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1、自动控制理论自动控制理论2024/7/20主要内容:p 数学模型基础数学模型基础p 控制系统的微分方程控制系统的微分方程p 控制系统的传递函数控制系统的传递函数p 控制系统的结构图控制系统的结构图p 信号流图与梅逊公式信号流图与梅逊公式第第2章章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型自动控制理论自动控制理论2024/7/201.1.数数学学模模型型：用用数数学学的的方方法法和和形形式式表表示示并并描描述述系系统统中中各各物理量（或变量）的动态关系。物理量（或变量）的动态关系。2.2.建立数学模型的目的建立数学模型的目的建立系统的数学模型，是定量分析和设计控制系统的首建立系统的数学模型，是定量分
2、析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。要工作（或基础工作）。不同类型自控系统可能具有完全相同的数学模型，可摆不同类型自控系统可能具有完全相同的数学模型，可摆脱不同系统的外部特征，研究内在的共性运动规律。脱不同系统的外部特征，研究内在的共性运动规律。2.1 2.1 数学模型基础数学模型基础自动控制理论自动控制理论2024/7/203.3.建模方法建模方法微分方程（或差分方程）微分方程（或差分方程）（时域）（时域）传递函数（或结构图）传递函数（或结构图）（复域）（复域）频率特性频率特性（频域）（频域）状态空间表达式（或状态模型）状态空间表达式（或状态模型）4.4.常用数学模型常用数学模型自动控
3、制理论自动控制理论2024/7/205.5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径由数学模型求取系统性能指标的主要途径求解求解观察观察线性微分方程线性微分方程性能指标性能指标传递函数传递函数时间响应时间响应频率响应频率响应拉氏变换拉氏变换拉氏反变换拉氏反变换估算估算估算估算计算计算傅傅氏氏变变换换S=j频率特性频率特性自动控制理论自动控制理论2024/7/202.2 控制系统的微分方程控制系统的微分方程v对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来对单输入、单输出的线性定常系统，采用下列微分方程来描述。描述。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+a0y(t)=bmx(m)(t)+bm
4、-1x(m-1)(t)+b0x(t)其中：其中：y(t)为系统输出量，为系统输出量，y(I)表示输出的表示输出的I阶导数阶导数x(t)为系统输入量，为系统输入量，x(I)表示输入的表示输入的I阶导数阶导数自动控制理论自动控制理论2024/7/20、根据系统情况，确定输入和输出量；、根据系统情况，确定输入和输出量；、从从输输入入端端开开始始，按按照照信信号号的的传传递递顺顺序序，根根据据各各变变量量所所遵遵循循的的物物理理定定律律，列列写写出出各各元元器器件件的的动动态态方方程程，一一般般为为微微分方程组；分方程组；、消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；、消去中间变量，写出输入、输出变量
5、的微分方程；、微分方程标准化。、微分方程标准化。建立微分方程的一般步骤：建立微分方程的一般步骤：自动控制理论自动控制理论2024/7/202.2.1 2.2.1 电气系统电气系统v由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。由电阻、电容、电感、运算放大器等元件组成的装置。v对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想电对于这类系统，要使用基尔霍夫电流和电压定律，以及理想电阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。阻、电感、电容两端电压、电流与元件参数的关系。基尔霍夫电压定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，在基尔霍夫电压定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个回路，
6、在任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等于零。任何时刻，沿该回路的所有支路电压代数和等于零。 uu=0基尔霍夫电流定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个结点或闭基尔霍夫电流定律：对于任意一个集中参数电路中的任意一个结点或闭合面，在任何时刻，通过该结点或闭合面的所有支路电流代数和等于零合面，在任何时刻，通过该结点或闭合面的所有支路电流代数和等于零 ui=0自动控制理论自动控制理论2024/7/202.2.1 2.2.1 电气系统电气系统 例例2-12-1：写出：写出RLCRLC串联电路的微分方程串联电路的微分方程输入输入输出输出LRCi 解解 ：据基尔霍夫电压定理：据基尔霍夫电压定理：将将
