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1、意大利比萨尔塔在1350年落成时就已倾斜，其塔顶离中心偏离垂直中心线2.1m，1972年比萨地区发生地震，这座高54.5m的斜塔在大幅度摇摆后仍巍然屹立，但塔顶中心点偏离垂直中心线增至5.2m，而且还以每年增加1cm的速度继续倾斜，随时都有倒塌的危险。为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使塔顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm。 如果要你根据上述信息，用“塔身中心线与垂直中心线所成的角（如图）“来描述比萨斜塔的倾斜程度，你能完成吗？ 从数学角度看，上述问题就是：已知直角三角形的某些边长，求其锐角的度数，对于直角三角形，我们知道三边之间的关系和两个
2、锐角之间的关系，但我们不知道”边角之间的关系“，因此，这一问题的解答需要学习新的知识。塔身中心线垂直中心线10m1m 5m10m（1）（2）梯子在上升变梯子在上升变陡陡的过程中，的过程中，倾倾斜角，斜角，铅直高度与梯子的铅直高度与梯子的比比,水平宽度与梯子的水平宽度与梯子的比比,铅直高铅直高度与水平宽度的度与水平宽度的比比,都发生了都发生了什么变化？什么变化？ 水平宽度水平宽度铅铅直直高高度度倾斜角倾斜角铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡的过程中，的过程中，倾倾斜角，斜角，铅直高度与梯子的铅直高度与梯子的比比,水平宽度与梯子的水平宽度与梯子的比比,铅直高铅直高度与水平
3、宽度的度与水平宽度的比比,都发生了都发生了什么变化？什么变化？ 铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡的过程中，的过程中，倾倾斜角，斜角，铅直高度与梯子的铅直高度与梯子的比比,水平宽度与梯子的水平宽度与梯子的比比,铅直高铅直高度与水平宽度的度与水平宽度的比比,都发生了都发生了什么变化？什么变化？ 铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡的过程中，的过程中，倾倾斜角，斜角，铅直高度与梯子的铅直高度与梯子的比比,水平宽度与梯子的水平宽度与梯子的比比,铅直高铅直高度与水平宽度的度与水平宽度的比比,都发生了都发生了什么变化？什么变化？ 铅铅直直高高度度水平宽度
4、水平宽度梯子在上升变梯子在上升变陡陡的过程中，的过程中，倾倾斜角，斜角，铅直高度与梯子的铅直高度与梯子的比比,水平宽度与梯子的水平宽度与梯子的比比,铅直高铅直高度与水平宽度的度与水平宽度的比比,都发生了都发生了什么变化？什么变化？ 梯子梯子越陡越陡倾斜角倾斜角倾斜角倾斜角越大越大铅直高度与梯子的比铅直高度与梯子的比倾斜角倾斜角越大越大水平宽度与梯子的比水平宽度与梯子的比倾斜角倾斜角越大越大铅直高度与水平宽度铅直高度与水平宽度的的比比铅铅直直高高度度水平宽度水平宽度越大越大越大越大越小越小越大越大 AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三和直角三角角 形形ABC
5、有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系? (3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三和直角三角角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三和直角三角角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和
6、, 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三和直角三角角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? AB1 C1 CB想一想想一想(1)直角三角形直角三角形AB1C1和直角三和直角三角角 形形ABC有什么关系有什么关系?(2) 和和 , 和和 , 和和 有什么关系有什么关系?(3)如果梯子的
7、倾斜角不变，如果梯子的倾斜角不变，只改变只改变B在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? 结论：由相似三角形的性质得，只要结论：由相似三角形的性质得，只要 A不变，那不变，那么都有：么都有：=ABB1CC1 即在直角三角形中，当锐角即在直角三角形中，当锐角A取一定度数时，不管三角形的大取一定度数时，不管三角形的大小如何，小如何， A的对边与斜边的比是的对边与斜边的比是一个固定值，叫做一个固定值，叫做 A的正弦，记的正弦，记作作sinA；邻边与斜边的比是一个；邻边与斜边的比是一个固定值，叫做固定值，叫做 A的余弦，记作的余弦，记作cosA；对边与邻边的比是一个固；对边与邻边的比是一个固定值，叫做定值，
