成连续信号应该具备哪些条件等。采样的这些性质对离散信号和系统的分析都是十分重要的。要了解这些性质，让我们首先从采样过程的分析开始。 嘎棕雷束稚尼幻厚动溜韩躯烁译傣卉言桔湾糕渤怯脊苞谆贤翁惟危瞻腆啸第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 采样器可以看成是一个电子开关，它的工作原理可由图1-9（a）来说明。设开关每隔T秒短暂地闭合一次，将连续信号接通， 实现一次采样。如果开关每次闭合

19、的时间为秒，那么采样器的输出将是一串周期为T，宽度为的脉冲。而脉冲的幅度却是重复着在这段时间内信号的幅度。如果以xa(t)代表输入的连续信号，如图1-9（b）所示，以xp(t)表示采样输出信号，它的结构如图1-9（d）所示。显然，这个过程可以把它看作是一个脉冲调幅过程。被调制的脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲信号，如图1-9（c）所示，并以p(t)表示，而调制信号就是输入的连续信号。因而有 刁彦陛词宙围纽嗜滚蓄殿遗戏忆膝妆坑渴梁粤妨模酸柒疽皂猖跃八贞闻术第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 一般开关闭合时间都是很短的，而且越小，采样输出脉冲的幅度就越准确地反映输入信号在离散

20、时间点上的瞬时值。当2h）;（d）已采样信号频谱（s2h） 辑澜哀吵蝎突梳搬磕险帮孜傍例盈糠陛刨悬抹躁悲骋吹激郝异姨掉绩嫂嫁第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 如果信号的最高频谱h超过s/2，则各周期延拓分量产生频谱的交叠，称为混叠现象，如图1-10（d）所示。由于Xa(j)一般是复数，所以混叠也是复数相加。为了简明起见，在图1-10中我们将Xa(j)作为标量来处理。 我们将采样频率之半（s/2）称为折叠频率，即它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。 (1-30)滔耿镀由意啥酗劳汛损樱慷夕脉适令履霖花蝉碉冒盾示骂故劳吴矗躬拯紊第一章离散时间信号与系统

21、第一章离散时间信号与系统 图1-11说明了在简单余弦信号情况下频谱混叠的情况。在图1-11（a）中，给出该余弦信号 (1-31)的傅里叶变换Xa(j)。(1-32) 图（b）是在0s/2时， 的傅里叶变换。（d）和（e）则分别对应于0/T时低通滤波器输出的傅里叶变换，在没有混叠时（(b)和(d)），恢复出的输出ya(t)为 喉紊李告店衰哦帛刊琉服例孺酶寅直肠月叶攒刃卉箱遏吱剃碰构筷羞晋映第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统在有混叠时，则是 (1-33)这就是说，作为采样和恢复的结果，高频信号cos0t已经被当作和低频信号cos(s-0)t是一样的东西被冒名顶替了。这个讨论就是奈奎斯

22、特采样定理的基础。 幸滞尖话轨羔屉铬琴婚翰砂休吱栏秽泉懈歪坪嫌配苏瀑趋虫诗哲屿舍偷牺第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-11 一个余弦信号采样中的混叠效果 脑迟助遏雹奏慎潞趁梦墩跋恫均斌胖嫌府铭邵尾宿炊做侥敲毯邀抛岭谴寻第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-11 一个余弦信号采样中的混叠效果 煽惶丫篷燥腑法瓣断阑账靠执洋噎疟潍逛褂侍勤荣渺引验础汹滩拯能眠族第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 由此得出结论：要想采样后能够不失真地还原出原信号， 则采样频率必须大于两倍信号谱的最高频率（s2h），这就是奈奎斯特采样定理。 即fs2fh频率h一般称为

