2022年直线与平面的位置关系知识点归纳

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1、名师精编优秀资料P LD C B A 第二章直线与平面的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的 2 倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面 等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC、平面 ABCD等。3 三个公理：（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为AL BL = L AB公理 1作用：判断直线是否在平面内（2）公理 2：

2、过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。符号表示为： A、B、C三点不共线 = 有且只有一个平面，使 A 、B 、C 。公理 2 作用：确定一个平面的依据。（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。符号表示为： P = =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为：设a、b、c 是三

3、条直线ab cb 强调：公理4 实质上是说 平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点： a 与 b 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所成的角(0 ， ) ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直LA C B A 共面直线=

4、ac2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 45 页名师精编优秀资料线 a，b，经过空间任一点O作直线aa, bb, 我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与 b 所成的角。（注意：异面直线所成的角不大于90） 。2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系1、直线与平面有三种位置关系：（1）直线在平面内有无数个公共点（2）直线与平面相交有且只有一个公共点（3）直线在平面平行没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a 来表示a a=A a2.2. 直线、平面平行的判定及

5、其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：a b = aab 2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。符号表示：a b ab = P ab2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。简记为：线面平行

6、则线线平行。符号表示：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 45 页名师精编优秀资料a a ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。符号表示：= a a b = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3 直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1 直线与平面垂直的判定1、定义如果直线 L 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面 互相垂直， 记作 L ，直线 L 叫做平面 的垂线， 平面 叫做直线 L 的垂面。 如图， 直线与

7、平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 L p 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。2.3.2 平面与平面垂直的判定1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l- 或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 45

8、页名师精编优秀资料2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。2 性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。本章知识结构框图平面（公理1、公理 2、公理 3、公理 4）空间直线、平面的位置关系平面与平面的位置关系直线与平面的位置关系直线与直线的位置关系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 45 页名师精编优秀资料基础练习一 选择题1.若直线a、b都和平面 平行, 则直线a、b的位置关系是 ().A.相交B.平行C.异面D.以上三者都有可能【解析】

9、可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.【答案】 D 2.给出下列结论: 直线l平行于平面 内的无数条直线,则l ;若直线a在平面 外, 则a;若直线ab,b? , 则a;若直线ab,b? , 则直线a就平行于平面 内的无数条直线.其中结论正确的个数为().A .1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】直线l还可能在平面 内, 所以错误 ; 直线a还可能与平面 相交 , 所以错误 ; 直线a还可能在平面 内, 所以错误 ; 平面 内, 与直线b平行的直线都与直线a平行 , 所以正确.【答案】 A 3.如图所示 , 在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中, 异面直线共有 ().A.1 对B.2

10、 对C.3 对 D.4 对【解析】根据异面直线的定义可知共3 对, 分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.【答案】 C 4.过一点与已知直线垂直的直线有().A.一条 B.两条C.无数条 D.无法确定【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条, 包括相交垂直和异面垂直.【答案】 C 5.在两个平面内分别取一条直线, 若这两条直线互相平行, 则这两个平面的公共点个数().A.有限个B.无限个精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 45 页名师精编优秀资料C.没有D.没有或无限个【解析】两平面相交或者平行, 因此这两个平面没有公

11、共点或有无限个公共点.【答案】 D 6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零, 则这两个平面 ().A.平行 B.相交C.平行或重合 D.平行或相交【解析】若三点在平面的同侧, 则两平面平行; 若三点在平面的异侧, 则两平面相交.【答案】 D 7.下列说法中 , 正确的个数是 ().平行于同一平面的两条直线平行.直线a平行于平面 内的一条直线b,那么直线a平面 .若两平行直线中的一条与平面 相交 ,那么另一条也与平面相交.直线a与平面 内的无数条直线相交,那么直线a在平面 内.A.0B.1C.2D.3 【解析】只有正确.【答案】 B 8.a,b是两条直线 , 是一个平面 , 给

12、出下列三个命题: 如果ab,b? ,那么a; 如果a,b, 那么ab; 如果ab,a ,那么b.其中真命题有 ().A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个【解析】中,a有可能在平面 内 , 故不正确 ; 平行于同一个平面的两条直线不一定平行,故不正确 ;中,b有可能在平面内 ,故不正确.综上可知 , 选 A.【答案】 A 9.平面 , 满足 , 直线a? , 下列四个命题中: a与 内的所有直线平行;a与 内的无数条直线平行;a与内的任何一条直线都不相交 ;a与无公共点.其中正确命题的个数是().A.1B.2C.3D.4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

13、 - - - - -第 6 页，共 45 页名师精编优秀资料【解析】因为 , 直线a? , 所以a与 内的直线平行或异面, 由此可知错, 其他均正确.【答案】 C 10.已知A、B、C、D四点不共面 ,且AB平面 ,CD平面 ,AC=E,AD =F,BD=G,BC=H, 则四边形EFGH是().A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】 A 11.若平面 外的直线a与平面 所成的角为 , 则 的取值范围是 ().A.(0,) B.0,) C.(0, D.0, 【解析】当a时, =0; 当a时, =;a和斜交时 , 的取值范围是(0,),综上 , 的取值范围是 0,.【答案】 D 12.P

14、为ABC所在平面外的一点, 且PA、PB、PC两两垂直 , 则下列命题 : PABC;PBAC;PCAB;ABBC.其中正确的个数是().A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】PAPB,PAPC,PA平面PBC, PABC,即正确 , 同理可证得正确.【答案】 D 13.室内有一根直尺, 无论怎么样放置, 在地面上总有这样的直线, 它与直尺所在的直线().A.异面B.相交C.平行D.垂直【答案】 D 14.若平面 、互相垂直 , 则().A. 中的任意一条直线都垂直于B. 中有且只有一条直线垂直于C.平行于 的直线垂直于D. 内垂直于交线的直线必垂直于【答案】 D 精选学习资料 - - -

15、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 45 页名师精编优秀资料15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 底面是边长为2 的正方形 ,高为 4, 则点A1到截面AB1D1的距离为().A. B. C. D. 【解析】利用三棱锥A1-AB1D1的体积变换 :=, 则24=6h, 解得h=.【答案】 C 16.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA平面ABC,PA=8, 在ABC中, 底边BC=6,AB=5,则P到BC的距离为 ().A.4 B.5 C.3 D.2 【解析】作ADBC于D, 连接PD, 易证PDBC,故PD的长即为P到BC的距离 ,

