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1、精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性专题经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性 . 证明：在 (0，+)上任取 x1、x2(x1x2)， 令 x=x2-x10 则x10， x20，上式 0， y=f(x2)-f(x1)0 上递减 . 总结升华：1证明函数单调性要求使用定义；2如何比较两个量的大小？(作差 ) 3如何判断一个式子的符号？(对差适当变形) 举一反三：【变式 1】用定义证明函数上是减函数 . 思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径. 证明：设x1， x2是区间上的任意实数，且x1x2，则0 x1 x21 x1-x20，0x1x
2、21 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页精品资料欢迎下载0 x1x2 1 故，即 f(x1)-f(x2)0 x1x2时有 f(x1)f(x2) 上是减函数 . 总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象. 类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2； (2)解： (1)由图象对称性，画出草图f(x)在上递减，在上递减，在上递增. (2)图象为精选学习资料 - - - - - - - - -
3、 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页精品资料欢迎下载f(x)在上递增 . 举一反三：【变式 1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|； (2)(3). 解： (1)画出函数图象，函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+)；(2)定义域为，其中 u=2x-1 为增函数，在(-， 0)与 (0， +)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为 (-， 0)(0，+)，单调增区间为：(-， 0)，单调减区间为(0，+). 总结升华：1数形结合利用图象判断函数单调区间；2关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关. 3复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再
4、将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数. 类型三、单调性的应用( 比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在 (0，+ )上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小 . 解：又 f(x)在(0，+)上是减函数，则. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页精品资料欢迎下载4. 求下列函数值域：(1)； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x-1，1
5、； 2)x-2，2. 思路点拨： (1)可应用函数的单调性；(2)数形结合 . 解：(1)2 个单位， 再上移 2 个单位得到，如图1)f(x)在5， 10上单增，；2)；(2)画出草图1)yf(1)， f(-1)即2，6；2). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页精品资料欢迎下载举一反三：【变式 1】已知函数. (1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当 x1，3时，求函数f(x)的值域 . 思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.， 第二问即是利用单
6、调性求函数值域 . 解： (1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数 f(x)在1，3上单调递增x=1 时 f(x)有最小值， f(1)=-2 x=3 时 f(x)有最大值x1，3时 f(x)的值域为. 5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间上是增函数，求：(1)实数 a 的取值范围； (2)f(2) 的取值范围 . 解： (1)对称轴是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又 a2， -2a -4 f(2)=-2a+11 -4+11=7 . 类型四、判断函数的奇偶性精选学习资料 - - - - - - - -
7、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页精品资料欢迎下载6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断. 解： (1)f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)x-10， f(x)定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意 xR，都有 -xR，且 f(-x)=x2-4|x|+3=f(x) ，则 f(x)=x2-4|x|+3 为偶函数；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|
8、-|x+3|=-f(x) ， f(x)为奇函数；(5)， f(x)为奇函数；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)， f(x)为奇函数；(7)， f(x)为奇函数 . 举一反三：【变式 1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1| ；(3)f(x)=x2+x+1；(4). 思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断. 解： (1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x)为奇函数；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
9、 - - - - -第 6 页，共 16 页精品资料欢迎下载(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x)-f(x)且 f(-x)f(x) f(x)为非奇非偶函数；(4)任取 x0 则 -x0， f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取 x0，则 -x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0 时， f(0)=-f(0) xR 时， f(-x)=-f(x) f(x)为奇函数 . 举一反三：【变式 2】 已知 f(x)， g(x)均为奇函数， 且定义域相同，
10、 求证：f(x)+g(x) 为奇函数， f(x) g(x)为偶函数 . 证明：设F(x)=f(x)+g(x) ， G(x)=f(x) g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x) -g(x)=f(x) g(x)=G(x) f(x)+g(x) 为奇函数， f(x)g(x)为偶函数 . 类型五、函数奇偶性的应用( 求值，求解析式，与单调性结合)7.已知 f(x)=x5+ax3-bx-8，且 f(-2)=10 ，求 f(2). 解：法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32
11、-8a+2b-8=-40-8a+2b=10 8a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26 法二：令g(x)=f(x)+8 易证 g(x)为奇函数 g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8 f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26. 8. f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x 0时， f(x)=x2-x，求当 x0 时， f(x)的解析式，并画出函数图象. 解：奇函数图象关于原点对称，x0 时， -y=(-x)2-(-x) 即 y=-x2-x 又 f(0)=0，如图9. 设定义在 -3，3上的偶函数f(x)在 0，3上是单