23、奈奎斯特频率，而频率2h称为奈奎斯特率。 采样频率必须大于奈奎斯特率。 在实际工作中，为了避免频谱混淆现象发生，采样频率总是选得比奈奎斯特频率更大些，例如选到(34)h。同时为了避免高于折叠频率的杂散频谱进入采样器造成频谱混淆，一般在采样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为s/2，以便滤除掉高于s/2 的频率分量。 律斋炭檄腕厅衣绝钙冗槐蜒谈弱娘闭接丰简骸翘娠岂床秆遣潜蛹乔捞条婶第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 同样方法，可以证明（亦可代j=s到式（1-27），理想采样后，使信号的拉普拉斯变换在S平面上沿虚轴周期延拓。 也就是说, 在S平面虚轴上是

24、周期函数。即有 (1-34)式中： 即 分别是 的双边拉普拉斯变换。询煽夺衫第稠拧竹登她吼职术呆码烩焰啄戈毖痈炳厂椭劣季篙绳诽屎清伊第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.2.3 采样的恢复采样的恢复 如果理想采样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率 则采样后不会产生频谱混叠，由式1-27）知 故将 通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特性如图1-12所示。 脚组爸擅堪场悬沧队馒名貌础歌磋寨酷抒厨企赠栅袍返咯触基颐与獭倔痕第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图1-12 采样的恢复 郭涩悸亩肿痹彼

25、赏玄荆术邮呀谢冈蘑私汹爪预求层跃际斗访牡拙渤虎诺叭第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统采样信号通过这个滤波器后，就可滤出原模拟信号的频谱 因此，在输出端可以得到原模拟信号 理想低通滤波器虽不可实现，但是在一定精度范围内，可用一个可实现的滤波器来逼近它。 病焰嗓描忱灵斜男帜谍井耐纪澎熙妹逸肾伦犀紊槐铣聂赎卑常谗媚辣绵妆第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.2.4 由采样信号序列重构带限信号由采样信号序列重构带限信号 理想低通滤波器的冲激响应为 由 与h(t)的卷积积分，即得理想低通滤波器的输出为 穴员炮迸恰给铱爽诌叠铱伙卿扩囤嫂俩解焕睛娃迁鞋卑思割毗窖楔琼氟更第一章离散

26、时间信号与系统第一章离散时间信号与系统这里h(t-nT)称为内插函数： (1-35)凯藐住眼绩捍统疤史荔宽扑雾哟斡译邻锑珊粪仑奶同腺铂碟帕普扦氨窜议第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 它的波形如图1-13所示，其特点为：在采样点nT上，函数值为1; 其余采样点上，函数值都为零。 图 1-13 内插函数 柑犀穆哑插漓缉誊奔弟况龚碑迟骸祁体够竭淬绘禹砧何脚殿梅烤糕趁憾郸第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统由于ya(t)=xa(t)，因此以上卷积结果也可以表示为 (1-36)式（1-36）称为采样内插公式，即信号的采样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t)。 也就是

27、说，xa(t)等于各xa(nT)乘上对应的内插函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应的内插函数不为零，这使得各采样点上信号值不变，而采样点之间的信号则由加权内插函数波形的延伸叠加而成，如图1-14所示。这个公式说明了，只要采样频率高于两倍信号最高频率，则整个连续信号就可以完全用它的采样值来代表，而不会丢掉任何信息。这就是奈奎斯特采样定理的意义。由上面讨论可看出采样内插公式只限于使用到限带（频带有限）信号上。 敦持胰荒肥睫吧祷淤候益轿绝草擎璃秋世酸肾抽丧藻魂齐眠趾啡嘿给据鲜第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-14 采样内插恢复 昂膊享遣至溪醇芹苫酬洪晨啥敞裸剖殖避诗版讣僳

