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1、优秀学习资料欢迎下载二项式定理1 知识精讲：（1）二项式定理：nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba110（Nn）其通项是1rTrrnrnbaC（r=0,1,2,n） ，知 4 求 1，如：555156baCTTnn特别地：nnnrnrnnnnnxCxCxCxCx101（Nn）（2）二项展开式系数的性质：对称性 , 在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即,22110knnknnnnnnnnnnCCCCCCCC增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n偶数：122maxnn
2、nrnTCC；如 果 二 项 式 的 幂 指 数 是 奇 数 ， 中 间 两 项 的 二 项 式 系 数 相 等 并 且 最 大 ， 即1211212121maxnnnnnnrnTTCCC。所有二项式系数的和用赋值法可以证明等于n2即nnnnnCCC210；奇数项的二项 式系数和与偶 数项的二项式 系数和相等，即131202nnnnnCCCC（3）二项式定理的应用：近似计算和估计、证不等式，如证明：Nnnnn, 322取nn112的展开式中的四项即可。2特别注意 :二项式的展开式共有n+1 项，rrnrnbaC是第 r+1 项。通项是1rTrrnrnbaC（r=0,1,2,n）中含有rnbaT
3、r,1五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素。当 n 不是很大， |x| 比较小时可以用展开式的前几项求nx)1 (的近似值。例 1 （1）nnnnnnCCCC1321393等于（）A.n4B.n43C.134nD.314n（2）若n为奇数，则777712211nnnnnnnCCC被 9 除得的余数是（）A. 0 B. 2 C. 7 D. 8 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载例 2 （1） 如果在nxx421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。（2） 求321xx的展开式
4、的常数项。（3）在5223xx的展开式中，求x的系数（即含x的项的系数）练习：（1）在732)1)(1(xxxx的展开式中，求4x的系数。（2）求4)44(xx的展开式中的常数项。（3）求543)1()1 ()1 (xxx50)1(x的展开式中3x的系数。例 3设 an1 qq2 qn1(nN*，q1)，AnC1na1C2na2Cnnan. (1)用 q 和 n 表示An(2)当13q时 ,求nnnA2lim例 4、 若432x=44332210xaxaxaxaa，求（ 1）2420aaa231aa的值。 （ 2）3210aaaa的值。例 5 已知nx（)221(。（1）若展开式中第5 项、第
5、 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数。（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项。例 6：当Nn且n1，求证3)11(2nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载例 1解：（1）设nnnnnnnCCCCS1321393，于是：nnnnnnnCCCCS3333333221=13333332210nnnnnnnCCCCC故选 D （2）777712211nnnnnnnCCC11918nn=1191991111nnnnnnnCC因为n为奇数，所
6、以原式=291991111nnnnnnCC所以，其余数为 7，选 C 例 2 解： （1）展开式中前三项的系数分别为1，2n，8) 1(nn，由题意得： 22n=1+8)1(nn得n=8。设第 r+1 项为有理项，43168121rrrrxcT，则 r 是 4 的倍数，所以r=0，4， 8。有理项为295412561,835,xTxTxT。（2）法一：321xx61xx，其展开式的通项为2266111rrrrrxxCT22661rrrrxC，令0226r得3r所以，常数项为204T法二：解析：321xx=21xx21xx21xx得到常数的情况有：三个括号中全取-2，得（ -2 ）3 一个括号取
7、| x，一个括号取x1，一个括号取 -2 ，得)2(1213CC=-12 ，因此常数项为-20 。（3）5223xx=xCxCxx1545155522121含x的项为xxCC24022515415 , 即含x的项的系数为240精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载练 习 ：解 : （ 1 ） 原 式 =6474)1)(1 ()1(11xxxxx, 展 开 式 中4x的 系 数 为141)1(464C（ 2 ）4)44(xx=48442)2()44(xxxxx， 展 开 式 中 的 常 数 项 为112
8、0) 1(24448C（3）方法一：原式=xxxxxx351483)1 ()1(1)1(1)1()1(3x的系数为451C。方法二：展开式中3x的系数为：353433CCC350C353444CCC350C3545CC350C451C例 3 解： q1，anqqn11. AnC1na1C2na2 Cnnanqq11 C1nqq112C2nqqn11Cnnq11(C0nC1nC2n Cnn) (C0nqC1nq2C2n qnCnn)nnqq)1 (211(2)nnA2nqq21111因为13q且 q1，所以021q1所以nnnA2lim=q11例 4、 【解析】： （ 1）在使用赋值法前，应先将
9、2420aaa231aa变形为：2420aaa231aa=43210aaaaa43210aaaaa才能发现x应取什么特殊值：令x= 1，则43210aaaaa=432精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页优秀学习资料欢迎下载令x=1 则43210aaaaa=432因此：2420aaa231aa=432432=43232=1 （ 2 ） 因 为43210aaaaa=43210aaaaa=432， 而16244a所以，3210aaaa=43216 例 5 【解】 （1）5642nnnCCCn=7 或n=14。当n=7 时，展
10、开式中二项式系数最大的项是T4和 T5T4的系数 =2352213437C；T5的系数 =702214347C当n=14 时展开式中二项式系数最大是项是T8，T8的系数 =343222177714C。（2）由210nnnCCC=79，可得n=12，设1kT顶的系数最大。1212124121221xx，1112121112124444kkkkkkkkCCCC， 9.4k10.4 即k=10，故展开式中系数最大的项为T11。10101010121211168964121xxCT例 6：证明 : 2111111)11 (1221nCnCnCnCnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn12321!1! 321!2121122112112122121212!1! 31! 212112nnn.32131n从而3)11 (2nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
