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1、第五章一元函数积分学1基本要求1理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。2掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法凑微分法。3掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可别离变量的微分方程，牢记非齐次线性微分方程的通解公式。4理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。5会用微积分基本公式求解定积分。6掌握定积分的凑微分法和分部积分法。7知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。8掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。2本章重点难点分析（1）本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿莱布尼茨公式；定积分的应用。（2）本章难
2、点：求不定积分，定积分的应用。重点难点分析： 一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算， 熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。3本章典型例题分析例 1：求不定积分sin 3xdx解：被积函数sin3x是一个复合函数，它是由( )sinf uu和( )3uxx复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin 3x变形为1sin 3sin 3 (3 )3xxx，故有111sin 3sin 3 (3 )sin 3(3 )3( cos )333xd
3、xxx dxxdxxuuC13cos33uxxC例 2：求不定积分22(0)ax dx a解：为了消去根式，利用三解恒等式22sincos1tt，可令sin ()22xatt，则22222sincosaxaatat，cosdxadt，因此，由第二换元积分法，所以积分化为222221cos2coscoscos2tax dxatatdtatdtadt2222cos2(2 )sin 22424aaaadttdtttC2(sin cos )2atttC由于sin ()22xatt，所以sinxta，arcsin(/)tx a，利用直角三角形直接写精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
4、纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页出22cosaxta邻边斜边，于是222221arcsin(/)22aax dxx axaxC例 3：求不定积分sinxxdx分析：如果被积函数( )sinf xxx中没有 x 或 sinx，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x，那么利用分部积分公式就可以消去x因为1u解令,sinux dvxdx，则dudx，cosvx. 于是sin(cos )(cos )cossinxxdxudvuvvduxxx dxxxxC。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v，而可以像下面那样先凑微分，然后直
5、接用分部积分公式计算：sincos( coscos)cossinxxdxxdxxxxdxxxxC例 4：求微分方程21dyydx的通解。解：原方程为可别离变量的方程，移项别离变量得12dydxy，两端积分得：12dydxy，得11ln 212yxC从而122111ln 21222CxeyxC ye。因为122Ce仍然是常数，把它记做C，故原方程的通解为212xyCe其中 C 为任意常数例 5：求微分方程22dyyxdxx的通解解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为()()( )p x dxp x dxyeQ x edxC在此题中22( ),( )P xQ xxx，由通解公式知22( )()
6、2( )()dxdxp x dxp x dxxxyeQ x edxCex edxC= 52ln22ln42211()()()5xxxex edxCx dxCCxx即原方程的通解为：225Cxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页例 6：求定积分120x dx分 析 ： 设 函 数( )f x在 区 间 , a b上 连 续 ，( )F x是 在 , a b上 的 一 个 原 函 数 ， 则)()()(aFbFdxxfba，这就是牛顿 -莱布尼茨公式。解：根据牛顿 -莱布尼茨公式，因为33x是2x的一个原函数，所以原式
7、有333120110103333xx dx例 7：求定积分83011dxx分析：在应用定积分换元时应注意两点：（1）换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用( )xt把原来的变量换成了新变量 t，积分限也必须也必须换成新变量t 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。（2）求出换元后的原函数( ) t后，不必像计算不定积分那样将它复原成x 的函数，只需将新变量的上、下限带入相减即可。解 为了去掉被积函数中的根式，令3xt，即3xt，于是23dxt dt，并且当x=0 时，t=0；当 x=8 时， t=2，因此由换元公式有22822300013(1) 13111ttdx
8、dtdtttx=222000113(1)3(1)(1)11tdttdtd ttt=2223()ln(1)3ln 3002ttt例 8：计算定积分10xxe dx分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分的分部积分法完全一样解令ux，xdve dx，则,xdudx ve故由分部积分公式得11110001()()()0xxxxxe dxxeedxee dx11210xeee精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页