16、易求得AD=4,PD=4.【答案】 A 17.已知m,n表示两条不同的直线, , 表示三个不同的平面, 给出下列三个命题: (1) ?mn;(2)?n;(3) ?mn.其中推理正确的个数为().A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】若则mn, 即命题 (1) 正确 ; 若则n或n? , 即命题 (2) 不正确 ; 若则mn, 即命题(3) 正确.故选 C. 【答案】 C 18.如图 , 平面 平面 =l,A ,B,ABl=D,C,C?l, 则平面ABC与平面 的交线是().A.直线AC B.直线ABC.直线CDD.直线BC【解析】Dl,l?平面 ,D平面 .DAB,AB?平面ABC,D平面A

17、BC, D在平面ABC与平面 的交线上.C平面ABC, 且C平面 ,C在平面 与平面ABC的交线上 , 平面ABC平面 =CD.【答案】 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 45 页名师精编优秀资料二 填空题1.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点 , 且EF=5, 又AD=6,BC=8, 则AD与BC所成角的大小为. 【解析】取AC中点G, 连接EG,FG, 在EFG中,EGBC,EG=BC=4,FGAD,FG=AD=3, 又知EF=5, EGF=90,AD与BC所成角为90.【答案】 902.如图 ,

18、 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.(1) DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相同; (2) DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相反. 【解析】(1)B1D1BD,B1C1BC, 并且方向相同, 所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同.(2)D1B1BD,D1A1BC, 并且方向相反, 所以DBC的两边与B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反.【答案】 (1) D1B1C1(2) B1D1A13.若a? ,b? , 则a与b的位置关系是. 【解析】可能异面 , 也可能存在平面,使a? , 且b? ,

19、 即a与b仍可以在同一平面内.【答案】平行、相交或异面4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点 , 则EF与平面BB1D1D的位置关系是. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 45 页名师精编优秀资料【解析】如图 , 取D1B1的中点O, 连接OF,OB.OF B1C1,BE B1C1, OF BE,四边形OFEB为平行四边形,EFBO.EF?平面BB1D1D,BO? 平面BB1D1D, EF平面BB1D1D.【答案】平行5.平面 平面 ,ABC和ABC分别在平面 和平面 内 , 若对应顶

20、点的连线共点, 则这两个三角形. 【解析】由于对应顶点的连线共点, 则AB与AB共面 , 由面与面平行的性质知ABAB, 同理ACAC,BCBC, 故两个三角形相似.【答案】相似6.过平面外一点作该平面的垂线有条; 垂面有个; 平行线有条; 平行平面有个. 【答案】一无数无数一7.已知AHRtHEF所在的平面 , 且HEEF, 连接AE、AF, 则图中直角三角形的个数是. 【解析】易知AHE, AHF, HEF为直角三角形 , 又因为EFHE,EFAH, 所以EF平面AEH, 所以EFAE, 即AEF也是直角三角形.综上所述 , 图中直角三角形个数为4.【答案】 4 8.在正方体ABCD-A1

21、B1C1D1中, 直线C1D与平面B1CD所成的角为. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 45 页名师精编优秀资料【解析】连接C1B交B1C于点O,根据直线C1B平面B1CD, 可得直线C1D与平面B1CD所成的角为ODC1, 在 RtODC1中, 根据DC1=2OC1,可得ODC1=30, 因此直线C1D与平面B1CD所成的角为 30.【答案】 309.正四棱锥 ( 顶点在底面的射影是底面正方形的中心) 的体积为12, 底面对角线的长为2, 求侧面与底面所成的二面角.【解析】易求得底面边长为2, 高为 3,tan =,

22、 所以 =60.10.如图 , 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2, 点E为AD的中点 , 点F在CD上.若EF平面AB1C,则线段EF的长度等于. 【解析】由EF平面AB1C, 可知EFAC, 所以EF=AC= 2=.强化练习一 选择题1下列命题中，正确的有() 如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直过直线 l 外一点 P，有且仅有一个平面与l 垂直如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边过点 A 垂直于直线a 的所有直线都在过点A 垂直于 a 的平面内A2 个B3 个C4 个D5 个答案

23、C 解析 正确，中当这无数条直线都平行时，结论不成立2设直线l、 m，平面 、 ，下列条件能得出 的是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 45 页名师精编优秀资料Al? ，m? ，且 l ，mBl? ，m? ，且 lmCl ，m ，且 lmDl ，m ，且 lm答案 C 解析 排除法， A 可举反例，如图(1)，B 可举反例如图(2)，其中 l 与 m 都平行于a，D 可举反例，如图(3)，故选 C. 3(08 福建理 )如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中， ABBC2，AA11，则 BC1与平面 BB1D1

24、D 所成角的正弦值为() A.63B.255C.155D.105答案 D 解析 取 B1D1中点 O，在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1B1C12， C1OB1D1，又 C1OBB1，C1O平面 BB1D1D，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 45 页名师精编优秀资料 C1BO 为直线 C1B 与平面 BB1D1D 所成的角，在 RtBOC1中， C1O2，BC1BC2CC215，sinOBC1105. 4(09 四川文 )如图，已知六棱锥PABCDEF 的底面是正六边形，PA平面 ABC，PA2AB，则下列结

25、论正确的是() APBADB平面 PAB平面 PBCC直线 BC平面 PAED直线 PD 与平面 ABC 所成的角为45答案 D 解析 设 AB 长为 1，由 P A2AB 得 PA2，又 ABCDEF 是正六边形，所以AD 长也为 2，又 PA平面 ABC，所以 PAAD，所以 PAD 为直角三角形P AAD， PDA 45 ，PD 与平面 ABC 所成的角为45 ，故选 D. 5(09 湖北文 )如图，在三棱柱ABC A1B1C1中， ACB90 ， ACC160 ，BCC145 ，侧棱 CC1的长为 1，则该三棱柱的高等于() A.12B.22C.32D.33答案 A 解析 作 C1O底

