《2022年第二十七讲不等式选讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年第二十七讲不等式选讲（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载第二十七讲不等式选讲一、柯西不等式：1、定理 1： （柯西不等式的代数形式）设dcba,均为实数，则22222)()(bdacdcba，其中等号当且仅当bcad时成立。几何意义： 设，为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （ba,） ，B（dc,） ，那么它们的数量积为bdac，而22|ba，22|dc，所以柯西不等式的几何意义就是：|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。2、定理 2： （柯西不等式的向量形式）设，为平面上的两个向量，则|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。3、定理 3： （三角形
2、不等式）设332211,yxyxyx为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(yyxxyyxxyyxx思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？4、定理 4： （柯西不等式的推广形式）：设n为大于 1 的自然数，iiba ,（i1，2，n）为任意实数， 则：211212)(niiiniiniibaba， 其中等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n） 。证明：构造二次函数：2222211)()()()(nnbxabxabxaxf即构造了一个二次函数：niiniiiniibxbaxaxf121212)(2)()(由于对任意
3、实数x，0)(xf恒成立，则其0，即：0)(4)(4121221niiniiniiibaba，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页学习必备欢迎下载即：)()(121221niiniiniiibaba，等号当且仅当02211nnbxabxabxa，即等号当且仅当nnababab2211时成立（当0ia时，约定0ib，i1，2，n） 。如果ia（ni1）全为 0，结论显然成立。柯西不等式有两个很好的变式：变式 1 设),2 , 1(0,nibiRaiiiniiibaba212)(，等号成立当且仅当)1 (niabii变式
4、2 设 ai，bi同号且不为0（i=1，2， n） ，则：iiiniiibaaba21)(，等号成立当且仅当nbbb21。二、排序不等式： 1、基本概念：一般地，设有两组实数：1a，2a，3a，na与1b，2b，3b，nb，且它们满足：1a2a3ana，1b2b3bnb，若1c，2c，3c，nc是1b，2b，3b，nb的任意一个排列，则和数nncacaca2211在1a，2a，3a，na与1b，2b，3b，nb同序时最大，反序时最小，即：112122112211bababacacacabababannnnnnn，等号当且仅当naaa21或nbbb21时成立。三、均值不等式：如果NnnRaaan
5、且1,21则：naaan21叫做这n个正数的算术平均数，nnaaa21叫做这 n 个正数的几何平均数；基本不等式：naaan21nnaaa21（niRaNni1 ,*）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页学习必备欢迎下载abDBOAC语言表述： n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。abba2的几何解释：以ba为直径作圆，在直径 AB 上取一点 C， 过 C 作弦 DDAB 则abCBCACD2，从而abCD，而半径abCDba2。四、琴生不式：在1905 年给出了一个定义：1、设函数)(xf的定义域为 a,b
6、，如果对于 a,b内任意两数21, xx，都有.2)()(22121xfxfxxf（1）则称)(xf为a,b上的凸函数。若把（1）式的不等号反向，则称这样的)(xf为a,b上的凹函数。凸函数的几何意义是：过)(xfy曲线上任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上方或在曲线上。2、其推广形式是：若函数)(xf的是 a,b上的凸函数，则对a,b内的任意数nxxx,21，都有.)()()(2121nxfxfxfnxxxfnn（ 2）当且仅当nxxx21时等号成立。一般称（2）式为琴生不等式。3、更为一般的情况是：设)(xf是定义在区间 a,b上的函数，如果对于a,b上的任意两点21, xx，有),()
7、()(2121qxpxfxqfxpf其中1,qpRqp，则称)(xf是区间 a,b 上的凸函数。如果不等式反向，即有),()()(2121qxpxfxqfxpf则称)(xf是a,b上的凹函数。4、其推广形式，设1,2121nnqqqRqqq，)(xf是a,b上的凸函数，则对任意,21baxxxn有)()()()(22112211nnnnxfqxfqxfqxqxqxqf，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页学习必备欢迎下载当且仅当nxxx21时等号成立。若)(xf是凹函数，则上述不等式反向。该不等式称为琴生（Jensen
8、 ）不等式。把琴生不等式应用于一些具体的函数，可以推出许多著名不等式。五、 放缩法与贝努利不等式在用放缩法证明不等式时，有时需要“舍掉几个正项”以便达到目的。就是说，如果在和式edcba里ed和都 是 正 数 ， 可 以 舍 掉ed和， 从 而 得 到 一 个 明 显 成 立 的 不 等 式cbaedcba. 例如，对于任何0x和任何正整数n，由二项式定理可得.321)2)(1(21) 1(1)1 (22nnxxnnnxnnnxx舍掉等式右边第三项及其以后的各项，可以得到不等式：nxxn1)1 (. 在后面章节的学习中，我们将会用数学归纳法证明这一不等式的正确性。该不等式不仅当n是正整数的时候成立，而且当n是任何大于1 的有理数的时候也成立。这就是著名的贝努利不等式。在今后的学习中， 可以利用微积分证明更一般的贝努利不等式：设1x， 则在1或0时，xx1)1 (，在10时，.1)1 (xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页