7、代入代入得：得：这是一个线性定常二阶微分方程。这是一个线性定常二阶微分方程。自动控制理论自动控制理论2024/7/20 例例2-22-2：求理想运算放大器电路的微分方程：求理想运算放大器电路的微分方程RRUi(t)CUo(t)+-解解：理想放大器正、反相输入：理想放大器正、反相输入端的电位相同，且输入电流为端的电位相同，且输入电流为零。据基尔霍夫电流定理：零。据基尔霍夫电流定理：整理后得，整理后得，这是一阶系统。这是一阶系统。自动控制理论自动控制理论2024/7/202.2.2 2.2.2 机械系统机械系统机械系统：存在机械运动的装置，遵循物理学的力学定律。机械系统：存在机械运动的装置，遵循物
8、理学的力学定律。根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律等。根据运动的方式，包括牛顿第二定律和牛顿转动定律等。牛顿第二定律：牛顿第二定律：牛顿转动定律：牛顿转动定律：自动控制理论自动控制理论2024/7/20直线运动物体受到的摩擦力：直线运动物体受到的摩擦力：转动的物体受到的摩擦力矩：转动的物体受到的摩擦力矩：F FB B 为粘性摩擦力，为粘性摩擦力，F Ff f 为恒值摩擦力，为恒值摩擦力，f f 为粘性阻尼系数。为粘性阻尼系数。T TB B 为粘性摩擦力，为粘性摩擦力，T Tf f 为恒值摩擦力，为恒值摩擦力，K KC C 为粘性阻尼系数，为粘性阻尼系数，为角位移。为角位移。自动控制
9、理论自动控制理论2024/7/20 例例2-3 2-3 求弹簧求弹簧- -阻尼阻尼- -质量的机械位移系统的微分方程。输质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力入量为外力F F，输出量为位移，输出量为位移y(t)y(t)。解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFF图2图1根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下：这也是一个两阶定常微分方程。y为输出量，F为输入量。自动控制理论自动控制理论2024/7/20同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的
10、数学模型。也可以有相同形式的数学模型。相似系统：相似系统：具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1与例与例2-3为力电荷相似系统。为力电荷相似系统。自动控制理论自动控制理论2024/7/20思考题：给出双思考题：给出双RCRC电路的微分方程电路的微分方程uiuouC2C1ici1R1R2i2解答解答自动控制理论自动控制理论2024/7/20v连续时间对应的复频域是用直角坐标连续时间对应的复频域是用直角坐标表示的表示的复数平面，简称为复数平面，简称为S平面平面或连续时间或连续时间复频域（复频域（s域）域）。vS平面上的每一个点平面上的
11、每一个点s都代表一个复指数信号都代表一个复指数信号,整个整个S平面上平面上所有的点代表了整个复指数信号集。所有的点代表了整个复指数信号集。S平面平面2.2.3 2.2.3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换自动控制理论自动控制理论2024/7/20定义：定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域 t0，那么下式即是拉氏变换式：将一个时间域的函数变换到将一个时间域的函数变换到s s域的复变函数，式中域的复变函数，式中s s为复数。为复数。记作记作F(s) F(s) - - 象函数，象函数，f(t) f(t) - - 原函数原函数为反拉氏变换为反拉氏变换记记自动控制理论自动控制理论2024/
12、7/20线性性质：积分定理：（设初值为零）性质：性质：(2)微分定理：证明证明自动控制理论自动控制理论2024/7/20终值定理：卷积定理：初值定理：位移定理：实域中的位移定理，当原函数沿时间轴平移T，相应于其象函数乘以复域中的位移定理，当像函数的自变量s位移a时，相应于原函数乘以自动控制理论自动控制理论2024/7/20常用函数的拉氏变换：常用函数的拉氏变换： 单位阶跃函数： 单位脉冲函数： 单位斜坡函数： 单位抛物线函数： 正弦函数： 其他函数可以查阅相关表格获得。自动控制理论自动控制理论2024/7/20研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况经典法，拉氏变换法和数字求解在自动控
13、制系统理论中主要使用拉氏变换法。 拉氏变换求微分方程解的拉氏变换求微分方程解的步骤步骤： 对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。2.2.4 2.2.4 线性方程的求解线性方程的求解自动控制理论自动控制理论2024/7/20R1C1i1(t)ur(t)uc(t)例例2-4已知已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v,ur(t)=1(t)，求，求uc(t)解：解：零初始条件下取拉氏变换：零初始条件下取拉氏变换：自动控制理论自动控制理论2024/7/202.32.3传递函数传递函数 2.3.1 2.3.1 传递函数的定义传递函数的定义