26、面 ABC 于 O，作 OMCB 于 M，连 C1M. 作 ONAC 于 N，连 C1N. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 45 页名师精编优秀资料易知 ONAC， OMBC，又 ACBRt， ONCM 为矩形， OCMN，在 RtCNC1中， C1CN60 ，CC11， CN12，在 RtC1MC 中， C1CM45 ， CC11， CM22. NM12222232， OC32，在 RtC1OC 中， C1O132212，三棱柱高为12. 6(09 宁夏海南文 )如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，线段

27、B1D1上有两个动点 E，F，且 EF22，则下列结论中错误的是() AACBEBEF平面 ABCDC三棱锥ABEF 的体积为定值D AEF 的面积与 BEF 的面积相等答案 D 解析 由正方体ABCDA1B1C1D1得， B1B平面 ABCD， ACB1B，又 AC BD， AC面 BDD1B1，BE? 面 BDD1B1，ACBE，故 A 正确由正方体 ABCD A1B1C1D1得， B1D1BD，B1D1?平面 ABCD，BD? 平面 ABCD，B1D1平面 ABCD ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 45 页名师

28、精编优秀资料EF平面 ABCD ， B 正确A 到平面 BDD1B1的距离 d22，VABEF13SBEF d1312SBB1D1 d112. 三棱锥 ABEF 的体积为定值，故C 正确因 E、F 是线段 B1D1上两个动点，且EF22，在 E，F 移动时， A 到 EF 的距离与 B 到 EF 的距离不相等 AEF 的面积与 BEF 的面积不相等，故D 错7如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中， AA1底面ABC，AB BCAA1， ABC90 ，点 E、F 分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF 和 BC1所成的角是 () A45B60C90D120答案 B 解析 连结 AB1，易知 A

29、B1EF，连结 B1C 交 BC1于点 G，取 AC 的中点 H，则 GHAB1EF. 设 AB BCAA1a，在 GHC 中，易知 GH12AB122a，BG22a，HB22a，故两直线所成的角为HGB60 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 45 页名师精编优秀资料点评 除可用上述将EF 平移到 GH 方法外还可以在平面BCC1B1内过 F 作 FD BC1交 B1C1于 D， 考虑在 EFD 内求解等如果再补上一个三棱柱成正方体则结论就更明显了8在空间四边形ABCD 中，若 ABCD，BCAD，则对角线AC 与

30、BD 的位置关系为() A相交但不垂直B垂直但不相交C不相交也不垂直D无法判断答案 B 解析 作 AO平面 BCD 于 O，连 BO 并延长交DC 于 N，连 DO 并延长交BC 于 M，连 CO 并延长交BD 于 H，BCAO，BCADBC平面 AOD， BCDM，同理BNCD， O 为 BDC 的垂心， CHBD又 AOBD， BD平面 AOC，BDAC. 9正方体 A1B1C1D1 ABCD 中，截面 A1BD 与底面 ABCD 所成二面角A1BDA 的正切值等于 () A.33B.22C.2D.3 答案 C 解析 设 AC、BD 交于 O，连 A1O， BDAC， BDAA1， BD平

31、面 AA1O，BDAO，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 45 页名师精编优秀资料 A1OA 为二面角的平面角tanA1OAA1AAO2，选 C. 10在二面角 l中， A ，AB平面 于 B，BC平面 于 C，若 AB6，BC3，则二面角 l的平面角的大小为() A30B60C30 或 150D60 或 120答案 D 解析 如图， AB ， ABl， BC ， BCl， l平面 ABC，设平面 ABC lD，则 ADB 为二面角 l的平面角或补角，AB6，BC3， BAC30 ， ADB 60 ，二面角大小为60 或

32、 120 . 11(2010 重庆文， 9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点() A只有 1 个B恰有 3 个C恰有 4 个D有无穷多个答案 D 解析 过两条互相垂直的异面直线的公垂线段中点且与两条直线都成45 角直线上所有点到两条直线的距离都相等，故选D. 12ABCD 是正方形，以BD 为棱把它折成直二面角ABD C，E 为 CD 的中点，则AED 的大小为 () A45B30C60D90答案 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 45 页名师精编优秀资料解析 设 BD 中点为 F，则 AF BD，CF BD A

33、FC90 ， AF面 BCDE、 F 分别为 CD、BD 的中点，EFBC，BCCD， CDEF，又 AF CD， CD平面 AEF， CDAE.故选 D. 13已知 l? ，m ，有下列四个命题： ? lm; ? lm；lm? ；lm? . 其中正确的命题是() A与B与C与D答案 D 解析 m ? ml? ? ml，正确否定A、 B，又mlm? ll? ? ，正确否定C，故选 D. 14已知三棱锥SABC 的各顶点都在一个半径为r 的球面上，球心O 在 AB 上， SO底面 ABC，AC2r ，则球的体积与三棱锥体积之比是() AB2C3D4答案 D 解析 此三棱锥的高为球的半径，ABC

34、所在大圆面积为 r2，三棱锥的底面易知为等腰直角三角形腰长为2r ，所以三棱锥底面面积为12(2r)2r2，V球V锥43 r313r34 ，球体积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 45 页名师精编优秀资料与三棱锥体积之比为4 ，故选 D. 15在空间四边形ABCD 中， ADBC，BDAD，且 BCD 是锐角三角形，那么必有() A平面 ABD平面 ADCB平面 ABD平面 ABCC平面 ADC平面 BCDD平面 ABC平面 BCD答案 C 16已知 m、l 是直线， 、 是平面，给出下列命题：若 l 垂直于 内的两条相

35、交直线，则l ；若 l 平行于 ，则 l 平行于 内的所有直线；若 m? ，l? ，且 lm，则 ；若 l? ，且 l ，则 ；若 m? ，l? ，且 ，则 ml. 其中正确命题的序号是() ABCD答案 C 解析 由直线与平面垂直的判定定理知，正确；对于，若l ，m? ，则 l 与 m 可能平行，也可能是异面直线，故不正确；对于，满足题设的平面 、有可能平行或相交，也有可能垂直，故是错误的；由面面垂直的判定定理知，是正确的；对于， m 与 l 可能平行，也可能是异面直线，故是错误的故正确的命题是、. 17若 a、b 表示直线， 表示平面，a ，ab，则 b ；a ，ab，则 b ；a ，b

