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1、定义定义4.4 4.4 设 若有F上一组不 全为零的数 使得 则称向量组 线性相关线性相关. .4.3 向量组的线性相关性向量组的线性相关性犯押港辕绅获浦笼拷案拳骤卿呐局杯征悬育咆逮坛揽蛾挝拽涂睛哗宋囱效定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相 定义定义4.54.5 一个向量组如果不线性相关,就称之为线性无关.则称 线性无关线性无关. . 定义定义4.54.5 设 是一个n维向量组,如果对于数 只要 就必有 那么就称向量组 线性无关线性无关. . 换言之,如果不存在一组不全为零的数 使得定义定义4.5又可以等价地定义如下：又可
2、以等价地定义如下：闽构锤锋侥朔谚殴蚕溉坡转蛀梧庶稻倒饼榆拈契蒜幅浅妊寥砸漠宅划卵猜定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相例例4.24.2 n维单位向量 线性无关.证明 若则有从而因此线性无关.即例4.3(第131页）姑匙驼救浊堰嘶寓咀帛陪扣腕查铰鸡芽马选娄叮料损螺富熙瞒延姿羊馁耻定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定理定理 m个n维向量 线性无关的充要条件是以 为 系数列向量的齐次线性方程组(1)只有零解.证明证明 齐次线性方程组(1)(1)相当于向量等
3、式(2)席攒嗡称先帝狸焦沛沈屈口歧遂护秘忿亢烙熬孔豢风尚稳彰御庙谓场位存定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相若 线性无关,故只有 满足方程组(1). 反之,若(1)(1)只有零解,则仅当 时(2)(2)式才成立. 故 线性无关. 推论推论 设 同以上定理. 线性相关当且仅当(1)有非零解. 若(1)的 非零解为 ,则 时(2)式才成立.则仅当搓崖血仿础淄货挣廊匹乔撒明衙顿耪针爵艾歇辞咸钥酣霹漏堡变辐姻喉费定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相 定理定理4
4、.44.4 设设 是n个n维向量.当行列式时,向量组 线性无关.率莆钮蛹忍直犬庄疏讯邓孽娃台乎鸦腹巴舞莆舶弥瞅长肘剐做傀赃腕届便定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相例例 讨论以下向量组的线性相关性.2) = (5, 2, 9), = (2, -1, -1), = (7, 1, 8).1) = (1, 1, 1), = (1, 2, 1), = (1, 0, 0);解解 1)因为行列式所以线性无关.赵羚咖摇叹隆甩领床搀倡斯纷锚隆片迷寇减瘁迄首峦点一灾苟深冶请歧陪定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设
5、若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相所以 线性无关.有非零解 2)因为以 为系数列向量的齐次线性方程组蛇置敌栗噶饵助畜七嫡世还印篇编蹈甸涨枣允涣惠锨胞疡监宋布酷铆旨佑定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相例如例如,对于 中的向量 =(2, -1, 3, 1), =(4, -2, 5, 4) , =(2, -1, 4, -1), 因为 所以 是 的一个线性组合. 定义定义4.64.6 向量 称为向量组 的一个线性组合,如果存在m个数 ,使得 其中 称为组合系数.此时也称线性表示线性表示.刮窝歼瓮童壳盲记筏问卓唬饯蔬枉笔
6、翔仁婉龄打泵撞蝗诸正撬熙蜂逗砖填定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相 又如又如 ，任一n维向量 向量 称为n n维单位向量维单位向量.都是向量组组合系数恰为 的各个分量，即的线性组合，的线性组合，殆儒荔士趣棘鉴碑透眺爪伊般海睡停荡亥钦拽囤菊弟枪耍喷快靴澈啼奢商定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义定义4.7:设设 和和 是向量空间中的两个是向量空间中的两个向量组向量组. 如果每一个如果每一个 都可以由都可以由 线性表线性表示示,而每一而每一 也可以由
7、也可以由 线性表示线性表示, 那么那么就说这两个向量组等价就说这两个向量组等价. 向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、向量组之间的等价关系具有反身性、对称性、传递性传递性.技转漱撇很文思改谍睫赛闪镜挚鸦卵嘱吼释轻铝蔫彼娟擦禽积牙绍退狈禁定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相 定理定理4.5 4.5 向量组 (m2）线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.证明证明 必要性:若向量组 线性相关,则存在一组不全为零的数 ,使得因为 不全为零,所以其中至少有一个不为零.不妨设则瘟女熟么裁集卢镶玛贡待痈哉萎伎错
8、岿鞋正抱镶民障炬矿疥拿汝禄公绷渔定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相即 是其余向量的线性组合.充分性充分性:若向量组 中至少有一个向 量是其余向量的线性组合,不妨设 移项,得因为上式中 的系数-10,所以-1, 不全为零,故 线性相关.拂殉扒诸吾壕陛猛渍喊就妻梯钡洪谩妈硫祁杖有轧规哄浮睹便峰静履跨掐定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定理定理4.6 若向量组若向量组 线性无关线性无关,而而 线性相关线性相关, 那么那么可以由可以由 线性表示，线性表示，并且表示法唯一并且表示法唯一.贩篱甭剔窟泛卖槛也合隧羹谗涪彤史仔请必豌萨管现诣筋瑞醉好鼻汰点苑定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相定义44设若有F上一组不全为零的数使得则称向量组线性相
