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1、微积分讲义微积分讲义设计制作设计制作王新心王新心7/20/20243.2 导数概念导数概念（一）导数的定义（一）导数的定义（二）（二）导数的几何意义导数的几何意义（三）（三）左右导数左右导数（四）（四）可导与连续的关系可导与连续的关系7/20/2024（一）导数的定义（一）导数的定义第三章第三章 导数与微分导数与微分个邻域内有定义， 当自变量在点处取得改变量时，【定义定义3.1】设函数在点的某函数取得相应的改变量如果当时，的极限存在，即7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分存在，导数导数（或微商微商）， 记作则称此极限值为函数在点处的反映的是自变量从改变到时，函数的平均变化率；
2、而反映的是点处的变化率。7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分函数在点处的导数的定义其它形式式为7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分函数在任意一点处的导数为令7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例1求函数在点处的导数。解解当由改变到时， 函数改变量为7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分实际意义实际意义（如图）改变1个单位时，当自变量在点处函数改变4个单位。反映函数在处的变化速度反映函数在处的变化速度7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分则称函数如果函数在点处有导数，否则称函数在点处不可导不可导。 如果函数在某区间内每
3、一点处都可导， 则称函数在区间内可导，此时，的导数定义了一个新函数， 称为函数在区间内对的导函数导函数，简称为导数导数，记作在点处可导可导，7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分导数，由导数的定义求函数在点处的（2）作出比值概括为以下步骤步骤：数的改变量（1）求出对应于自变量的改变量 的函（3）求时，的极限， 即7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例2求线性函数的导数解解7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例3求函数的导数解解7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例4求函数的导数解解7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数
4、与微分例例5已知函数解解求7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例6讨论函数解解在点处的连续性和可导性。所以函数在点处连续。不存在所以函数在点处不可导。7/20/2024（二）（二）导数的几何意义导数的几何意义 第三章第三章 导数与微分导数与微分函数在点处的导数就是的切线的斜率切线的斜率。曲线在点处如图7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分由导数的几何意义和直线的点斜式方程，可得曲线在点处的切线方程切线方程法线方程法线方程7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分说明说明若切线仍然存在，曲线在处的切线方程切线方程且垂直轴法线方程法线方程若曲线在处切线方程
5、切线方程法线方程法线方程7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例7求函数在点处的切线方程与法线方程。解解则切线的切线方程即法线方程即斜率为7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例8问曲线哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线平行 ? 切线方程。写出其解解故在原点处有垂直切线令得则在点 处切线与直线平行。若有垂直切线则7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分切线方程分别为即7/20/2024（三）（三）左右导数左右导数第三章第三章 导数与微分导数与微分个邻域内有定义，【定义定义3.2】设函数在点的某若存在，记作；称之为在处的左导数左导数，若存在，
6、称之为在处的右导数右导数，记作。7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分函数在某点可导的充分必要条件是函数在某点可导的充分必要条件是导数在该点都存在并且相等。导数在该点都存在并且相等。左右左右可导的充要条件可导的充要条件函数在上可导， 指在开区间内处处可导， 且存在和。7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分补充结论补充结论（左右导数的简单计算公式左右导数的简单计算公式）（1）在上连续；【定理定理】设函数满足下列条件：（2）在内可导；（3）存在。则右（左）导数为重要重要7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例9问函数 在点 处是否可导？为什么？解解函数满
7、足定理的条件当时，当时，左、右导数不相等应用简单应用简单计算公式计算公式所以函数在处不可导。7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分（四）（四）可导与连续的关系可导与连续的关系【定理定理3.1】设函数在点处可导，则它在点处一定连续。可导连续可导连续证证因为函数在点处可导，所以有即函数在点处连续。7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分定理的逆定理不一定成立定理的逆定理不一定成立连续可导连续可导反例反例函数在处连续但不可导。因为连续是可导的连续是可导的必要非充分必要非充分条件条件不连续不可导不连续不可导7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分例例10讨论函数
8、在点处的连续性和可导性。解解（1）在点处因此，在处不连续，从而在处也不可导。7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分（2）在点处因此，在处连续，由简便公式计算导数函数在处可导且7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分因此，在处连续。由简便公式计算导数函数在处不可导。（3）在点处7/20/2024内容小结内容小结1. 导数的定义：导数的定义：2.3.导数的几何意义：导数的几何意义：4.判断可导性判断可导性第三章第三章 导数与微分导数与微分是曲线在处切线的斜率。处切线的斜率。不连续，一定不可导利用导数定义左右导数是否存在且相等7/20/2024备用题备用题第三章第三章 导数
9、与微分导数与微分1. 函数 在某点 处的导数与导函数有什么区别与联系 ?区别：解解是函数；是函数值。联系：注意注意7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分2. 设存在， 则3. 已知则4. 设存在， 且则7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分5. 若时，恒有讨论函数在处的可导性。解解由题设由夹逼准则故在处可导， 且。7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分6. 设问取何值时，在都存在， 并求出。解解显然该函数在连续故时，此时在都存在7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分7. 设函数在处连续， 且则（）（2006）知解解由及函数在的连续性而选选7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分8. 设函数处连续，其中在则是在处可导的（）充分必要条件必要但非充分条件充分但非必要条件既非充分也非必要条件解解（2003）在处可导即选选7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分9. 设曲线在点处的切线与轴的交点为则（1998）解解切线方程求出与轴的交点7/20/2024第三章第三章 导数与微分导数与微分10. 设周期函数在内可导，周期为4， 又则曲线在点处的切线的斜率为（）。（1998）解解因为周期是4， 则所以选选7/20/2024