36、，则 ba；a ，b? ，则 ba. 上述命题中正确的是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 45 页名师精编优秀资料ABCD答案 C 解析 b或 b? b或 b或 b? 、正确，选 C. 18已知三条直线m、n、l，三个平面 、 、 ，下面四个命题中，正确的是() A. ? B.mlm? lC.mn? m nD. ? 答案 D 解析 对于 A，与 可以平行，也可以相交；对于B，l 与 可以垂直，也可以斜交或平行；对于C，m 与 n 可以平行，可以相交，也可以异面19若两直线a 与 b 异面，则过a 且与 b 垂直的平

37、面 () A有且只有一个B可能存在也可能不存在C有无数多个D一定不存在答案 B 解析 当 ab 时，有且只有一个当 a 与 b 不垂直时，不存在20(08 安徽)已知 m、n 是两条不同直线， 、 、是三个不同平面下列命题中正确的是 () A若 m ，n ，则 m nB若 ， ，则 C若 m ， m ，则 D若 m ，n ，则 m n答案 D 21如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点 P 在侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持 AP BD1，则动点P 的轨迹是 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 45

38、 页名师精编优秀资料A线段 B1CB线段 BC1CBB1中点与 CC1中点连成的线段DBC 中点与 B1C1中点连成的线段答案 A 解析 DD1平面 ABCD， D1DAC，又 AC BD， AC平面 BDD1，ACBD1.同理 BD1B1C. 又 B1CAC C， BD1平面 AB1C. 而 AP BD1， AP? 平面 AB1C. 又 P平面 BB1C1C， P 点轨迹为平面AB1C 与平面 BB1C1C 的交线 B1C.故选 A. 22已知一平面平行于两条异面直线，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是() A平行B垂直C斜交D不能确定答案 B 解析 设 a，b 为

39、异面直线，a平面 ，b ，直线 la，lb. 过 a 作平面 a，则 aa， la. 同理过 b 作平面 b，则 lb，a，b 异面， a与 b相交， l . 23设有直线m、n 与平面 、 ，则在下面命题中，正确的是() A若 mn，m? ，n? ，则 B若 m ， mn，n? ，则 C若 mn， n ，m? ，则 D若 mn，m ，n? ，则 答案 C 解析 对于 C，由 mn，n 得 m . 又 m? ，可得 .应选 C. 24如图已知平面CBD平面 ABD，且 DA平面 ABC，则 ABC 的形状为 () 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

40、- - -第 21 页，共 45 页名师精编优秀资料A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定答案 B 解析 过 A 作 AEDB，则 AE平面 DBC，AEBC，又 DA平面 ABC，DABC，又 DAAEA， BC平面 DAB ，BCAB， ABC 为直角三角形25(2010 北京理， 8)如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，动点 E，F 在棱 A1B1上，动点 P，Q 分别在棱AD、CD 上，若 EF1，A1Ex，DQy，DPz(x，y，z 大于零 )，则四面体 PEFQ 的体积 () A与 x，y，z都有关B与 x 有关，与y，z 无关C与 y 有关，与x，z 无关D与

41、 z 有关，与x，y 无关答案 D 解析 这道题目延续了北京高考近年8,14,20 的风格，即在变化中寻找不变，从图中可以分析出，EFQ 的面积永远不变，为矩形A1B1CD 面积的14，而当 P 点变化 (即 z 变化 )时，它到平面A1B1CD 的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化26在 ABC 中， C90 ， AB8，B30 ， PC平面 ABC，PC 4，P是 AB 边上动点，则 PP的最小值为 () A2 B.7 C27 D.19 答案 C 解析 作 CP AB，垂足为P，则易知PP AB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -

42、-第 22 页，共 45 页名师精编优秀资料PP为所求最小值在 RtABC 中，由 AB8， B30 得，PC23，又 PC平面 ABC，PCPC，PC4， PP 2 7. 27已知直线l平面 ，直线 m? 平面 ，有下列四个命题： ? lm； ? lm；lm? ； lm? . 其中正确的两个命题是() ABCD答案 D 28(2010 山东文， 4)在空间，下列命题正确的是() A平行直线的平行投影重合B平行于同一直线的两个平面平行C垂直于同一平面的两个平面平行D垂直于同一平面的两条直线平行答案 D 解析 当两平行直线都与投影面垂直时，其在内的平行投影为两个点，当两平行直线所在平面与投影面相

43、交但不垂直时，其在内的平行投影可平行，故A 错；在正方体 ABCDA1B1C1D1中，直线AA1与平面BCC1B1及平面 CDD1C1都平行，但平面BCC1B1与平面 CDD1C1相交，故 B 错；同样，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1及平面CDD1C1都与平面ABCD 垂直，但此二平面相交，故C 错；由线面垂直的性质定理知D 正确29对于直线m、n 和平面 、 、 ，下列命题中，正确命题的个数为() 若 m ，nm，则 n若 m ，nm，则 n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 45 页名师精编优秀资

44、料若 ， ，则 若 m ，m? ，则 A1B2C3D4 答案 A 解析 错，正确30(09 广东文 )给定下列四个命题：若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一条直线的两条直线相互平行；若两个平面垂直， 那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直其中为真命题的是() A和B和C和D和答案 D 31(09 浙江文 )设 ，是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是() A若 l ， ，则 l? B若 l ， ，则 l? C若 l ， ，则 l D若 l ， ，则 l答案 C 解析

45、l ， ? l或 l? ，A 错；l ， ? l或 l? ，B 错；l ， ? l ，C 正确；若 l ， ，则 l 与 位置关系不确定，D 错32a、 b 为不重合的直线， ，为不重合的平面，给出下列4 个命题：a且 a b? b ；a且 a b? b ；a且 a b? b ；a且 ? a . 其中正确命题的个数为() A0B1C2D3 答案 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 45 页名师精编优秀资料解析 aab? b或 b? ；aab? b或 b? ；a ? a或 a? . 33 如图，BC 是 RtABC 的斜

46、边， AP平面 ABC， PD BC 于 D， 则图中共有 _个直角三角形 () A8B7C6D5 答案 A 解析 PAC， PAD， PAB， PDC， PDB ， CDA， BDA， CAB 共 8 个34如图，平面 平面 ，A ，B ，AB 与两平面 、所成的角分别为4和6.过 A、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A、 B，则 ABA B等于 () A21 B31 C32 D43 答案 A 解析 由已知条件可知BAB4，ABA6，设 AB2a，则 BB 2asin42a，AB2acos63a，在 RtBBA中，得AB a， ABA B35已知 a、b、c 是直线， 、是平面， 下列条件

