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1、数字图像处理数字图像处理桂林电子工业学院计算机系可视化与图形中心 第五章 频域滤波根底5.1 频率、频域的根本概念5.2 傅立叶变换介绍 5.3 图像频域滤波根本步骤5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n要解决的问题：n n什么是频域什么是频域 (Frequency Domain)(Frequency Domain)n n什么是频率什么是频率n n什么是空域什么是空域 (Spatial Domain)(Spatial Domain)n n频域和空域之间的关系频域和空域之间的关系n n为什么要研究频域滤波为什么要研究频域滤波5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n什
2、么是频率：n n一般意义上的理解：一件事情出现的频繁程度n n在数学上尤其是信号处理中的定义：n n其中的 f 指的就是频率，它的物理意义是正弦曲线在1秒钟之内出现了多少个周期单位为Hz5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n一条正弦曲线由三个参数来完全确定：n nAA幅度幅度n nff频率频率n n 相位相位5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n频率频率f f对正弦曲线形状的影响对正弦曲线形状的影响n n以下图中，由上至下频率分别为以下图中，由上至下频率分别为1 Hz, 4 Hz, 20Hz1 Hz, 4 Hz, 20Hz5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的
3、根本概念n n相位相位 对正弦曲线形状的影响对正弦曲线形状的影响n n以下图中，由上至下相位分别为以下图中，由上至下相位分别为0 0，PI/4, -PI/4PI/4, -PI/45.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n如果我们以频率为横轴，分别以幅度和相位为纵轴，那么如果我们以频率为横轴，分别以幅度和相位为纵轴，那么对每一条正弦曲线我们都可以用下面的两个图来表示：对每一条正弦曲线我们都可以用下面的两个图来表示：5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n对于上面的两个图，一个叫做幅度图，一个叫做相位图n n我们可以从图中得出它代表的正弦曲线的表达式：5.1 频率、频域的
4、根本概念频率、频域的根本概念n n由傅立叶级数变换理论我们可以知道，绝大局部函数或者信号可以表示成一系列正弦信号的和n n有了这个理论，我们就可以建立起频域的概念了n n下面先举一个简单的例子，来阐述概念5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n假设我们有一个函数或者叫信号：n n那么由傅立叶变换理论，我们可以通过求傅立叶级数的手段，来将它表示成一系列正弦信号的和n n再将这些正弦信号画在幅度图中此处相位图全为0，略去不画5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n通过这种手段，我们可以将任意一个信号 f(x) 表示在幅度图
5、和相位图中n n幅度图反映了信号f(x)中包含的不同频率的正弦曲线的强度n n相位图反映了信号f(x)中包含的不同频率的正弦曲线的时间延迟n n至此为止，我们已经得到了一个信号的两种不同的表达形式5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n一种表达形式就是我们普遍使用的一种表达形式就是我们普遍使用的 y=f(x) y=f(x)这种形这种形式，在信号处理中，横轴往往用时间式，在信号处理中，横轴往往用时间t t来表示，所来表示，所以一般是以一般是y=f(t)y=f(t)。它反映了信号随时间的变化，这。它反映了信号随时间的变化，这种表达形式我们叫做信号的时域表达两维情况种表达形式我们叫做信
6、号的时域表达两维情况下叫做空域表达下叫做空域表达n n第二种表达形式就是我们刚刚讲到的用幅度图和第二种表达形式就是我们刚刚讲到的用幅度图和相位图来表示，横轴用的都是频率，而纵轴分别相位图来表示，横轴用的都是频率，而纵轴分别表示了幅度和相位随频率的变化情况，这种表达表示了幅度和相位随频率的变化情况，这种表达形式我们叫做信号的频域表达形式我们叫做信号的频域表达5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n信号的两种表达形式是可以互相推出的，也就是说知道了其中的一种表达形式，就可以算出另外一种表达形式n n时域频域 傅立叶变换n n频域时域 逆傅立叶变换5.1 频率、频域的根本概念频率、频域
