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1、第十一章第十一章 无穷级数无穷级数第一节第一节 常数项级数的概念与性质常数项级数的概念与性质1. 实例实例2. 概念概念3. 性质性质4. 必要条件必要条件5. 小结、作业小结、作业1/26一、实例一、实例1. 1. 计算圆的面积计算圆的面积A-割圆术割圆术正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 边形的面积边形的面积2/263/26二、概念二、概念1. 1. 级数的定义级数的定义: :(常数项常数项)无穷级数，无穷级数，一般项一般项部分和部分和2. 2. 级数的收敛与发散级数的收敛与发散: :余项余项4/26解解收敛收敛;发散发散;发散发散.发散发散.综上综上,5/2
2、6解解为等比级数，为等比级数，解解6/26解解7/26( (续续) )8/26三、性质三、性质即即: : 收敛的收敛的级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减. .9/26思考思考: : 收敛收敛级数与发散级数级数与发散级数的的和的和的收敛性如何收敛性如何? ?解解10/26*证证11/26*证证注意注意 收敛级数收敛级数去括号去括号后所成的级数不一定收敛后所成的级数不一定收敛.收敛收敛;发散发散.12/26四、收敛的必要条件四、收敛的必要条件*证证级数收敛的级数收敛的必要必要条件条件: :注意注意1. 1. 一般项不趋于零一般项不趋于零级数发散级数发散; ; 发散发散2. 2.
3、条件条件不充分不充分：一般项趋于零：一般项趋于零级数收敛级数收敛. .13/26例例5 514/268项4项2项2项 项由性质由性质4 4推论推论, ,调和级数发散调和级数发散. .或由或由15/26例例6 6 判别收敛性：判别收敛性：解解解解解解16/26解解17/26五、小结五、小结一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念: :二、基本二、基本审敛法：审敛法：18/26作 业 习题11-1 1-(1)(2) 2 3 4*无穷级数收敛性举例：无穷级数收敛性举例：KochKoch雪花雪花. .做法：做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长
4、的对称的产生边长为原边长的1/31/3的小正三角形的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形就得到了面积有限而周长无限的图形“KochKoch雪花雪花”19/26观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推20/26观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推21/26观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推22/26观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推23/26观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推24/26观察雪花分形过程观察雪花分形过程第一次分叉：第一次分叉：依次类推依次类推25/26周长为周长为面积为面积为于是于是结论：雪花的周长是无限的，而面积有限结论：雪花的周长是无限的，而面积有限第第n次分叉：次分叉：26/26
