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1、第四节第四节 函数的极值和函数的极值和最大、最小值最大、最小值 一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法 二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题 1青苗辅导一、函数的极值一、函数的极值定义定义 设函数设函数f(x)在在x0的某邻域内有定义的某邻域内有定义, 如如果对于该邻域内任何异于果对于该邻域内任何异于x0的的x都有都有极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. 极大值极大值点、极小值点统称为极值点点、极小值点统称为极值点.(1) 成立成立, 则称则称 为为 f(x)的的极大值极大值, 称称 为为f(x)的极大值点；的极大值点；(2) 成立成立, 则称则称 为为f(x)的的极小
2、值极小值, 称称 为为f(x)的极小值点；的极小值点；1. 极值的定义极值的定义2青苗辅导注意注意:为极大点为极大点为极小点为极小点不是极值点不是极值点2) 对常见函数对常见函数, 极值可能出现在极值可能出现在导数为导数为 0 或不存在的点上或不存在的点上.1) 函数的极值是函数的函数的极值是函数的局部性质局部性质.3青苗辅导2. 极值存在的必要条件极值存在的必要条件定理定理1 设函数设函数f(x)在点在点x0处可导处可导, 且在且在x0处取处取得极值得极值, 那么那么f (x0) 0. 证明证明: 以以f(x0)是极大值来证明是极大值来证明.因为因为f(x0)是极大值是极大值, 故在故在x0
3、的某邻域内的某邻域内,对任意的对任意的 都有都有所以所以,当当 时时,所以所以当当 时时,所以所以4青苗辅导 使导数使导数f (x)为零的点为零的点(方程方程f (x) 0的的实根实根)称为函数称为函数f(x)的的驻点驻点. 思考思考: 极值点是否一定是驻点极值点是否一定是驻点? 驻点是驻点是否一定是极值点否一定是极值点?5青苗辅导3. 极值的判别法极值的判别法定理定理2 (第一充分条件第一充分条件) 设函数设函数y=f(x)在点在点x0连续连续, 且在且在x0的某邻域内可导的某邻域内可导(点点x0可除外可除外). 如果在该邻域内如果在该邻域内 如果如果f(x)在在x0的两侧保持相同符号的两侧
4、保持相同符号, 则则x0不是不是f(x)的极值点的极值点.6青苗辅导因此可知因此可知x0为为f(x)的极大值点的极大值点.同理可说明情形同理可说明情形(2).说明说明: 对于情形对于情形(1)，由判别定理可知，由判别定理可知,当当 时时, f(x)单调增加单调增加,当当 时时, f(x)单调减少单调减少,7青苗辅导的符号的符号, 依定理判定依定理判定xi 是否为是否为f(x)的的判定函数极值一般步骤判定函数极值一般步骤(3) 判定每个驻点和导数不存在的点判定每个驻点和导数不存在的点两侧两侧(在在xi 较小的邻域内较小的邻域内)极值点极值点.8青苗辅导可知可知x=0为为y的极小值点的极小值点,
5、极小值为极小值为0.例例1.所给的函数定义域为所给的函数定义域为解解:非极值非极值极小极小0+0+0y1(0, 1)0x9青苗辅导例例2. (1) f(x)在在( )内连续内连续 除除x1外处外处解解: (3) 列表判断列表判断x1为不可导点为不可导点 得驻点得驻点x 1 (2) 令令f (x) 0 可导可导 且且( 1) 1( 1 1)1(1 ) 不可导不可导 0 x f (x) f(x) 0 10青苗辅导定理定理3 (第二充分条件第二充分条件) 设函数设函数f(x)在点在点x0处处具有二阶导数具有二阶导数, 且且则则证证: (1)存在存在x0的某邻域的某邻域, 使使由判别法由判别法1知知同
6、理证同理证(2).11青苗辅导说明说明: 当二阶导数易求当二阶导数易求, 且驻点且驻点x0处处的二阶导数的二阶导数 时时, 利用判定极值利用判定极值的第二充分条件判定驻点的第二充分条件判定驻点 是否为极值是否为极值点比较方便点比较方便.但当但当 f (x0) 0时时 只能用方法只能用方法1判断判断.12青苗辅导例例3. 求函数求函数f(x) (x2 1)3 1的极值的极值 解解: f (x) 6x(x2 1)2 令令f (x) 0 求得驻点求得驻点x11 x2 0 x3 1 f (x) 6(x2 1)(5x2 1) 因为因为f (0) 6 0 所以所以f (x)在在x 0处取得极处取得极 小值