8、叫做 A的正切，记作的正切，记作tanA。 AB CA A的的对边对边A A的的邻边邻边A A的的对边对边A A的的邻边邻边tanAcosAA A的邻边的邻边A A的对边的对边斜边斜边sinA斜边斜边斜边斜边1。锐角锐角A A的正弦、余弦、和正切叫做的正弦、余弦、和正切叫做A A的的锐角锐角三角函数三角函数2。锐角的锐角的三角函数三角函数的值都是正实数，并且的值都是正实数，并且 0sin 1 1，0cos1 ，定定义义注意：注意：三角三角函数的函数的定义，定义，必须在必须在直角三角形直角三角形中中. . AB C例例1 如图如图,在在RtABC中中,C=90C=90AB=5,BC=3, 求求A
9、, B的正弦的正弦,余弦和正切余弦和正切. 观察以上计算结果观察以上计算结果,你发现了什么你发现了什么?若若AC=5,BC=3呢呢?解：在解：在RtABC中中,因此因此例例2 2 如图如图: :在在RtABCRtABC中中,B=90,B=900 0,AC=200,sinA=0.6.,AC=200,sinA=0.6.求求:BC:BC的长的长. .200ACB解：解：1.1.如图如图: :在在等腰等腰ABCABC中中,AB=AC=5,BC=6.,AB=AC=5,BC=6.求求: : sinB,cosB,tanBsinB,cosB,tanB. .解：过点解：过点A作作AD垂直于垂直于BC于于D.55
10、6ABCDAB=AC=5 BD=1/2BC=3在在Rt ABD中中2.2.在在RtABCRtABC中中,C=90,C=900 0,BC=20,BC=20,求求:ABC的周长的周长.ABC解：解：因此，因此，ABC的周长的周长=25+20+15=60w3.如图,在RtABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,sinA的值（ ）wA.扩大100倍 B.缩小100倍 wC.不变 D.不能确定w4.已知A,B为锐角w(1)若A=B,则sinA sinB;w(2)若sinA=sinB,则A B.ABCC=5.5.如图, C=90C=90CDABCDAB. .6.在上图中,若BD=6,CD=12.求c
11、osA的值.ACBD( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )w7.7.如图,分别根据图(1)和图(2)求A的三个三角函数值. .w8.在在RtABCRtABC中中, ,C=90C=90, , (1)AC=(1)AC=3 3,AB=,AB=6 6, ,求求sinAsinA和和cosBcosB(2)BC=3,sinA= ,(2)BC=3,sinA= ,求求ACAC和和ABAB.w老师提示:w求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.ACB34ACB34(1)(2)谈谈今天的收获谈谈今天的收获 AB CA A的的对边对边A A的的邻边邻边A A的的对边对边A A的的邻边邻边tanAcosAA
12、A的邻边的邻边A A的对边的对边斜边斜边sinA斜边斜边斜边斜边定定义义回味无穷定义定义中应该注意的几个问题中应该注意的几个问题: :w1.sinA,cosA,tanA, 1.sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的是在直角三角形中定义的, , AA是锐角是锐角( (注意数形结合注意数形结合, ,构造直角三角形构造直角三角形).).w2.sinA,cosA,tanA, 2.sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号是一个完整的符号, ,表示表示A Aw的正切的正切, ,习惯省去习惯省去“”号；号；w3.3.sinA,cosA,sinA,cosA,tanAtanA, , 是一个比值是一个比值. .注意比的顺序注意比的顺序, ,w且且sinA,cosA,sinA,cosA,tanAtanA, , 均均0,0,无单位无单位. .w4.4.sinA,cosA,sinA,cosA,tanAtanA, , 的大小只与的大小只与A A的大小有关的大小有关, ,w而与直角三角形的边长无关而与直角三角形的边长无关. .w5.5.角相等角相等, ,则其三角函数值相等；两锐角的三角函则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等数值相等, ,则这两个锐角相等则这两个锐角相等. .