47、中， 能得出直线a平面 的是 () Aac，ab，其中 b? ，c? Bab，b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 45 页名师精编优秀资料C ，aDab，b答案 D 解析 A 中缺 b与 c 相交的条件；如图(1)，可知 b ，ab 时，a 与 可平行、可相交，相交时也可垂直，故B 错；如图 (2)是一个正方体，满足 ，直线 a 可以是 AC，也可以是AB，故 C 错36在正四面体PABC 中， D、E、F 分别是 AB、 BC、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是 () ABC平面 PDFBDF 平面 PAEC平面

48、PDF平面 ABCD平面 PAE平面 ABC答案 C 解析 D、F 分别为 AB、CA 中点， DFBC. BC平面 PDF ，故 A 正确又 PABC 为正四面体，P 在底面 ABC 内的射影O 在 AE 上 PO平面 ABC.PODF . 又 E 为 BC 中点， AEBC， AEDF . 又 POAEO， DF 平面 PAE，故 B 正确又 PO? 面 PAE，PO平面 ABC，面 PAE面 ABC，故 D 正确四个结论中不成立的是C. 二 填空题1如图， AB 是圆 O 的直径， C 是异于 A、B 的圆周上的任意一点，P A 垂直于圆O 所在的平面， AC3，PA4， AB5，则直线

49、 PB 与平面 P AC 所成角的正弦值为_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 45 页名师精编优秀资料答案 4 4141解析 PA平面 ABCPABC，又 BC ACBC平面 P AC， BPC 为直线 PB 与平面 PAC 所成的角在 RtPAB 中， P A4，AB5， PB41，在 RtABC 中， AC 3，AB5， BC4，sinBPCBCPB44141. 2?ABCD 的对角线交点为O，点 P 在?ABCD 所在平面外，且PAPC，PDPB，则PO 与平面 ABCD 的位置关系是 _答案 垂直解析 PAPC，

50、O 是 AC 的中点， PO AC. 同理可得 POBD.ACBDO，PO平面 ABCD. 3在矩形ABCD 中， AB3，BC4，PA平面 ABCD ，且 PA1，则点P 到对角线BD 的距离是 _答案 135解析 因为 AB3，BC4，所以BD5，过 A 作 AEBD，连接PE， PA平面ABCD， PABD，P AAEA， BD平面 PAE， PEBD，在 ABD 中， AE125，所以 PE121252135. 4(2010 湖南文， 13)如图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则 h_ cm. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -

51、- - - - - -第 27 页，共 45 页名师精编优秀资料答案 4 解析 该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V131256 h20， h 4 cm. 5(09 全国文 )已知 OA 为球 O 的半径，过OA 的中点 M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆 M，若圆 M 的面积为3 ，则球 O 的表面积等于_答案 16解析 设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有 r23R22r2R2解得 R2，球 O 的表面积S4 R216.6如图， ABCD 是正方形， P A平面 ABCD，且 PAABa. (1)二面角 A PDC 的度数为 _；(2)二面角 B PAD

52、的度数为 _；(3)二面角 B PAC 的度数为 _；(4)二面角 B PCD 的度数为 _答案 90 ； 90 ；45 ；120解析 (1)PA平面 ABCDPACD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 45 页名师精编优秀资料又 ABCD 为正方形， CDAD， CD平面 PAD，又 CD? 平面 PCD，平面 PAD平面 PCD ，二面角 APDC 为 90 . (2)PA平面 ABCD， ABPA，ADPA BAD 为二面角BAPD 的平面角又 BAD90 ，二面角BAPD 为 90(3)PA平面 ABCD， ABP

53、A，ACPA BAC 为二面角BPAC 的平面角又 ABCD 为正方形，BAC45即二面角 BPAC 为 45(4)作 BEPC 于 E，连 DE 则由 PBC PDC 知 BPE DPE从而 PBE PDE DEP BEP90 ，且 BEDE BED 为二面角BPCD 的平面角P A平面 ABCD ， PABC，又 ABBC，BC平面 PAB， BCPB，BEPB BCPC63a，BD2a取 BD 中点 O，则 sinBEOBOBE32， BEO60 ， BED 120二面角 BPCD 的度数为120 . 7已知二面角 AB 为 120 ，AC? ，BD? ，且 ACAB，BDAB，ABAC

54、BDa，则(1)CD 的长为 _；(2)CD 与 AB 所成的角为 _答案 (1)2a(2)60 解析 在平面 内，作 AD綊 BD，连 DD ，则 DD綊 AB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 45 页名师精编优秀资料(1)ACAB，DAAB， DAC 为二面角 AB的平面角即 DAC 120ABACBD a， CD3a又 AB平面 ACD， DD AB， DD 平面ACDDD DC，又 DD aCDDD 2DC22a(2)DD AB DDC 为异面直线CD 与 AB 所成的角在 RtDD C 中， DD a，CD2

55、a DDC 60 ，即 CD 与 AB 所成的角为60 . 8已知边长为a 的菱形 ABCD 中， ABC60 ，PC平面 ABCD，E 是 PA 的中点，则 E 到平面 PBC 的距离为 _答案 34a解析 如图，设AC 交 BD 于 O，连 EO，E、 O 分别为 PA、AC 的中点， EOPC，又 EO?面 PBC，PC? 面 PBC，EO平面 PBC，于是 EO 上任一点到平面PBC 的距离都相等，则O 点到平面PBC的距离即为所求在平面 ABCD 内过 O 作 OGBC 于 G， PC平面 ABCD，PCOG，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

56、 - - - -第 30 页，共 45 页名师精编优秀资料OG平面 PBC. ABCD 是菱形， ABC60 ，OG3a2sinOBC3a2 sin30 34a. 即 E 到面 PBC 距离为34a. 9 正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为1， O 是底面 A1B1C1D1的中心，则 O 到平面 ABC1D1的距离为 _答案 24解析 (1)转化为点A1到平面 ABC1D1的距离， 连 A1D 交 AD1于 O1点，可证 A1O1平面 ABC1D1，A1到平面 ABC1D1距离 A1O122，从而 O 到平面 ABC1D1距离为24. (2)转化为直线到平面的距离，过O 作直线 EFA