14、 在在 ，线性定常系统元件输出信号的拉氏，线性定常系统元件输出信号的拉氏变换式变换式Y(s)与输入信号的拉氏变换式与输入信号的拉氏变换式X(s)之比。之比。一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函一定形式的传递函数对应于一定的微分方程。有了传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，在许多情况下，可以不用解微分方程，而直接研究传递函数，就可以了解系统的重要特性。数，就可以了解系统的重要特性。初始条件为零时自动控制理论自动控制理论2024/7/20 例例2-52-5 求下图的传递函数：求下图的传递函数：进行拉氏变换自动控制理论自动控制理论2024/7/20整理得：自
15、动控制理论自动控制理论2024/7/20传递函数的性质传递函数的性质v适用于线性定常系统适用于线性定常系统与线性常系数微分方程一一对应与线性常系数微分方程一一对应与系统的动态特性一一对应。与系统的动态特性一一对应。v不能反映系统或元件的学科属性和物理性质不能反映系统或元件的学科属性和物理性质物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全物理性质和学科类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数相同的传递函数研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函研究某传递函数所得结论可适用于具有这种传递函数的各种系统。数的各种系统。v忽略了初始条件的影响。忽略了初始条件的影响。自动控制理论自动控制理论202
16、4/7/20传递函数的性质传递函数的性质v仅与系统的结构和参数有关，与系统输入无关仅与系统的结构和参数有关，与系统输入无关只反映了输入和输出之间的关系只反映了输入和输出之间的关系不反映中间变量的关系。不反映中间变量的关系。v主要适用于单输入单输出系统主要适用于单输入单输出系统若系统有多个输入信号，求传递函数时，除了一个若系统有多个输入信号，求传递函数时，除了一个有关的输入外，其它的输入量一概视为零。有关的输入外，其它的输入量一概视为零。v是复变量是复变量s s的有理分式，对实际系统，传递函数的的有理分式，对实际系统，传递函数的分母阶次分母阶次n n总是大于或等于分子阶次总是大于或等于分子阶次m
17、 m，此时称为，此时称为n n阶系统。阶系统。自动控制理论自动控制理论2024/7/20 传递函数的几种表达形式传递函数的几种表达形式 ：有理分式形式：有理分式形式：式中：式中： 为实常数，为实常数，一般一般n nmm上式称为上式称为n阶传递函数，相应的系统为阶传递函数，相应的系统为n阶系统。阶系统。自动控制理论自动控制理论2024/7/20零点、极点形式：零点、极点形式：式中： 称为传递函数的零点， 称为传递函数的极点。零点、极点可为实数，也可为共轭复数。 传递系数传递系数自动控制理论自动控制理论2024/7/20零、极点分布图零、极点分布图零点，在零点，在s s平面上用平面上用“O O”表
18、示表示极点，在极点，在s s平面上用平面上用“”表示表示v例例ReIm-1xx2s=jws-plane自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-6:已知传递函数已知传递函数,试画出系统的零、极点分布图。试画出系统的零、极点分布图。其中，其中，零点零点为，为，极点极点为为，j，j。0 j -2-3-11-1S平面平面自动控制理论自动控制理论2024/7/20 时间常数形式：自动控制理论自动控制理论2024/7/20称为时间常数，K称为放大系数。显然： ， 若零点或极点为共轭复数，则一般用若零点或极点为共轭复数，则一般用2 2阶项来表示。若阶项来表示。若 为共轭复极点，则：为共轭复极点，则
19、：或或其系数其系数 由由 或或 求得；求得；自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-7：将传递函数，用时间常数形式表：将传递函数，用时间常数形式表示，并求出示，并求出。由此，可得由此，可得解：解：自动控制理论自动控制理论2024/7/202.3.2 2.3.2 典型环节及其传递函数典型环节及其传递函数u 环节：组成一个复杂的控制系统的若干元部件构成环节：组成一个复杂的控制系统的若干元部件构成u 基基本本环环节节（典典型型环环节节）：从从动动态态方方程程、传传递递函函数数和和运运动动特特性性的的角角度度看看，不宜再分的最小环节不宜再分的最小环节u 常见典型基本环节常见典型基本环节比例比
20、例积分积分惯性惯性振荡振荡微分微分延迟环节延迟环节自动控制理论自动控制理论2024/7/20K K为放大系数为放大系数实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。实例：分压器，放大器，无间隙无变形齿轮传动等。（一）比例环节（放大环节）：（一）比例环节（放大环节）：时域方程：时域方程：传递函数：传递函数：KRC比例环节方框图自动控制理论自动控制理论2024/7/20比例环节实例：R01R1R2u iuo电位器电位器自动控制理论自动控制理论2024/7/20（二）惯性环节（非周期环节）时域方程：传递函数：RC惯性环节方框图 T 为惯性环节的时间常数，若为惯性环节的时间常数，若，该环节就变成了放，
21、该环节就变成了放大环节。大环节。自动控制理论自动控制理论2024/7/20R拉氏变换得：自动控制理论自动控制理论2024/7/20RC其中T=RC拉氏变换得：自动控制理论自动控制理论2024/7/20（三）积分环节：时域方程：传递函数：RC积分环节方框图自动控制理论自动控制理论2024/7/20积分环节实例：RC自动控制理论自动控制理论2024/7/20（四）振荡环节：传递函数：传递函数：时域方程：时域方程： 为该环节的时间常数，称为为该环节的时间常数，称为无阻尼自振角频率无阻尼自振角频率，而且，而且，称称为为阻阻尼尼比比。只只有有当当时时，该该环环节节才才能能称称为为振振荡荡环环节节，因因为