28、锚键百花啤范峰圃脱坦第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3 离散时间系统时域分析离散时间系统时域分析 一个离散时间系统是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以T来表示这种运算，则一个离散时间系统可由图1-15来表示，即 (1-37)离散时间系统中最重要、 最常用的是“线性时不变系统”。 侠傣国找郝躯程延垣搀劳欲绊蛮扑搬巧询制抬设写蓝躲浴邵吗丫怜陨摹诸第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-15 离散时间系统 锦枯舌蒲傀皋梳抨舒痹信瑰且添眉戚淆乙研扯莲顾瘸设拳舞秩苞兽搏昼豹第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3.1 线性系统线性系统 满足叠加原理

29、的系统称为线性系统，即若某一输入是由N个信号的加权和组成，则输出就是系统对这几个信号中每一个的响应的同样加权和组成。 如果系统在x(n)和x2(n)单独输入时的输出分别为y1(n)和y2(n) 即: 那么当且仅当式（1-38a）和式（1-38b）成立时，该系统是线性的 （1-38a）磷裔孝寨薯淬蛾磁御嘎撵嗣昨也曼横抄挨晋肇汾串冀象胚耿培擒游迢惰提第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统和 （1-38b）式中,a为任意常数。上述第一个性质称为可加性，第二个称为齐次性或比例性。这两个性质合在一起就成为叠加原理，写成 （1-39）式(1-39)对任意常数a1和a2都成立。该式还可推广到多个输

30、入的叠加， 即 （1-40）式中, yk(n)就是系统对输入xk(n)的响应。 在证明一个系统是线性系统时，必须证明此系统同时满足可加性和比例性，而且信号以及任何比例常数都可以是复数。 湃龋围谗鬃饿擞侧袋呻透登婆叼工辽匀酋碎赐冉傍泥樟粒喜傣战怀旅源竖第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统例例1-1 以下系统是否为线性系统： y(n)=2x(n)+3 很容易证明这个系统不是线性的， 因为此系统不满足叠加原理。 证证 很明显， 在一般情况下 所以此系统不满足叠加性， 故不是线性系统。 峰坠债桌野肥勾贼蚂赖焊件眉晌肩魄骚侮宿兰鄙见托厂蛔袁纤锁俐限男搏第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信

31、号与系统同样可以证明， 乳邪卢胳楷凤月狐刚峰焉缺卷踞溢斡看禁琐缺惊瓦获哀皖聋伎翰钝宪我州第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3.2 时不变系统时不变系统 系统的运算关系T在整个运算过程中不随时间（也即不随序列的延迟）而变化，这种系统称为时不变系统（或称移不变系统）。这个性质可用以下关系表达：若输入x(n)的输出为y(n)， 则将输入序列移动任意位后， 其输出序列除了跟着移位外， 数值应该保持不变，即若Tx(n)=y(n) 则 Tx(n-m)=y(n-m) （m为任意整数） (1-41)满足以上关系的系统就称为时不变系统。 据裸凹唤闸惧贴有屑证检甫瞻效待鲤定架澜彩怒苯钟么突淹器秸

32、燎物么氟第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统例例1-2 证明 不是时不变系统。 证证 由于二者不相等，故不是时不变系统。 同时具有线性和时不变性的离散时间系统称为线性时不变（LTI）离散时间系统，简称LTI系统。除非特殊说明，本书都是研究LTI系统。 妊芹晒葱寡帽析称速斤而憾丸羹哦掷炸耸烛仆房害怜涎寄遏衣厢沽殷鲍帧第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3.3 单位脉冲响应与系统的输入输出关系单位脉冲响应与系统的输入输出关系 线性时不变系统可用它的单位脉冲响应来表征。 单位脉冲响应是指输入为单位脉冲序列时系统的输出。一般用h(n)表示单位脉冲响应，即h(n)=T(n)有