57、1B1交 A1D1于 E，交 B1C1于 F，过 E作 EE1AD1，可证 EE1平面 ABC1D1从而得解10三条直线abc，若 b、c 距离为 2，a、c 距离为 1，a、b 距离为7，则由 a、c确定的平面与 b 的距离为 _答案 3 解析 在直线 b 上取一点P，过 P 作 PO于 O，作 OQc 于 Q，交直线 a 于 R，则 OQ a， c平面 POQ，a平面 POR， PQc，PRa，依题设条件，QR1，PQ 2，PR7，设 OQx，POh，则 x2h24，(x1)2h27，解之得h3. 11把等腰直角 ABC 沿斜边 BC 上的高线AD 折成一个二面角，此时 BAC60 ，那么

58、此二面角的大小是_答案 90解析 设 ABaABAC， BAC60精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 45 页名师精编优秀资料BCa，又 BDDC22a BDC90又 BDAD，ADCD BDC 为二面角BADC 的平面角故填 90 . 12 、 是两个不同的平面，m、n 是平面 及 外的两条不同直线，给出四个论断：mn； ； n ； m . 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是_答案 、 ? ；、? 13直角 ABC 的斜边 BC 在平面 内，顶点A 在平面 外，则 ABC 的两条直角

59、边在平面 内的射影和斜边BC 组成的图形只能是_答案 线段或钝角三角形解析 当 ABC 所在平面与垂直时为线段；否则如图AC2AB2AC2AB2BC2， ABC 为钝角三角形14 ABC 的三边长分别为3、 4、5， P 为平面 ABC 外一点， 它到三边的距离都等于2，则 P 到平面 ABC 的距离是 _答案 3 解析 顶点在底面上的射影O 为三角形 ABC 的内心，其内切圆半径r1， 则 PO3. 15P 为 ABC 所在平面外一点，PA、PB、PC 与平面ABC 所成角均相等，又PA 与BC 垂直，那么 ABC 形状可以是 _正三角形等腰三角形非等腰三角形等腰直角三角形(将你认为正确的序

60、号全填上 ) 答案 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 45 页名师精编优秀资料解析 设点 P 在底面 ABC 上的射影为O， 由 P A、 PB、 PC 与平面 ABC 所成角均相等，得 OAOBOC，即点O 为 ABC 的外心，又由P ABC，得 OABC，即 AO 为 ABC中 BC 边上的高线，ABAC，即 ABC 必为等腰三角形，故应填. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 45 页名师精编优秀资料章节测试一、选择题 (本大题共12 个小题，

61、每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1(20132014 福建师大附中模块)设 ，表示两个平面，l 表示直线， A， B，C 表示三个不同的点，给出下列命题：若 Al，A ，Bl，B ，则 l? ； ，不重合，若A ，A ， B ，B ，则 AB；若 l? ，A l，则 A? ；若 A，B，C ， A，B，C ，且 A，B，C 不共线，则与 重合则上述命题中，正确的个数是() A1B2C3D4 答案 C 解析 根据公理1 可知正确；根据公理3 可知正确，根据公理2 可知正确；当点 A 为直线 l 与平面 的交点时，可知错误2菱形 ABCD 在平面 内

62、， PC ，则 P A 与对角线BD 的位置关系是 () A平行B相交但不垂直C相交垂直D异面垂直答案 D 解析 PC平面 ，PC BD，又在菱形ABCD 中， ACBD， BD平面 PAC.又 PA? 平面 P AC， BDP A.显然 PA 与 BD 异面，故 PA 与 BD 异面垂直3设 P 是 ABC 所在平面外一点， H 是 P 在 内的射影，且PA，PB，PC 与 所成的角相等，则H 是 ABC 的() A内心B外心C垂心D重心答案 B 解析 由题意知RtPHARt PHBRtPHC，得 HAHBHC，所以 H 是 ABC的外接圆圆心4已知二面角 l 的大小为60 ，m，n 为异面

63、直线，且m ，n ，则 m，n 所成的角为 () A30B60C90D120答案 B 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 34 页，共 45 页名师精编优秀资料解析 易知 m，n 所成的角与二面角的大小相等，故选B. 5(20132014 珠海模拟 )已知 a，b，l 表示三条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平面，有下列命题：若 a， b，且 ab，则 ；若 a，b 相交，且都在 ， 外， a ，a ，b ，b ，则 ；若 ， a，b? ，ab，则 b ；若 a ，b ，l a，lb，则 l . 其中正确的有() A0 个B1 个C

64、2 个D3 个答案 C 解析 可借助正方体模型解决如图，在正方体A1B1C1D1ABCD 中，可令平面A1B1CD 为 ，平面 DCC1D1为 ，平面 A1B1C1D1为 .又平面 A1B1CDDCC1D1CD，平面 A1B1C1D1平面 DCC1D1C1D1，则 CD 与 C1D1所在的直线分别表示a，b，因为 CDC1D1，但平面 A1B1CD 与平面 A1B1C1D1不平行，即 与 不平行，故错误 因为 a，b 相交，可设其确定的平面为 ，根据 a ，b ，可得 .同理可得 ，因此 ，正确由两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线和另一个平面垂直，易知正确 ab 时，由题知l 垂直于平面

65、内两条不相交直线，得不出l ，错误6(2013 新课标全国 )已知 m，n 为异面直线，m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，ln，l? ，l? ，则 () A 且 lB 且 lC与 相交，且交线垂直于l D与 相交，且交线平行于l答案 D 解析 由于 m，n 为异面直线， m平面 ， n平面 ，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l 满足 lm，ln，则交线平行于l，故选D. 7在正方体ABCDA1B1C1D1中， E，F 分别是线段A1B1，B1C1上的不与端点重合的动点，如果A1EB1F，有下面四个结论：EFAA1； EFAC； EF 与 AC 异面；

66、EF平面 ABCD. 其中一定正确的有() ABCD答案 D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 35 页，共 45 页名师精编优秀资料解析 如右图所示由于AA1平面A1B1C1D1， EF? 平面A1B1C1D1，则 EFAA1，所以正确； 当 E，F 分别是线段A1B1，B1C1的中点时， EFA1C1，又 ACA1C1，则 EFAC，所以不正确；当E，F 分别不是线段A1B1， B1C1的中点时， EF 与 AC 异面，所以不正确；由于平面A1B1C1D1 平面 ABCD，EF? 平面 A1B1C1D1，所以EF平面 ABCD，所