22、为这时它的输出信号具有振荡的形式。这时它的输出信号具有振荡的形式。振荡环节方框图RC自动控制理论自动控制理论2024/7/20如果 时，可分为两个惯性环节相乘，两个惯性环节串联。传递函数有两个实数极点：可得可得自动控制理论自动控制理论2024/7/20（五）微分环节：包括纯微分，一阶微分和二阶微分环节，对应时域形式：相应的传递函数为：微分环节没有极点，只有零点。分别是零、实数和一对共轭零点（若 ）在实际系统中，由于存在惯性，单纯的微分环节是不存在的，一般都是微分环节加惯性环节自动控制理论自动控制理论2024/7/20一阶微分环节一阶微分环节uiRCio一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又
23、称比例一阶微分环节是理想微分环节加比例环节，故又称比例微分环节。微分环节。自动控制理论自动控制理论2024/7/20（六）延迟环节：又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，又称时滞，时延环节。它的输出是经过一个延迟时间后，完全复现输入信号，如图所示。完全复现输入信号，如图所示。x(t)ty(t)t动态方程：动态方程：其传递函数为其传递函数为：自动控制理论自动控制理论2024/7/20（七）其他环节：（七）其他环节：还有一些环节如还有一些环节如 等，它们的极点在等，它们的极点在s s平平面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是不稳定的，称为不稳定面的右半平面，我们以后会看到，这种环节是
24、不稳定的，称为不稳定环节。环节。自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-8：已知传递函数，分析已知传递函数，分析其组成环节。其组成环节。因此，该系统由因此，该系统由4个环节，比例，惯性，振荡，和一阶微分环节个环节，比例，惯性，振荡，和一阶微分环节构成。构成。自动控制理论自动控制理论2024/7/202.3.3 2.3.3 电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数u求取传递函数步骤求取传递函数步骤列写微分方程式列写微分方程式进行拉氏变换进行拉氏变换u对于电气网络：采用电路理论中的对于电气网络：采用电路理论中的运算阻抗运算阻抗的方法，直接求出的方法，直接求出相应的传递函数
25、。相应的传递函数。自动控制理论自动控制理论2024/7/202.3.3 2.3.3 电气网络的运算阻抗与传递函数电气网络的运算阻抗与传递函数电阻的运算阻抗：电阻的运算阻抗：电容的运算阻抗：电容的运算阻抗：电感的运算阻抗电感的运算阻抗：各个元件的运算阻抗，可以当作普通电阻来运算。各个元件的运算阻抗，可以当作普通电阻来运算。自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-92-9、求、求RCRC及及CRCR电路的传递函数电路的传递函数R RC CRC自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-102-10、求如图所示无源网络的传递函数、求如图所示无源网络的传递函数1RCiu2ROu并联阻抗
26、并联阻抗则则自动控制理论自动控制理论2024/7/20思考题思考题：用运算阻抗的方法求出下面双用运算阻抗的方法求出下面双RCRC网络的传递函数网络的传递函数。uiuouC2C1ici1R1R2i2自动控制理论自动控制理论2024/7/202.4 2.4 方块图和传递函数方块图和传递函数u方块图是用元件（或子系统）传递函数的组合来表示系统的一种图方块图是用元件（或子系统）传递函数的组合来表示系统的一种图形。形。u方块图由方块图由函数方块函数方块、信号线信号线、相加点相加点、分支点分支点等构成。等构成。u函数方块（方框）：函数方块（方框）：表示对信号进行的数学变换，方框中写入元件或系表示对信号进行
27、的数学变换，方框中写入元件或系统的传递函数。统的传递函数。u 信号线：信号线：表示信号传递通路与方向。表示信号传递通路与方向。u 相加点（比较点）：相加点（比较点）：对两个以上的信号进行加减运算，对两个以上的信号进行加减运算，“+”表示相加，表示相加，“”表示相减。表示相减。 u分支点（引出点）：分支点（引出点）：表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号数值和性质完全相同。数值和性质完全相同。自动控制理论自动控制理论2024/7/20例：某系统的各传递函数如下：例：某系统的各传递函数如下：C(s) = G(s)E(s) F(s) = H(s)C(
28、s) E(s) = R(s) F(s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20u绘制方块图的根据是系统各环节的动态微分方程式（它们组绘制方块图的根据是系统各环节的动态微分方程式（它们组成系统的动态微分方程组），及其拉氏变换。成系统的动态微分方程组），及其拉氏变换。u整理方程组的方法：整理方程组的方法：u每个方程式左边只有一个量每个方程式左边只有一个量u以系统输出量作为第一个方程左边的量以系统输出量作为第一个方程左边的量u从第二个方程开始，每个方程左边的量为前面方程右边的中间变量从第二个方程开始，每个方程左边的量为前面方程右边的中间变量u输入量至少出现在一个方程的右边；除输入量外，在方程右边出