7、小值 极小值为极小值为f(0) 0 无法用定理无法用定理3-8判别判别 在在 1的左右邻域内的左右邻域内f (x) 0 所以所以f(x)在在 1处没有极值处没有极值 同理同理, f(x)在在1处也没极值处也没极值 因为因为f ( 1) f (1) 0 13青苗辅导二、最大值最小值问题二、最大值最小值问题 怎样求函数的最大值和最小值怎样求函数的最大值和最小值? x1x2x3x4x5Mm观察与思考：观察与思考： 观察下面的函数在哪些点有可能成为最观察下面的函数在哪些点有可能成为最大值或最小值点大值或最小值点?14青苗辅导 其其最最小小值值一一定定是是函函数数的的所所有有极极小小值值和和函函数数在在
8、区区间间端端点点的的函函数数值值中的最小者中的最小者 极值与最值的关系极值与最值的关系:x1x2x3x4x5Mm 闭区间上的连续函数其最大值和最小值闭区间上的连续函数其最大值和最小值只可能在区间端点及区间内的极值点处取得只可能在区间端点及区间内的极值点处取得. 函数在闭区间函数在闭区间a b上的最大值一定是上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中的最大者值中的最大者;15青苗辅导最大值和最小值的求法最大值和最小值的求法: (1)求出函数求出函数f(x)在在(a b)内的驻点和不可内的驻点和不可导点导点 设这些点设这些点为为x1 x2 xn
9、; (2)计算函数值计算函数值 f(a) f(x1) f(xn) f(b) ;x1x2x3x4x5Mm (3)判断判断: 最大者最大者是函数是函数f(x)在在a b上的最大值上的最大值 最最小者是函数小者是函数f(x)在在a b上的最小上的最小值值 16青苗辅导例例4. 求求在在上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解解:令令得驻点得驻点因为因为所以所以17青苗辅导 例例5. 工厂工厂C与铁路线的垂直距离与铁路线的垂直距离AC为为20km A点到火车站点到火车站B的距离为的距离为100km 欲修一条从工欲修一条从工厂到铁路的公路厂到铁路的公路CD 已知铁路与公路每公里运已知铁路与公路每公里运费
10、之比为费之比为3:5 为使火车站为使火车站B与工厂与工厂C间的运费最间的运费最省省 问问D点应选在何处？点应选在何处？DC20kmAB100km解解: x 设设AD x(km) y 5k CD 3k DB (k是某个正数是某个正数) B与与C间的运费为间的运费为y 则则 DB=100 x 即)100(340052xkxky-+=(0x100). 18青苗辅导其中以其中以y|x 15 380k为最小为最小 因此当因此当AD 15km时时 运费最省运费最省 由于由于y|x 0 400k y|x 15 380k 19青苗辅导解解: 设观察者与墙的距离为设观察者与墙的距离为x(m),则则令令得驻点得驻
11、点根据问题的实际意义根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在观察者最佳站位存在, 驻点驻点又唯一又唯一, 因此他站在距墙因此他站在距墙 2.4 m 处看图最清楚处看图最清楚 .例例6. 一张一张 1.4 m 高的图片挂在墙上高的图片挂在墙上, 它的底边高它的底边高于观察者的眼睛于观察者的眼睛1.8 m, 问观察者在距墙多远处看问观察者在距墙多远处看图才最清楚图才最清楚(视角视角 最大最大) ? 20青苗辅导特殊情况下的最大值与最小值特殊情况下的最大值与最小值: 若若 f(x)在一区间在一区间(有限或无限有限或无限 开或闭开或闭)内可导且内可导且有且只有一个驻点有且只有一个驻点x0 则：则： 当当f(x0)是是极大极大值时值时 f(x0)就是就是f(x)在该区间上的在该区间上的最大最大值值 说明当当f(x0)是是极小极小值时值时 f(x0)就是就是f(x)在该区在该区 区间上的区间上的最小最小值值 21青苗辅导练习题练习题所以所以: f(x)在在0,3上的最大值为上的最大值为f(2)=1.1. 所给函数为所给函数为0, 3上的连续函数上的连续函数.解解:最小值为最小值为22青苗辅导2.所给的函数定义域为所给的函数定义域为解解:23青苗辅导