67、以正确8如图，若是长方体ABCDA1B1C1D1被平面 EFGH 截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中 E 为线段 A1B1上异于 B1的点， F 为线段BB1上异于 B1的点，且EHA1D1，则下列结论中不正确的是() AEHFGB四边形EFGH 是矩形C 是棱柱D是棱台答案 D 解析 因为 EHA1D1，A1D1B1C1，所以 EHB1C1，又 EH?平面 BCC1B1，所以 EH平面 BCC1B1，又 EH? 平面 EFGH ，平面 EFGH 平面 BCC1B1FG，所以 EHFG，又EHB1C1，所以 是棱柱，所以A，C 正确；因为A1D1平面 ABB1A1，EHA1D1，所

68、以EH平面 ABB1A1，又 EF? 平面 ABB1A1，故 EH EF，所以 B 正确，故选D. 9(2012 大纲版数学 (文科 )已知正方体ABCDA1B1C1D1中， E、F 分别为BB1、CC1的中点，那么直线AE 与 D1F 所成角的余弦值为() A45D35C34D35答案 B 命题意图 本试题考查了正方体中异面直线的所成角的求解的运用解析 首先根据已知条件，连接DF，然后则 DFD1即为异面直线所成的角，设棱长为 2，则可以求解得到5DF D1F，DD12，结合余弦定理得到结论10如图，在三棱柱ABCABC中，点E， F，H，K 分别为 AC， CB， AB，BC的中点， G

69、为 ABC 的重心，从K，H，G，B中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2 条棱与平面PEF 平行，则点 P 为() AKBHCGDB答案 C 解析 应用验证法： 选 G 点为 P 时，EFAB且 EFAB，此时恰有AB和 AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 36 页，共 45 页名师精编优秀资料平行于平面PEF，故选 C. 11如图，四边形ABCD 中， AD BC，ADAB， BCD45 ， BAD 90 ，将ABD 沿 BD 折起，使平面ABD 平面 BCD ，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是() A平

70、面 ABD平面 ABC B平面 ADC 平面 BDCC平面 ABC平面 BDC D平面 ADC 平面 ABC答案 D 解析 由平面图形易知BDC90 .平面 ABD平面 BCD，CDBD，CD平面ABD.CDAB.又 ABAD， CDADD， AB平面 ADC.又 AB? 平面 ABC， 平面 ADC平面 ABC. 12(2013 全国卷 )已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中， AA12AB，则 CD 与平面 BDC1所成角的正弦值等于() A23B33C23D13答案 A 解析 如图，连接AC 交 BD 于点 O，连接 C1O，过 C 作 CHC1O 于点 H，BD ACAA1BDAC

71、AA1 A?BD面 ACC1A1CH? 面ACC1A1?BDHCOC1HCBDOC1O? CH面 BDC1， HDC 为 CD 与面 BDC1所成的角，设 AA12AB2，OC22，CC12，OC13 22，CHOC CC1OG23，sin HDCCHCD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 45 页名师精编优秀资料23，故选 A. 二、填空题 (本大题共4 小题，每小题5 分，共 25 分把答案填在题中的横线上) 13直线 l 与平面 所成角为30 ，l A，m? ，A?m，则 m 与 l 所成角的取值范围是_答案 30

72、，90 解析 直线 l 与平面 所成的 30 的角为 m 与 l 所成角的最小值，当m 在 内适当旋转就可以得到lm，即 m 与 l 所成角的最大值为90 . 14如图所示，在四棱锥PABCD 中， PA底面ABCD，且底面各边都相等，M 是PC 上的一动点， 当点 M 满足 _时，平面 MBD 平面 PCD(只要填写一个你认为是正确的条件即可 )答案 DMPC(或 BMPC) 解析 连接 AC，则 BDAC，由 P A底面 ABCD，可知 BDPA，BD平面 PAC，BDPC.故当 DM PC(或 BM PC)时，平面MBD 平面 PCD . 15(2014 北京高考理科数学)某三棱锥的三视

73、图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为_答案 2 2 解析 三棱锥的直观图如右图AB面 BCD， BCD 为等腰直角三角形AB2，BD 2，BCCD2，ACAB2BC26，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 38 页，共 45 页名师精编优秀资料ADAB2BD2222222. 16(2013 高考安徽卷 )如图正方体ABCDA1B1C1D1，棱长为1，P 为 BC 中点， Q 为线段 CC1上的动点，过A、P、Q 的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号) 当 0CQ12时， S为四边形当 CQ12

74、时， S为等腰梯形当 CQ34时， S与 C1D1交点 R 满足 C1R113当34CQ1 时， S为六边形当 CQ1 时， S的面积为62. 答案 解析 设截面与DD1相交于 T，则 ATPQ，且 AT2PQ? DT2CQ. 对于，当0CQ12时，则 0DT1，所以截面S为四边形，且S为梯形，所以为真对于， 当 CQ12时，DT1，T 与 D 重合， 截面 S为四边形APQO1，所以 APD1Q，截面为等腰梯形，所以为真对于，当CQ34，QC114，DT2，D1T12，利用三角形相似解得，C1R113，所以为真对于，当34CQ1 时，32DT2，截面 S与线段 A1D1， D1C1相交，所以

75、四边形S为五边形，所以为假对于，当CQ1 时， Q 与 C1重合，截面S 与线段 A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为2和3，S的面积为62，所以为真，综上，选. 三、解答题 (本大题共 6 个大题， 共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分10 分)如右图，在三棱柱ABCA1B1C1中， ABC 与 A1B1C1都为正三角形且 AA1面 ABC，F、F1分别是 AC，A1C1的中点精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 39 页，共 45 页名师精编优秀资料求证： (1)平面 AB1F1

