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1、 11.1.事件间的关系事件间的关系包含关系包含关系：事件：事件A发生必然导致发生必然导致B发生，记为发生，记为相等关系相等关系： ，记为，记为A=B。积事件积事件：事件：事件A与与B同时发生，记为同时发生，记为AB。和事件和事件：事件：事件A或或B至少有一个发生，记为至少有一个发生，记为 差事件差事件：事件：事件A发生而发生而B不发生，记为不发生，记为A- -B。互斥事件互斥事件：事件：事件A、B不能同时发生，即不能同时发生，即 ，又称，又称A、B为为互不相容事件互不相容事件。逆事件逆事件：“A不发生不发生”这一事件称为这一事件称为A的逆事件，记为的逆事件，记为 ，A与与 又称为又称为对立事
2、件对立事件。事件间的关系与事件的运算事件间的关系与事件的运算 2 32.2.事件的运算律事件的运算律交换律交换律：结合律结合律：分配律分配律：对偶律（对偶律（De Morgan德摩根律）德摩根律）：减法减法： 4 概率概率：做：做n次重复试验，事件次重复试验，事件A发生的次数记为发生的次数记为 ，当当n很大时，若频率很大时，若频率 稳定在常数稳定在常数P附近，则称附近，则称P为随机事件为随机事件A发生的概率，记作发生的概率，记作P(A)=P。概率的公理化定义概率的公理化定义：设：设E是随机试验，是随机试验，S是样本空间，是样本空间，对对E的每个随机事件的每个随机事件A，赋予一个实数，赋予一个实
3、数P(A)，若它，若它满足：满足：非负性非负性：规范性规范性： ，S为样本空间（必然事件）为样本空间（必然事件）可列可加性可列可加性：若事件：若事件 中中 则则则称则称P(A)为事件为事件A的发生的发生概率概率。 5概率的性质概率的性质1.1.有限可加性：有限个两两互斥的事件有限可加性：有限个两两互斥的事件 则则2.2. 是是A的对立事件，则的对立事件，则3.3. 则则4.4.一一 ，当，当A，B互斥即互斥即 时时5.5. 6.6. 推广：推广： 6预备知识：排列、组合预备知识：排列、组合1.1.分类计数原理分类计数原理( (加法原理加法原理) )：设完成一件事有设完成一件事有k类方类方法，每
4、类分别有法，每类分别有 种方法，则完成这件事种方法，则完成这件事情共有情共有 种方法种方法. .2.2.分步计数原理分步计数原理( (乘法原理乘法原理) )：设完成一件事有设完成一件事有k个步个步骤，第一步有骤，第一步有 种方法，种方法，, ,第第k步有步有 种方法，则种方法，则完成这件事情共有完成这件事情共有 种方法种方法. .3.3.排列：排列：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素，按一定次个元素，按一定次序排成一列序排成一列. . 排列数：排列数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有排个元素的所有排列的个数记为列的个数记为注：注：等可能概型（古典概型）等可能概型
5、（古典概型） 74.4.组合：组合：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素并成一组个元素并成一组( (与与顺序无关顺序无关).). 组合数：从组合数：从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的所有组个元素的所有组合的个数，记为合的个数，记为 8等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）1.1.定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型试验的样本空间的元素只有试验的样本空间的元素只有有限个有限个试验中每个基本事件发生的试验中每个基本事件发生的可能性相同可能性相同2.2.等可能概型中事件概率的计算公式：等可能概型中事件概率的计算公式： n为随
6、机试验的总的结果数，即样本点的总数，为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件为事件A包包含的结果数。含的结果数。 91.1.定义定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率条件概率，记为P(B|A)。例 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A=至少有一次为正面H，B=两次掷出同一面，求P(B|A)解：样本空间S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT。则可得： P(B|A)1/3条件概率的计算公式条件概率的计算公式：条件概率条件概率 10乘法定理乘法定理：设设P(A)0，则有，则有P(AB)=P(B|A)P(A)推广：推广：P(AB)0，则有
7、，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A)设设 为为n个事件个事件 ，且，且 11全概率公式全概率公式划分划分：设：设S为试验为试验E的样本空间，的样本空间， 为为E的一的一组事件，若组事件，若 则称则称 为样本空间为样本空间S的一个划分的一个划分. .例例 E：掷骰子观察点数：掷骰子观察点数 是是S的一个划分的一个划分 不是不是S的一个划分的一个划分 12全概率公式全概率公式定理定理：设随机试验：设随机试验E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事件的事件. . 为为S的一个划分，且的一个划分，且 则则 ，称之为，称之为全概率公式全概率公式。注：注