29、现的中间变输入量至少出现在一个方程的右边；除输入量外，在方程右边出现的中间变量一定要在某个方程的左边出现量一定要在某个方程的左边出现u列写方程尽量用已出现的量列写方程尽量用已出现的量自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-11绘出绘出RC电路的结构图电路的结构图R1C1i1(t)ur(t)uc(t)Uc(s)Ur(s)I1(s)1/R11/C1s(-)(-)绘图详解绘图详解自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-122-12 绘出图示双绘出图示双RCRC网络的结构图。网络的结构图。uiuouC2C1ici1R1R2i2解：列写系统方程式，可得：解：列写系统方程式，可得：自动
30、控制理论自动控制理论2024/7/20U(s)I2(s) Uo(s)(b)(- -)IC(s)U(s)(c)I2(s) Uo(s)(a)自动控制理论自动控制理论2024/7/20 IC(s)I1(s)I2(s)(- -)(d)Ui(s)I1(s) U(s)(- -)(e)Ui(s)Uo(s) I2(s) U(s)IC(s) I1(s)(- -)(- -)(- -)(f)动画演示动画演示自动控制理论自动控制理论2024/7/20二、方块图的变换：二、方块图的变换：定义定义：用方块图求系统的传递函数时，对其进行的简化。类型类型：环节的合并； -串联 -并联 -反馈连接 信号分支点或相加点的移动。原
31、则原则：变换前后环节的输入量、输出量及其数学关系都保持不变。自动控制理论自动控制理论2024/7/20串联环节的简化：串联环节的简化：C(s)G2(s)G1(s)V(s)R(s)(a)C(s) G2(s)G1(s)R(s)(b)自动控制理论自动控制理论2024/7/20并联环节的简化：并联环节的简化： G1(s)+G2(s)- -G3(s)(b)变换后变换后 R(s) C(s)(a)变换前变换前 R(s) C1(s)C3(s) C2(s)(- -) G1(s) G2(s) G3(s) C(s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20反馈回路的简化：反馈回路的简化：+)()(1)(sHs Gs
32、G前向通道传递函数：前向通道传递函数：G(s)反馈通道传递函数：反馈通道传递函数：H(s)正反馈正反馈负反馈负反馈闭环传递函数闭环传递函数开环传递函数开环传递函数闭环传递函数推导过程闭环传递函数推导过程自动控制理论自动控制理论2024/7/20 例例G4(s)(- -)G2(s)G6(s)(- -)C(s)R(s)G3(s)G5(s)G1(s)G2(s)+G3(s)G4(s)(- -)G6(s)(- -)C(s)R(s)G5(s)G1(s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20G4(s)(- -)(- -)C(s)R(s)(G2(s)+G3(s)G6(s)G5(s)G1(s)(- -)C(
33、s)R(s)(G2(s)+G3(s)G6(s)G5(s)-G(s)G1(s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20信号相加点和分支点的移动和互换信号相加点和分支点的移动和互换信号相加点的移动：信号相加点的移动：把相加点从环节的输入端移到输出端（相加点的后移）把相加点从环节的输入端移到输出端（相加点的后移）自动控制理论自动控制理论2024/7/20 把相加点从环节的输出端移到输入端（相加点的前移）：把相加点从环节的输出端移到输入端（相加点的前移）：自动控制理论自动控制理论2024/7/20 相临的信号相加点位置可以互换，或者是进行合并；相临的信号相加点位置可以互换，或者是进行合并；自动控制理
34、论自动控制理论2024/7/20信号分支点的移动：信号分支点的移动： 分支点从环节的输入端移到输出端分支点从环节的输入端移到输出端( (分支点的后移分支点的后移) )自动控制理论自动控制理论2024/7/20 分支点从环节的输出端移到输入端分支点从环节的输出端移到输入端( (分支点的前移分支点的前移) )：自动控制理论自动控制理论2024/7/20 相加点和分支点在一般情况下，不进行互换。相加点和分支点在一般情况下，不进行互换。同一信号的分支点位置可以互换同一信号的分支点位置可以互换自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2-13 结构图化简结构图化简H1H2G1G2G3G4(- -)(
35、- -)RY结构图化简详解结构图化简详解自动控制理论自动控制理论2024/7/20(1)(1)结构图化简方案结构图化简方案（分支点（分支点前移）前移） RH H2 2+ +G G3 3H H1 1G1G2G3H2G4(- -)Y(a)G4G3H2Y R(b)G4Y R(c)H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY自动控制理论自动控制理论2024/7/20(2) (2) 结构图化简方案结构图化简方案:（分支点（分支点后移）后移）H1+H2/G3H2/G3G2G3G1G4(- -)RY(a)H2/G3G4RY(b)H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY自动控制理论自动控制理论20