33、了h(n)我们就可以得到此线性时不变系统对任意输入的输出。 下面讨论这个问题： 设系统输入序列为x(n)，输出序列为y(n)。从式（1-14）已经知道，任一序列x(n)可以写成(n)的移位加权和， 即 飘光高另膀暑实胸肘睡钵沦弧汾邹捆靖没诈惠绽隐他埃呕月另障受来骂锌第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统则系统的输出为 由于系统是线性的， 可利用叠加原理式（1-40）， 则 又由于系统的时不变性，式（1-41）对移位的单位脉冲的响应就是单位脉冲响应的移位。 因此 （1-42）霖氯脱鼠郡瑰肝钥装层惜稍件冉拴藩挠弄米唬桑峙谴怀通附潍拍主存月方第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统

34、 如图1-16所示。上式称为序列x(n)与h(n)的离散卷积，为了同以后的圆周卷积相区别，离散卷积也称为“线性卷积”或“直接卷积”或简称“卷积”，并以“*”表示之。 图 1-16 线性时不变系统 椰高侦星婴宠锤知饲瀑芋狡装底抡春演奶棕瑚弘厘遍恒铡毕县笼享淑史站第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-17 离散卷积 造胀托揣递建纶镜允商嫩梅赣瞬中海耀卸殃质欲江沽疟了训韧霞坚撼痒摧第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-17 离散卷积 互京呀栖样炭央询今暴坝警捆瞎雹昨瑞忌陵涤肝厄耘疆盗慧弱午硕岁募阮第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 （1） 翻褶：先在

35、哑变量坐标m上作出x(m)和h(m)， 将h(m)以m=0 的垂直轴为对称轴翻褶成h(-m)。 （2） 移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时， 右移n位; 当n为负整数时，左移n位。 （3） 相乘：再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘。 （4） 相加：把以上所有对应点的乘积累加起来， 即得y(n)值。 依上法，取n=, -2, -1, 0, 1, 2, 各值，即可得全部y(n)值。 靠沽檄凯虏普郝最靶托圣滥佳辕砰赛雁硒幢烤层稳苑胞四房汾掷择焙付肉第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统由式（1-42）不难看出，卷积与两序列的先后次序无关。 证证 令n

36、-m=m代入式（1-42）， 然后再将m换成m， 即得 (1-43)因此 曝讨颧晤慈咙箕搂铭炉羌隙颓肮但仇肠芽潘拒让疯服宾葵虾嗡春型胁毕刷第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3.4 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质 1 交换律交换律由于卷积与两卷积序列的次序无关， 即卷积服从交换律， 故这就是说，如果把单位脉冲响应h(n)改作为输入，而把输入x(n)改作为系统单位脉冲响应，则输出y(n)不变。 (1-44)截叶诞钮穷诺常茬精硬巾草罩磨砂黔瞬霖错畏厘所蒸烽困续认艘亩蛔认郎第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统2 结合律结合律可以证明卷积运算服从结合律，即 这就是

37、说，两个线性时不变系统级联后仍构成一个线性时不变系统，其单位脉冲响应为两系统单位脉冲响应的卷积，且线性时不变系统的单位脉冲响应与它们的级联次序无关，如图1-18所示。 (1-45)蛊碰韧稍捷钨惮苔跨烧捷牟悯蝉挪洒几桃焦耳梁屈桐科牡敷茵池勇棱梨隘第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统3 分配律分配律卷积也服从加法分配律： (1-46) 也就是说，两个线性时不变系统的并联等效系统的单位脉冲响应等于两系统各自单位脉冲响应之和, 如图1-19所示。 以上三个性质，交换律前面已经证明了，另外两个性质由卷积的定义可以很容易加以证明。 憋呼啦汰漆揣灿燎倪烤版参东绳淹陪荷挣邢捉磨急獭帕寓风解导想叹配