8、：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因因 的作用下事件的作用下事件A发生概率的方法发生概率的方法. . （由因得果由因得果） 13贝叶斯公式（贝叶斯公式（由果溯因由果溯因）设设E的样本空间为的样本空间为S，A为为E的事件的事件. 为为S的一个划分，且的一个划分，且 ，则则 为为贝叶斯（贝叶斯（Bayes）公式）公式.称称 为为先验概率先验概率；称称 为为后验概率后验概率. 14条件概率 条件概率小结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 15独立性独立性独立事件独立事件：两事件：两事件A、B，A发生对发生对B发生没有影响，发生没有影响，
9、B发生也对发生也对A没有影响，则称两事件相互独立没有影响，则称两事件相互独立. .即即P( (A| |B)=)=P( (A) )且且P( (B| |A)=)=P( (B) )，则，则P( (AB)=)=P( (A) )P( (B| |A)=)=P( (A) )P( (B) )例例 抛甲，乙两枚硬币，抛甲，乙两枚硬币，A=甲出现正面甲出现正面H ，B=乙出乙出现正面现正面H ，问，问A，B同时发生的概率同时发生的概率. .定理定理 四对事件四对事件 中有一对相互独中有一对相互独立，则另外三对也相互独立立，则另外三对也相互独立. .独立与互斥的区别独立与互斥的区别： A，B相互独立：相互独立：P(
10、 (AB)=)=P( (A) )P( (B) )； A，B互斥：互斥：P( (AB)=0)=0。 16多个事件的独立多个事件的独立 17定义定义 随机试验的结果可以用一个实值变量表示，随机试验的结果可以用一个实值变量表示，这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规律性，这种变量称为随机变量，通常用律性，这种变量称为随机变量，通常用X，Y，Z表表示。示。中心问题中心问题：将试验结果数量化：将试验结果数量化随机变量分为离散型和连续型：随机变量分为离散型和连续型：1.1.离散型离散型：X的取值是有限个或可列无限个。的取值是有限个或可列无限个。2.2.连续
11、型连续型：X的取值是连续的。的取值是连续的。esxX=f(e)为S上的单值函数，X为实数 18分布律分布律 称为离散型随机变量称为离散型随机变量X的的分布律分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来，分布律可用列表的方式直观的表示出来X1、写出可能取值即写出了样本点2、写出相应的概率即写出了每一个样本点出现的概率分布律（概率分布）分布律（概率分布） 19 0 1 0 1X X1.1.两点分布，又称为两点分布，又称为(0-1)(0-1)分布分布(0-1)(0-1)分布的分布律为分布的分布律为也可以写为也可以写为对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即 ，则
12、一定能在，则一定能在S上定义一个服从上定义一个服从(0-1)(0-1)分布分布的随机变量，令的随机变量，令例例 抛硬币一次，定义随机变量抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，为出现正面的次数，则则 0 1 0 1X X1-p p三种重要的离散型随机变量三种重要的离散型随机变量 202.2.二项分布二项分布随机试验随机试验E只有两个可能结果：只有两个可能结果：A和和 ，则称，则称E为为伯伯努利试验努利试验。设。设P( (A)=)=p( (0p0，有切比雪夫不等式的等价形式注注： 1. 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在E(X)附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要作用
13、是进行概率论的理论研究。 471.1.1.1.样本的定义（独立同分布）样本的定义（独立同分布）样本的定义（独立同分布）样本的定义（独立同分布）2.2.2.2.统计量的定义和判别统计量的定义和判别统计量的定义和判别统计量的定义和判别3.3.3.3.统计学三大分布的定义和图形轮廓统计学三大分布的定义和图形轮廓统计学三大分布的定义和图形轮廓统计学三大分布的定义和图形轮廓4.4.4.4.三大分布的分位点定义三大分布的分位点定义三大分布的分位点定义三大分布的分位点定义第六章第六章 样本及抽样分布样本及抽样分布 48样本样本总体：总体：试验中全部可能的观察值（试验中全部可能的观察值（研究对象的全体，研究对