36、24/7/20结构图化简方案结构图化简方案-相加点相加点前移并于前移并于合并，然后分支点合并，然后分支点后移后移）G1G2G3H1/G1G4RY(- -)(a)G4G1G2G3YR(- -)(b)H1H2G1G2G3G4(- -)(- -)RY自动控制理论自动控制理论2024/7/201. 等效为单位反馈系统等效为单位反馈系统（三）其它等价法则（三）其它等价法则R(s)(- -)C(s)G(s)H(s)G(s)H(s)(- -)C(s)R(s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20（三）其它等价法则（三）其它等价法则G(s)H(s)R(s)C(s)- -1E(s)C(s)R(s)G(s)-
37、H(s)E(s)2.负号可在支路上移动负号可在支路上移动 E(s)=R(s)-H(s)C(s)=R(s)+(-1)H(s)C(s)=R(s)+-H(s)C(s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20反馈回路的简化原则总结反馈回路的简化原则总结反馈回路进行简化，最重要做到等价等价等价：保持输入输出的关系不变，简言之，即保持传递函保持传递函数数不变进行等价变换时，请注意考察简化支路的传递函数简化支路的传递函数是否保持不变自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例双双RC网络的结构图简化。网络的结构图简化。U Ui i(s)(s)R R1 1(-)(-)(-)(-)(-)(-)U Uo o(
38、s)(s)(b)(b)(c)(c)U Ui i(s)(s)(-)(-)(-)(-)U Uo o(s)(s)R R1 1U Ui i( (s s) )(-)(-)(-)(-)(-)(-)I I1 1(s)(s)I IC C(s)(s)U(s)U(s) I I2 2(s)(s)U Uo o(s)(s)(a)(a)自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例双双RC网络的结构图简化。网络的结构图简化。 R R1 1C C2 2s sU Ui i(s)(s)Uo(s)Uo(s)(-)(-)( (e e) )动画演示动画演示(d)(d)U Ui i(s)(s)R R1 1C C2 2s s(-)(-)
39、U Uo o(s)(s)(-)(-)自动控制理论自动控制理论2024/7/20解：结构图等效变换如下： 例例 系统结构图如下，求传递函数系统结构图如下，求传递函数 。-+相加点移动-+自动控制理论自动控制理论2024/7/20-+自动控制理论自动控制理论2024/7/20三、典型的闭环控制系统的传递函数三、典型的闭环控制系统的传递函数-+闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：R(s)：输入信号C(s)：输出信号E(s)：系统偏差N(s)：系统扰动（不希望的输入量）R(s)-C(s): 系统误差由于传递函数只能处理单输入、单输出系统，因此，我们分别求R(s)对C(s)和N(s)
40、对C(s)的传递函数，然后叠加得出总的输出量C(s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20-（一）给定输入作用下的闭环系统（一）给定输入作用下的闭环系统令N(s)=0，则有u前向通道传递函数：u前向通道指从输入端到输出端沿信号传送方向的通道u开环传递函数：u前向通道和反馈通道的乘积，是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号B(s)之间的传递函数自动控制理论自动控制理论2024/7/20-（一）给定输入作用下的闭环系统（一）给定输入作用下的闭环系统u输出对参考输入的闭环传递函数：u系统输出：自动控制理论自动控制理论2024/7/20偏差对参考输入的闭环传递函数（将偏差看作输出）-自动控制理论自
41、动控制理论2024/7/20对于单位反馈系统H(s)=1，则有：开环传递函数=前向通道传递函数。系统的偏差E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-C(s)就是系统误差。自动控制理论自动控制理论2024/7/20此时输入R(s)=0,结构图如下：输出对扰动的传递函数为：输出为：-+（二）扰动作用下的闭环系统（二）扰动作用下的闭环系统自动控制理论自动控制理论2024/7/20一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为 0-C(s)= -C(s)，偏差E(s)=0-B(s)= -H(s)C(s)，偏差对扰动输入的传递函数为：（二）扰动作用下的闭环系统（二）扰动作用下的闭环系统：-+自动控制理论