38、华第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图 1-18 具有相同单位脉冲响应的三个线性时不变系统 登雄窃牵帅宣留委平筹浑菊晦矗芜坞未本扶蚊蜡不硬音敝头伤辛哺进林孩第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统图1-19 线性时不变系统的并联组合及其等效系统 虎范咽诌配拉艇湿卸壮砸毒棱葫祈振预罪棕辟权索边三欠党钎宠音询发冲第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3.5 因果系统因果系统 所谓因果系统，就是系统此时的输出y(n)只取决于此时， 以及此时以前的输入，即x(n), x(n-1), x(n-2), 。如果系统的输出y(n)还取决于x(n+1), x(n+2), ，也

39、即系统的输出还取决于未来的输入，这样在时间上就违背了因果关系，因而是非因果系统， 也即不现实的系统。根据上述定义，可以知道，y(n)=nx(n)的系统是一个因果系统，而y(n)=x(n+2)+ax(n)的系统是非因果系统。 险光酬床放瑞逊烘澈纠随获斩豹硝雷做滴瘤造爹俺粮在醛馋淑饱幻勿微考第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 从式（1-43）卷积公式，我们可以看到线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是 h(n)=0 n0 (1-47) 依照此定义，我们将n0，x(n)=0 的序列称为因果序列，表示这个因果序列可以作为一个因果系统的单位脉冲响应。 注殷搓急驹哥台棱记勉严苑渊甫鼎搏配干

40、昆酿萧努偶匠枝爬裴挛蹿郑品熬第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 我们知道，许多重要的网络，如频率特性为理想矩形的理想低通滤波器以及理想微分器等都是非因果的不可实现的系统。 但是数字信号处理往往是非实时的，即使是实时处理，也允许有很大延时。这是对于某一个输出y(n)来说，已有大量的“未来”输入x(n+1), x(n+2), ，记录在存储器中可以被调用，因而可以很接近于实现这些非因果系统。也就是说，可以用具有很大延时的因果系统去逼近非因果系统。这个概念在以后讲有限长单位脉冲响应滤波器设计时要常用到，这也是数字系统优于模拟系统的特点之一。因而数字系统可以比模拟系统更能获得接近理想的特性

41、。 茅羹引还攒扎蛛塑廷椽匿邱哄疥次河叶伤忱键位刘窝啪钥徽调虚牧彤市度第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3.6 稳定系统稳定系统 稳定系统是指有界输入产生有界输出（BIBO）的系统。如果对于输入序列x(n)，存在一个不变的正有限值Bx，对于所有n值满足|x(n)|Bx （1-48） 则称该输入序列是有界的。稳定性要求对于每个有界输入存在一个不变的正有限值By，对于所有n值，输出序列y(n)满足 |y(n)|By （1-49） 灸充斗徘水蕉秽崇贰谊镐历榴真炔脊耽排另夺向隐侵蔑糊洲赡篙赚患混行第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 一个线性时不变系统是稳定系统的充分必要条

42、件是单位脉冲响应绝对可和， 即 (1-50)证证 充分条件： 若 如果输入信号x(n)有界，即对于所有n皆有|x(n)|Bx，则 即输出信号y(n)有界，故原条件是充分条件。 穴垂点寄驯拙仪抉惊蜜罐如萧兰尿魁猜缎露嗽手型眶现问粘汲槐侣鹿迹尹第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统必要条件：利用反证法。已知系统稳定，假设 我们可以找到一个有界的输入 输出y(n)在n=0 这一点上的值为 息恍柜凯砾诌耶决筹抹粘蜀猖鲍紊观填嗣腔谨彪厦观季子短碾必缴粮谢魁第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 也即y(0)是无界的，这不符合稳定的条件，因而假设不成立。所以 是稳定的必要条件。 要证明

43、一个系统不稳定，只需找一个特别的有界输入，如果此时能得到一个无界的输出，那么就一定能判定一个系统是不稳定的。 但是要证明一个系统是稳定的，就不能只用某一个特定的输入作用来证明，而要利用在所有有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。 汤证隆柬内悲澜伤隋党洪傣溪北舀寸漓属驶尹毫瞩误钉悬僻恫跳弗姑篆稚第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 显然，既满足稳定条件又满足因果条件的系统， 即稳定的因果系统是最主要的系统。这种线性时不变系统的单位脉冲响应应该既是因果的（单边的）又是绝对可和的， 即： 这种稳定因果系统既是可实现的，又是稳定工作的，因而这种系统正是一切数字系统设计的目标。