14、象的全体，如一批灯泡），如一批灯泡），一个总体对应于一个随机变量一个总体对应于一个随机变量X。个体：个体：每个可能观察值称为个体（每个可能观察值称为个体（组成总体的每个元组成总体的每个元素，如某个灯泡）素，如某个灯泡）抽样：抽样：从总体从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。取值过程。随机样本：随机样本：随机抽取的随机抽取的n个个体的集合个个体的集合(X1,X2,Xn), n为样本容量。为样本容量。简单随机样本：简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,Xn)1. 每个每个Xi与与X同分布同分布2. X1,X2,X
15、n是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量说明说明：后面提到的样本均指简单随机样本。后面提到的样本均指简单随机样本。 49统计量：统计量：设设 是总体是总体X的样本，则函数的样本，则函数 如果不包含任何未知参数则称为样本如果不包含任何未知参数则称为样本 的一个统计量。的一个统计量。统计量统计量简言之，样本的不含任何未知参数的函数。简言之，样本的不含任何未知参数的函数。 50常用的统计量常用的统计量1.1.样本平均值：样本平均值：2.2.样本方差：样本方差：3.3.样本均方差：样本均方差：4.4.样本样本k阶阶( (原点原点) )矩：矩：5.5.样本样本k阶中心矩：阶中心矩： 51统计学三大分布
16、统计学三大分布 52 53 54 55例如：例如： 56 571.1.1.1.矩估计法（三步法）矩估计法（三步法）矩估计法（三步法）矩估计法（三步法）2.2.2.2.最大似然估计法（三步法）最大似然估计法（三步法）最大似然估计法（三步法）最大似然估计法（三步法）3.3.3.3.估计量三大评选标准的定义及证明估计量三大评选标准的定义及证明估计量三大评选标准的定义及证明估计量三大评选标准的定义及证明 （无偏性、有效性、相合性）（无偏性、有效性、相合性）（无偏性、有效性、相合性）（无偏性、有效性、相合性）4.4.4.4.单个正态总体均值和方差的区间估计单个正态总体均值和方差的区间估计单个正态总体均值
17、和方差的区间估计单个正态总体均值和方差的区间估计第七章第七章 参数估计参数估计 58矩估计法矩估计法 59最大似然估计的求法最大似然估计的求法写出似然函数写出似然函数求求 ，使得，使得 为为 的最大值，求法如下：的最大值，求法如下： 求使得方程求使得方程 又又 在同一在同一 处取得极值，因此，处取得极值，因此， 的最的最大似然估计值可从方程大似然估计值可从方程 中求得中求得 称称 为似然方程为似然方程1.1.单参数单参数 602.2.双参数双参数似然函数似然函数似然方程似然方程最大似然估计法最大似然估计法 61估计量的评选标准估计量的评选标准 对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，对总
18、体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？如何评价好坏？ 通常用三条标准检验：通常用三条标准检验：无偏性无偏性，有效性有效性，相合性相合性 无偏性无偏性 62 有效性有效性 63相合性相合性 64正态总体均值与方差的区间估计正态总体均值与方差的区间估计 65 66 67Thank You! 681.1.1.1.假设检验的定义假设检验的定义假设检验的定义假设检验的定义2.2.2.2.假设检验的三步法假设检验的三步法假设检验的三步法假设检验的三步法3.3.3.3.单单单单个个个个正正正正态态态态总总总总体体体体均均均均值值值值和和和和方方方方差差差差的的的的假假假假设设设设检检检检验
19、验验验统统统统计计计计 量和拒绝域量和拒绝域量和拒绝域量和拒绝域第八章第八章 假设检验假设检验 69问题：设X ，已知，未知。给定 ，问 ？假设 称为原假设(零假设)， 称为备择假设(对立假设)。通过某种方式确定常数k。若 ，则接受 ，若 ，则拒绝 (接受 )。犯两类错误的概率： 若 为真而被拒绝，我们称为犯第一类错误(又称犯“弃真”错误，其概率记为。一般， 0.1. 若 为假而被接受，我们称为犯第二类错误(又称犯“取伪”错误，其概率记为。 70记取检验统计量为我们称拒绝 的区域W为拒绝域，将接受 的区域称为接受域。 的拒绝域为W=Z ， 的接受域为 =Z 。即即 0 0 0 0 0Z检验法检
20、验法 ( 2 2 已知已知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域 0 0 0 0 0 t 检验法检验法 ( 2 2 未知未知) )原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其检验统计量及其H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域 2 02 2 02 2 02 2 02 2= 02 2 02原假设原假设 H0备择假设备择假设 H1检验统计量及其在检验统计量及其在H0为真时的分布为真时的分布拒绝域拒绝域( 未知未知) )关于关于 2 2的检验的检验（ 检验法检验法） 74基本初等函数导数公式表基本初等函数导数公式表1 1 75基本初等函数导数公式表基本初等函数导数公式表2 2 76基本求导公式基本求导公式 77 78函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则1.可以推广到有限个可以推广到有限个2.3.特别地特别地,C为常数为常数.