42、自动控制理论2024/7/20根据线性迭加原理：输出：偏差：提示：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。(三）输入和扰动输入同时作用下的闭环系统的总输出三）输入和扰动输入同时作用下的闭环系统的总输出自动控制理论自动控制理论2024/7/20q信号流图的信号流图的基本性质基本性质基本性质基本性质： 1)1) 节点节点标志系统的变量，节点标志的变量是所有标志系统的变量，节点标志的变量是所有流向流向该节点信号该节点信号的代数和，用的代数和，用“”表示；表示； 2)2) 信号信号在支路上沿箭头单向传递；在支路上沿箭头单向传递； 3)3) 支路支路相当于乘法器，信号流经支路时，被
43、乘以相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益支路增益而变成而变成另一信号；另一信号； 4) 4) 对一个给定系统，信号流图不是唯一的对一个给定系统，信号流图不是唯一的。1+R1C1s x2x5x4x6-1x3x7I(s) R21/R1x12.5 2.5 信号流图及梅逊公式信号流图及梅逊公式 信号流图信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。是由节点和支路组成的一种信号传递网络。自动控制理论自动控制理论2024/7/20q信号流图中常用的信号流图中常用的名词术语名词术语： 源节点源节点（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没（输入节点）：在源节点上，只有信号输出支路而没有信号输入的
44、支路，它一般代表系统的输入变量。有信号输入的支路，它一般代表系统的输入变量。 阱节点阱节点（输出节点）：（输出节点）：在阱节点上，只有信号输入的支路而在阱节点上，只有信号输入的支路而没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。没有信号输出的支路，它一般代表系统的输出变量。 混合节点混合节点：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号：在混合节点上，既有信号输出的支路而又有信号输入的支路。输入的支路。a12a34a23a45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x6自动控制理论自动控制理论2024/7/20 前向通路前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只：信号从
45、输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积通过一次的通路，叫前向通路。前向通路上各支路增益之乘积称前向通路总增益，一般用称前向通路总增益，一般用PkPk表示。表示。 回路回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一节点不多于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增于一次的闭合通路称回路。回路上各支路增益之乘积称回路增益，一般用益，一般用LaLa表示。表示。 不接触回路不接触回路：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回：回路之间没有公共节点时，称它们为不接触回路。路。a12a34a23a
46、45a44a53a32a43a24a25x1x2x3x4x5x6自动控制理论自动控制理论2024/7/202.5.1 2.5.1 信号流图的绘制信号流图的绘制 1.由系统微分方程绘制信号流图由系统微分方程绘制信号流图1）将微分方程通过拉氏变换，得到）将微分方程通过拉氏变换，得到S的代数方程；的代数方程；2）每个变量指定一个节点；）每个变量指定一个节点；3）将方程按照变量的因果关系排列；）将方程按照变量的因果关系排列；4）连接各节点，并标明支路增益。）连接各节点，并标明支路增益。自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例2.5.1C1 ui R1 R2 uo i1i绘制详解绘制详解自动控制理
47、论自动控制理论2024/7/20信号传递流程：信号传递流程：自动控制理论自动控制理论2024/7/20结构图变换为信号流图：结构图变换为信号流图：信号流图的节点数等于结构图的信号流图的节点数等于结构图的“主干道主干道”上：分支上：分支点点+相加点相加点+2（2为一个输入一个输出）为一个输入一个输出）结结构构图图中中的的方方框框变变为为信信号号流流图图的的线线段段，方方框框中中的的传传递递函数变为支路增益。函数变为支路增益。信号流图中的线段数大于或等于结构图中的方框数信号流图中的线段数大于或等于结构图中的方框数信号流图的节点只表示变量的信号流图的节点只表示变量的相加相加。 2. 2. 由系统结构
48、图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图自动控制理论自动控制理论2024/7/20G(s) C(s) R(s)(节点节点)C(s)R(s) G(s)(节点节点) (支路支路)C(s)1R(s)E(s)G1(s) G2(s)-H(s) Y(s)D(s)V(s)11(b)信号流图信号流图2. 2. 由系统结构图绘制信号流图由系统结构图绘制信号流图G1(s)G2(s) H(s)R(s)E(s)D(s)V(s)C(s)(- -)(a)结构图结构图自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例 绘制结构图对应的信号流图绘制结构图对应的信号流图(1) 。U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s