7、的根本概念n n信号的时域表达或者空域表达是我们平常用的最多，也是我们感觉最为直观的一种形式，那我们为什么还要引入频域表达这种形式呢？n n频域表达在处理信号的时候有着很多不可比较的优势，可以对频率进行选择性地处理5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念5.1 频率、频域的根本概念频率、频域的根本概念n n频域滤波的概念n n像上图那样，为了到达某些特殊的目的，在频域里面对信号进行处理，只让某些频率的信号通过，而把其它频率的信号阻止，这种处理过程就叫做频域滤波5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n我们必须有一种方法，能够在时域表达式和频域我们必须有一种方法，能够在时域表达式和频域表
8、达式之间进行转换表达式之间进行转换n n所幸的是，傅立叶变换给我们提供了这样的工具，所幸的是，傅立叶变换给我们提供了这样的工具，可以由时域表达式可以由时域表达式 f(t) f(t) 求出求出 频域表达式频域表达式 F(f) F(f)，也，也可以由频域表达式可以由频域表达式 F(f) F(f) 求出时域表达式求出时域表达式 f(t) f(t) n n由法国数学家由法国数学家FourierFourier于于18071807年首次提出，后来于年首次提出，后来于18221822年发表在其著作年发表在其著作“The Analytic Theory of “The Analytic Theory of H
9、eatHeat中，在中，在5555年之后，人们才意识到它的价值，年之后，人们才意识到它的价值，被被FreemanFreeman翻译成英文，后来得到了广泛的应用翻译成英文，后来得到了广泛的应用5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n傅立叶变换的数学公式：n n正向变换由时域到频域n n反向变换由频域到时域5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n傅立叶变换的四种形式：n n时域连续、周期 频域离散 傅立叶级数n n时域连续、非周期 频域连续 傅立叶变换n n时域离散、周期 频域离散、周期 离散傅立叶变换n n时域离散、非周期 频域周期 采样信号的傅立叶变换5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n
10、 n电脑所能够处理的，只能是时域和频域都离散的信号，也即离散傅立叶变换Discrete Fourier Transform DFT：n n正向DFT：n n反向DFT：5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n对于上面所给出的对于上面所给出的DFTDFT的公式，我们已经可以编的公式，我们已经可以编程实现，但是当程实现，但是当N N比较大的时候，运算量非常大比较大的时候，运算量非常大n n为了快速地计算为了快速地计算DFTDFT，可以采用快速傅立叶变换，可以采用快速傅立叶变换 Fast Fourier Transform Fast Fourier Transform FFT FFT，可以在很短，
11、可以在很短的时间内得到的时间内得到DFTDFT的计算结果的计算结果n n我们只需会使用我们只需会使用FFTFFT来对图像进行处理即可，不来对图像进行处理即可，不需了解其详细实现需了解其详细实现n n但是对但是对DFTDFT的性质必须有所了解，才能有效地使的性质必须有所了解，才能有效地使用频域处理方法用频域处理方法5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n采样定理：n n对于一个带宽受限的信号，假设其最大频率为对于一个带宽受限的信号，假设其最大频率为 f fmaxmax，那么我们必须用，那么我们必须用 2 2fmaxfmax的采样频率去对此的采样频率去对此信号采样，才能无失真地恢复原信号，也即：
12、信号采样，才能无失真地恢复原信号，也即：5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n有了采样定理的知识，我们才能更好地理解DFT的输出所代表的意义n nDFT的输出中，只有一半的频率是有用的，其它的一半跟另外一半相同n nDFT的输出的排列n nDFT的输出如果想按照频率由负到正自然排列，必须对输入信号作预处理，乘以1tn nFFT算法一般要求N为2的整数次方，这样必须对输入信号补0，补0的影响如何？5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n对于图像处理来讲，我们必须处理二维信号f(x,y)，所以必须计算二维离散傅立叶变换：n n正向二维正向二维DFTDFT：n n反向二维反向二维DFTDFT：
13、5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n同样的，为了提高运算速度，我们必须使用二维的FFT来在电脑上计算二维DFTn n有现成的程序供我们使用，因此不必了解二维FFT的细节，只需会调用其函数即可，并且要了解二维DFT计算出来的输出所代表的含义5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍5.2 傅立叶变换介绍傅立叶变换介绍n n空域滤波和频域滤波的关系n n空域卷积相当于在频域里面相乘n n当卷积核比较大的时候，在频域里面处理速度比较快因为乘法比卷积要简单n n频域里面非常便于设计滤波器，进行理论分析等，用来指导空域滤波5.3 图像频域滤波根本步骤图像频域滤波根本步骤下次课程内容下次课程内容n频域滤波低通和高通滤波
