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1、不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质换元积分法和分部积分法换元积分法和分部积分法定积分的概念和性质定积分的概念和性质定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法定积分的应用和推广定积分的应用和推广第三章第三章 一元积分学一元积分学二、第二换元法二、第二换元法(变量替换法变量替换法)第一换元法第一换元法中，通过引入中间变量，将被积中，通过引入中间变量，将被积函数凑成某个已知函数（一般是函数凑成某个已知函数（一般是基本积分表基本积分表中的）的微分形式，从而计算出不定积分。中的）的微分形式，从而计算出不定积分。即先凑微分，再作代换。即先凑微分，再作代换。令令令令第二换元法第二换元
2、法则沿着与则沿着与第一换元法第一换元法相反的路线相反的路线进行计算，即先作代换，再求积分。求出积进行计算，即先作代换，再求积分。求出积分后再通过反代换求出原积分。因此要求分后再通过反代换求出原积分。因此要求代代换必须是可逆的换必须是可逆的。所以。所以第二换元法第二换元法的条件比的条件比第一换元法第一换元法强，强，主要用来求无理函数的不定主要用来求无理函数的不定积分积分。定理定理2（不定积分的第二换元积分法不定积分的第二换元积分法）已知函数已知函数 有连续的导数，且有连续的导数，且 。如果如果那么那么无理代换无理代换例例 1717令令 ，则，则原式原式例例 1818原式原式令令 ，则，则例例 1
3、919原式原式令令 ，则，则三、分部积分法、分部积分法例例2020分析分析：本题不能使用第一换元法本题不能使用第一换元法。因为虽然可以有因为虽然可以有但是但是 或者或者不在不在积分公式表积分公式表积分公式表积分公式表中，并且目前也不知道积分结果中，并且目前也不知道积分结果。或者或者注意到注意到如果能交换如果能交换 与与 ，得到新的积分得到新的积分显然问题就解决了显然问题就解决了.令令 则则观察发现观察发现, 两个积分的关系转化为两个积分的关系转化为 与与 的关系的关系定理定理3（不定积分的分部积分法不定积分的分部积分法）已知函数已知函数 都可导，则都可导，则即即联想到联想到证明证明：显然，求积
4、分显然，求积分 时，若时，若代数变形代数变形代数变形代数变形则可以考虑使用分部积分法求解。则可以考虑使用分部积分法求解。例例2020注意：注意：所以分部后的新积分必须是所以分部后的新积分必须是“相对比较容易计相对比较容易计算算”的积分的积分反反三角函数、三角函数、对对数函数、数函数、幂幂函函数、数、三三角函数、角函数、指指数函数数函数例例2121关键是确定关键是确定选选u u的经验是的经验是: :例例2222例例2323例例2424例例2525例例2626所以所以例例2727所以所以令令 ，则，则例例2828( 令令)例例2929所以所以有趣的是有趣的是,虽然虽然初等函数的导数仍然是初等函数初等函数的导数仍然是初等函数,但是但是许多初等函数的原函数许多初等函数的原函数(尽管存在原函数尽管存在原函数)却不是初等函数。也就是说却不是初等函数。也就是说无法用我们熟悉的无法用我们熟悉的（初等）函数的形式来表示它们的原函数（初等）函数的形式来表示它们的原函数。我。我们称这种函数为们称这种函数为“不可积不可积”的函数，也称相应的函数，也称相应的不定积分的不定积分“积不出积不出”。例例如如：思思考考如何表示如何表示“不可积不可积”函数的原函数呢？函数的原函数呢？