49、) )U Uo o( (s s) )U U( (s s) )I I2 2( (s s) )I IC C( (s s) )-1-1-1-1-1-11/1/R R1 11/1/C C1 1s s1/1/C C2 2s s1/1/R R2 2动画演示动画演示U Ui i( (s s) )U Uo o( (s s) )I I2 2( (s s) )U U( (s s) )I IC C( (s s) )I I1 1( (s s) )(-)(-) (-) (-) (-) (-)自动控制理论自动控制理论2024/7/20结构图变换为信号流图步骤：结构图变换为信号流图步骤：“化简化简”结构图（将可合并的分支点
50、和相加点合并）结构图（将可合并的分支点和相加点合并）由结构图由结构图“主干道主干道”上分支点、相加点和输入输出的上分支点、相加点和输入输出的数量画出节点，并将其用线段连接起来数量画出节点，并将其用线段连接起来标出每个节点所代表的变量标出每个节点所代表的变量标出每个线段上的支路增益标出每个线段上的支路增益将结构图上的将结构图上的“反馈反馈”或或“顺馈顺馈”支路按照规律变换支路按照规律变换到信号流图中到信号流图中 总结总结自动控制理论自动控制理论2024/7/20例例 绘制结构图对应的信绘制结构图对应的信 号流图号流图 。自动控制理论自动控制理论2024/7/202.5.2 2.5.2 梅逊增益公
51、式梅逊增益公式 用用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得从输入节点到输出节点之间的总传输输出节点之间的总传输（即总传递函数）（即总传递函数）。其表达式为。其表达式为：式中：式中： 总传输（即总传递函数）；总传输（即总传递函数）； 从输入节点到输出节点的前向通道总数；从输入节点到输出节点的前向通道总数； 第第k k个前向通道的总传输；个前向通道的总传输； 流图特征式；流图特征式；自动控制理论自动控制理论2024/7/20余因子式余因子式，即在信号流图中，把与第，即在信号流图中，把与第K条前向条前向通路相接触的回路通路相接触的回路所在的项所在的项去掉
52、以后的去掉以后的值。值。所有单独回路增益之和；所有单独回路增益之和；在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两在所有互不接触的单独回路中，每次取其中两个回路增益乘积和；个回路增益乘积和；在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三在所有互不接触的单独回路中，每次取其中三个回路增益的乘积之和。个回路增益的乘积之和。 特征式特征式： 动画示例动画示例自动控制理论自动控制理论2024/7/20由梅逊公式求取传递函数的步骤：梅逊公式求取传递函数的步骤：找出回路数，并写出回路增益表达式判断回路接触情况，并根据下式求取找出前向通路，并写出前向通路增益判断前向通路与回路接触情况，并求出自动控制理论自动控制理论20
53、24/7/20 解：解：三个回路三个回路：RG1G2G3H2-H2-H1CG4例例 已知系统信号流图，求传递函数。已知系统信号流图，求传递函数。回路相互均接触，则：回路相互均接触，则：自动控制理论自动控制理论2024/7/20前向通路有两条：前向通路有两条：，没有与之不接触的回路没有与之不接触的回路：，与所有回路不接触与所有回路不接触：自动控制理论自动控制理论2024/7/202.6 2.6 脉冲响应脉冲响应 脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉脉冲响应函数表示零初始条件时，线性系统对理想单位脉冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型。冲输入信号的响应。它也是线性系统的数学模型
54、。理想单位脉冲函数：理想单位脉冲函数：若输入信号为单位脉冲函数，若输入信号为单位脉冲函数，则有，则有，已知已知系统的脉冲响应就是系统传递函数系统的脉冲响应就是系统传递函数的拉氏反变换。的拉氏反变换。自动控制理论自动控制理论2024/7/20 例例 ：设系统的脉冲响应函数是：设系统的脉冲响应函数是 ，求，求G(s)G(s)。解解：利用脉冲响应函数，可以求出在任何输入利用脉冲响应函数，可以求出在任何输入x(t)x(t)下的输出下的输出y(t)y(t)。或式中，g(t)是脉冲响应函数，上述两式称为卷积。表示为： 回忆拉氏变换的卷积定理，有Ly(t)=Lx(t)*g(t)，所以：Y(s)=X(s)G(
55、s)自动控制理论自动控制理论2024/7/20则输出：单位阶跃响应函数： 单位阶跃响应函数：单位阶跃响应函数： 单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。单位阶跃响应函数也是线性控制系统的一种数学模型。它是在单位阶跃函数它是在单位阶跃函数1(t)的作用下的输出响应的作用下的输出响应h(t)。自动控制理论自动控制理论2024/7/20 脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系：脉冲响应函数和单位阶跃响应函数之间的关系：根据积分定理：当零初值时，有自动控制理论自动控制理论2024/7/20小小 结结 微分方程的建立 传递函数的求解 由微分方程拉氏变换所得 根据运算阻抗所得 由方块图所得 由信号流图及梅逊公式所得 脉冲响应函数与单位阶跃函数