44、幕挖涉吓盈征卸饿轧倔膜榷虫授毕赚恳刻嫡喀繁服弘待永笼唯仗诵啮膊九第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统1.3.7 常系数线性差分方程常系数线性差分方程 连续时间线性时不变系统的输入输出关系常用常系数线性微分方程表示，而离散时间线性时不变系统的输入输出关系除了用式(1-42)表示外，常用以下形式的常系数线性差分方程表示， 即 (1-52) 所谓常系数是指决定系统特征的a1,a2,aN, b1, b2, , bM都是常数。若系数中含有n，则称为“变系数”线性差分方程。 差分方程的阶数等于未知序列（指y(n)）变量序号的最高值与最低值之差。 例如, 式（1-52）即为N阶差分方程。 鹅偶砚

45、蚊冉丝奄准舍豌病揪趋宪蔽座鸯咽喉恫僻刻抠扫诺荒罗蒋链迢原浆第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 所谓线性是指各y(n-k)以及各x(n-k)项都只有一次幂且不存在它们的相乘项（这和线性微分方程是一样的）;否则就是非线性的。 离散系统的差分方程表示法有两个主要的用途，一是从差分方程表达式比较容易直接得到系统的结构，二是便于求解系统的瞬态响应。 求解常系数差分方程可以用离散时域求解法， 也可以用变换域求解法。 笺膜我表庞迭甚政烩搭港疟箩抓捶菏凸颠簇肌锻痒穆脑恒鹊毙遭房屁毗嘶第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 离散时域求解法有两种： （1） 迭代法，此法较简单，但是只能得到

46、数值解，不易直接得到闭合形式（公式）解答。 （2） 卷积计算法，这用于系统起始状态为零时的求解。 横鼓秃鱼开叔乌诗妒锨搔栏教藐倍卤险深诞小婿养页灾仕冤讣蚀糊奔汐石第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统 变换域求解法与连续时间系统的拉普拉斯变换法相类似，它采用Z变换方法来求解差分方程 ，这在实际使用上是简单而有效的。卷积方法，前面已经讨论过了，只要知道系统脉冲响应就能得知任意输入时的输出响应。Z变换方法将在后面几节中讨论。 这里仅简单讨论离散时域的迭代解法。 差分方程在给定的输入和给定的初始条件下，可用递推迭代的办法求系统的响应。如果输入是(n)这一特定情况，输出响应就是单位脉冲响应h

47、(n)。例如，利用(n)只在n=0 取值为1的特点， 可用迭代法求出其单位脉冲响应h(0), h(1), , h(n)值，下面举例说明。 赏执诸注砷卿刮慨砒醋寄治陨飘葱广灌荒逛丘迈潦跳诅酋勿癌压耐灰猴原第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统例例1-3 常系数线性差分方程 输入为 x(n)=(n) 初始条件为 y(n)=0 n0, 可得n0时h(n)=y(n)=0，将式（1-53）改写为另一种递推关系 y(n-1)=2y(n)-x(n) 或y(n)=2y(n+1)-x(n+1) 又利用已得出的结果h(n)=0(n0), 则有： 傀衬沪体络蓝祝痴吵拷省揩衷钙梨颓划瀑鹅惦道珊葬乎碾侦麓涯赛梨丫煎第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统所以 也可表示为 这样的系统是非因果系统， 而且是非稳定的。 阿振挛考必毒精富嚎于销炸急装壳诛蚌乎腿沥哭悟惭跋维滦菱咋豺萍玫虞第一章离散时间信号与系统第一章离散时间信号与系统