9、例求反常积分0xxe dx分析：设( )f x在 ,)a或(, b或(,)上连续，定义反常积分( )lim( )baabf x dxf x dx( )lim( )bbaaf x dxf x dx00( )( )( )f x dxf x dxf x dx假设上述极限存在，则称相应的反常积分收敛，否则称其发散解因为0000()()()0bbbbxxxxbxbxe dxxd exee dxbeedx1()10bxbbbbeee，所以001limlim (1)bxxbbbbxedxxe dxe11lim1bbbe这里极限1limbbbe是型未定式，由洛必达法则易知其极限为例计算由抛物线2yx与2yx，
10、0,1xx所围阴影图形的面积分析：设函数( ),( )f xg x在区间 , a b上连续，并且( )( )( , )f xg xxa b，则由曲线( )yf x与( )yg x以及,xa xb所围成的图形面积为( )( )baAf xg x dx解联立两抛物线方程22yxxy，得交点(0,0),(1,1)OB，并且由图形可知当0,1x时均有2( )( )f xxxg x，则所求图形面积为3123201211()0333Axx dxxx第六章多元函数微积分1基本要求1了解多元函数的概念，了解二元函数的几何意义，知道求二元函数的定义域。2了解多元函数偏导数与全微分的概念，会求多元复合函数一阶偏导
11、数和全微分。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页3了解二重积分的概念与基本性质，掌握二重积分的计算方法。2本章重点难点分析（3）本章重点：二元函数的定义域、多元复合函数一阶偏导数和全微分以及二重积分的计算方法。（4）本章难点：一阶偏导数、全微分以及二重积分的计算。3本章典型例题分析例 1. 求函数(xy)cossin(xy)z2的一阶偏导数 . 解: 把 y 看成常数 , 对 x 求导 . )2sin()cos()sin()cos(2)cos(xyxyyyxyxyxyyxz例 2. 设,yxxyz求dz解：根据全微分公
12、式，先求两个偏导数yyxz1；2yxxyz。所以.)()1(2dyyxxdxyydyyzdxxzdz例 3.计算二重积分Dxyd，其中D是由直线2, 1 xy及xy所围成的闭区域解区域D如下图，可以将它看成一个x-型区域，即1 , 21|,xyxyxD所以xDxydydxxyd121213211289212121dxxxdxyxxyy例 4. 计算二重积分Dxyd，其中D是有抛物线xy2及2xy所围成的有界闭区域解：如图，区域D可以看成是y型区域，它表示为2,21|,2yxyyyxD，所以84522121221222dyxyxydxdyxydyyyyD精选学习资料 - - - - - - -
13、- - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页一、选择题1、)d(exx AcxxeBcxxxeeCcxxeDcxxxee2、假设)(xf是)(xg的原函数，则. ACxgdxxf)()(BCxfdxxg)()(CCxfdxxg)()(DCxgdxxf)()(3、假设cexdxxfx22)(，则)(xf. Axxe22Bxex222Cxxe2 D)1(22xxex4、xdx2sin. Acx2cos21Bcx2sin Ccx2cosDcx2cos215、)(arctan02xdttdxd 。A2arctant211tB2)(arctanx C2)(arctanxD2)(
14、arctant二、填空：1、已知)(xf的一个原函数为xe，则)(xf= 2、假设)(xf存在且连续，则 )(dxf3、假设cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e= . 4、dxxx2)1 ( .5、dxctgxxx)(csccsc . 6、dxxxxsincos2cos . 7、xdxexsincos . 8 、 已 知)(xf在),(上 连 续 ， 且2)0(f， 且 设2sin)()(xxdttfxF， 则(0)F . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页9、2030sinlimxxt dtx.10、设20
15、(2)4,( )1ff x dx，则20( )xfx dx. 11、201dxx. 12、0cos2xyyyx的阶数是. 13、0xyyy的阶数是. 四、求不定积分11024sec2dxxxx2402tan xdx3dxxxx2221134dxx52sin5dxxx2262102411dxx7dxxxe13ln8dxxx221arcsin9203cossinxdxx10dxxxx322221180311dxx122322)(axdx(13) 2024dxx 1420cosxdxx(15) dxxx arctan216dxexx102( 17) dxxexsin18212132dxxx(19)
16、1145xdx 20edxx12ln21求由曲线2xy，直线xyxy2,所围成的图形的面积. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页22求由曲线2xy与直线2xy，0x围成的平面图形面积. 2333xyyxz,求xz，yz. 24xyzarctan，求xz，yz. 25)(ln2xyxz,求dz. 26xyxze,求dz. 27Dydxdy，其中是由直线,1,01yx yxyy及及所围成的平面区域. 28dxdyxyxD)(22,其中 D 由直线xyy,2与xy2所围成 . 29dxdyxyD2其中 D 由抛物线2xy和
17、直线xy所围成 . 30解微分方程：0sincosxyxdxdy. 31解微分方程：0)1()1 (dyxdxy. 32某厂生产某种商品q千件的边际成本为36)(qqC万元 / 千件，其固定成本是9800万元 . 求 1产量为多少时能使平均成本最低？2最低平均成本是多少？33 已知某产品的边际成本为qqC4)(万元 / 百台， 边际收入为qqR1260)(万元/ 百台。 如果该产品的固定成本为10 万元，求： 1 产量为多少时总利润)(qL最大？ 2从最大利润产量的基础上再增产200 台，总利润会发生什么变化？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页