12、调递增，当f(a-1) f(a)时，求 a的取值范围 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页精品资料欢迎下载解： f(a-1)f(a) f(|a-1|) f(|a|) 而|a-1|，|a|0， 3 . 类型六、综合问题10.定义在 R 上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设 ab0，给出下列不等式，其中成立的是_. f(b)-f(-a) g(a)-g(-b)；f(b)-f(-a) g(a)-g(-b) ；f(a)-f(-b) g(b)-g(-a)；f(a)-f(-b) g(b
13、)-g(-a). 答案： . 11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨： (1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t 范围 . 解：(1)；(2)经观察知，；(3)令. 12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)若函数 f(x)在区间 0，2上是单调的，求实数a 的取值范围；(2)当 x-1， 1时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象 . 解： (1)f(x)=(x-a)2-1 a0 或 a2 (2)1当
14、 a-1 时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页精品资料欢迎下载2当 -1 a1 时，如图2，g(a)=f(a)=-1 3当 a 1 时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a ，如图13. 已知函数f(x)在定义域 (0，+)上为增函数， f(2)=1，且定义域上任意x、y 都满足 f(xy)=f(x)+f(y) ，解不等式：f(x)+f(x-2) 3. 解：令 x=2，y=2， f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2 再令 x=4，y=2， f(42)=f(4
15、)+f(2)=2+1=3 f(8)=3 f(x)+f(x-2) 3 可转化为： fx(x-2) f(8) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页精品资料欢迎下载. 14. 判断函数上的单调性，并证明. 证明：任取0x1x2，0 x1 x2， x1-x20，x1x20 (1)当时0x1x21， x1x2-10 f(x1)-f(x2)0 即 f(x1)f(x2) 上是减函数 . (2)当 x1， x2 (1，+ )时，上是增函数 . 难点： x1x2-1 的符号的确定，如何分段. 15. 设 a 为实数，函数f(x)=x2
16、+|x-a|+1，xR，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值 . 解：当 a=0 时， f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当 a0 时， f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数. (1)当 xa 时，1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页精品资料欢迎下载且2上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1. (2)当 xa 时，1上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1 2上的最小值为综上：. 学习成果测评基础达标一、选择题1下面说法正确的选项( ) A函数的单调区间就是函数的定义域B函数的
17、多个单调增区间的并集也是其单调增区间C具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2在区间上为增函数的是( ) ABCD3 已知函数为偶函数， 则的值是 ( ) A. B. C. D. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页精品资料欢迎下载4若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) ABCD5 如果奇函数在区间上是增函数且最大值为， 那么在区间上是 ( ) A增函数且最小值是B增函数且最大值是C减函数且最大值是D减函数且最小值是6 设是定义在上的一个函数， 则函数， 在上一定
18、是 ( ) A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数. 7下列函数中，在区间上是增函数的是( ) ABCD8函数 f(x)是定义在 -6，6上的偶函数，且在-6，0上是减函数，则( ) A. f(3)+f(4) 0 B. f(-3)-f(2) 0 C. f(-2)+f(-5) 0D. f(4)-f(-1) 0 二、填空题1设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图， 则不等式的解是 _. 2函数的值域是 _. 3已知，则函数的值域是 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页精品资料欢迎下载4 若 函 数
19、是 偶 函 数 ， 则的 递 减 区 间 是_. 5函数在 R上为奇函数，且，则当，_. 三、解答题1判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性 . 2已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围 . 3利用函数的单调性求函数的值域；4已知函数. 当时，求函数的最大值和最小值； 求实数的取值范围，使在区间上是单调函数 . 能力提升一、选择题1下列判断正确的是( ) A函数是奇函数B函数是偶函数C函数是非奇非偶函数D函数既是奇函数又是偶函数2若函数在上是单调函数，则的取值范围是( ) ABCD精选学习资料 - - - - - - - - -
20、名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页精品资料欢迎下载3函数的值域为 ( ) ABCD4已知函数在区间上是减函数， 则实数的取值范围是 ( ) ABCD5下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数， 所以是增 函 数 ； (2) 若 函 数与轴 没 有 交 点 ， 则且； (3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数. 其中正确命题的个数是( ) ABCD6定义在R 上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( ) ABCD二、填空题1函数的单调递减区间是_. 2已知定义在上的奇函数，当时，那么时，_. 3若函数在上是奇函数，则的解析式为 _. 精选学习资料 -
21、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页精品资料欢迎下载4奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为 -1，则_. 5若函数在上是减函数，则的取值范围为 _. 三、解答题1判断下列函数的奇偶性(1)(2)2 已知函数的定义域为， 且对任意， 都有，且当时，恒成立，证明： (1)函数是上的减函数； (2)函数是奇函数 . 3设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式 . 4设为实数，函数，. (1)讨论的奇偶性； (2)求的最小值 . 综合探究1 已知函数， 则的奇偶性依次为( ) A偶函数，奇函数B奇函数，偶
22、函数C偶函数，偶函数D奇函数，奇函数2 若是 偶 函 数 ， 其 定 义 域 为， 且 在上 是 减 函 数 ， 则的 大小关系是 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页精品资料欢迎下载ABCD3已知，那么_. 4若在区间上是增函数，则的取值范围是_. 5已知函数的定义域是，且满足，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式. 6当时，求函数的最小值 . 7已知在区间内有一最大值，求的值 . 8已知函数的最大值不大于，又当，求的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页