76、平面 C1BF；(2)平面 AB1F1平面 ACC1A1. 分析 本题可以根据面面平行和面面垂直的判定定理和性质定理，寻找使结论成立的充分条件证明 (1)在正三棱柱ABCA1B1C1中，F、 F1分别是 AC、A1C1的中点，B1F1BF，AF1 C1F. 又 B1F1AF1F1，C1FBFF，平面 AB1F1平面 C1BF. (2)在三棱柱ABCA1B1C1中， AA1平面 A1B1C1， B1F1AA1. 又 B1F1A1C1，A1C1AA1A1，B1F1平面 ACC1A1，而 B1F1? 平面 AB1F1，平面 AB1F1平面 ACC1A1. 18(本小题满分12 分)(2013 四川

77、文科 )如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面 ABC，ABAC2AA12， BAC120 ，D，D1分别是线段BC， B1C1的中点， P 是线段 AD 上异于端点的点(1)在平面 ABC 内，试作出过点P 与平面A1BC 平行的直线l，说明理由，并证明直线l平面 ADD1A1；(2)设(1)中的直线 l 交 AC 于点 Q， 求三棱锥 A1QC1D 的体积(锥体体积公式： V13Sh，其中 S为底面面积， h 为高 ) 解析 (1)在平面 ABC 内，过点P 作直线 l 和 BC 平行理由如下：由于直线 l 不在平面A1BC 内， l BC，故直线 l 与平面 A1BC 平行在

78、 ABC 中， ABAC，D 是线段 AC 的中点，ADBC， lAD. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 40 页，共 45 页名师精编优秀资料又 AA1底面 ABC， AA1l. 而 AA1AD A，直线l平面 ADD1A1. (2)过点 D 作 DEAC 于点 E. 侧棱 AA1底面 ABC，三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，则易得 DE平面 AA1C1C. 在 RtACD 中， AC2， CAD60 ，ADAC cos60 1，DEAD sin60 32. SQA1C112 A1C1 AA1122 11，三棱锥A1QC1D

79、的体积VA1QC1DVDQA1C113 SQA1C1 DE1313236. 19(本小题满分12 分 )如下图所示， 在四棱锥 PABCD 中，P A平面 ABCD， AB4，BC3， AD5， DAB ABC90 ，E 是 CD 的中点(1)证明： CD平面 P AE；(2)若直线PB 与平面 PAE 所成的角和PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四棱锥PABCD 的体积解析 (1)证明：如下图所示，连接AC，由 AB 4，BC3， ABC90 ，得 AC5. 又 AD5，E 是 CD 的中点，所以CDAE. P A平面 ABCD ，CD? 平面 ABCD，所以 P ACD. 而 PA，

80、AE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以CD平面 PAE. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 41 页，共 45 页名师精编优秀资料(2)过点 B 作 BG CD，分别与AE， AD 相交于 F，G，连接 PF. 由(1)CD平面 PAE 知， BG平面 PAE.于是 BPF 为直线 PB 与平面 P AE 所成的角，且 BGAE. 由 PA平面 ABCD 知， PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角由题意，知PBA BPF，因为 sinPBAPAPB，sinBPFBFPB，所以 PABF. 由 DAB ABC90 知，

81、 ADBC，又 BGCD，所以四边形BCDG 是平行四边形，故 GD BC3.于是 AG2. 在 RtBAG 中， AB 4，AG2，BGAF，所以BGAB2AG225，BFAB2BG162 58 55.于是 PABF8 55. 又梯形 ABCD 的面积为 S12(53)416，所以四棱锥PABCD 的体积为V13SP A1316855128515. 20(本小题满分12 分)(2013 全国新课标卷)如图三棱柱ABCA1B1C1中， CA CB，ABAA1， BAA160 ，(1)证明 ABA1C；(2)若 AC16，ABCB2，求三棱柱ABCA1B1C1的体积 S. 命题意图 本题主要考查

82、空间线面，线线垂直的判定与性质，及体积的计算，考查空间想象能力，逻辑推理论证能力，属容易题解析 (1)证明：取AB 中点 E，连接 CE，A1B，A1E，ABAA1， BAA160 ， BAA1是等边三角形，A1E AB， CACB， CEAB，CEA1EE， AB面 CEA1， AB A1C. (2)由于 CAB 为等边三角形，CE3，A1E3，在 A1CE 中 A1C6.即有 A1C2CE2A1E2，故 A1ECE，S底面积12ABCE1222 323，A1EAB，A1E CE，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 42 页，共 45

83、 页名师精编优秀资料hA1E3， VSh2 336. 21 (本小题满分12 分)(2013 福建改编 )如图， 在四棱锥 PABCD 中， PD平面 ABCD，ABDC， ABAD，BC5，DC3， AD4， PAD60 . (1)当正视方向为从A 到 D 的方向时，画出四棱锥PABCD 的正视图 (要求标出尺寸，并写出演算过程)；(2)若 M 为 PA 的中点，求证：DM平面 PBC；(3)求三棱锥DPBC 的体积解析 (1)如图 1，在梯形ABCD 中，过点C 作 CEAB，垂足为E. 由已知得，四边形ADCE 为矩形， AECD3，在 RtBEC 中，由 BC5，CE4，依据勾股定理得

84、BE3，从而 AB6. 又由 PD 平面 ABCD 得， PDAD，从而在 Rt PDA 中，由 AD4， PAD 60 ，得 PD4 3. 正视图如图2 所示：(2)方法一：如图3，取 PB 的中点 N，连接 MN，CN. 在 P AB 中， M 是 PA 的中点，MN AB，MN12AB3，又 CDAB， CD3，MN CD，MNCD，四边形 MNCD 为平行四边形，DMCN. 又 DM?平面 PBC，CN? 平面 PBC，DM 平面 PBC. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 43 页，共 45 页名师精编优秀资料方法二：如图4

85、，取 AB 的中点 E，连接 ME， DE. 在梯形 ABCD 中， BECD，且 BECD，四边形 BCDE 为平行四边形，DE BC. 又 DE?平面 PBC，BC? 平面 PBC， DE平面 PBC. 又在 PAB 中， MEPB，ME?平面 PBC，PB? 平面 PBC， ME平面 PBC. 又 DEME E，平面 DME 平面PBC. 又 DM? 平面 DME ， DM 平面 PBC. (3)VDPBCVPDBC13SDBC PD，又 SDBC6， PD43，所以 VDPBC83. 22 (本小题满分12 分)如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，已知 AB3，AD2

86、，PA2，PD22， PAB60 . (1)求证： AD平面 PAB；(2)求异面直线PC 与 AD 所成的角的正切值；(3)求二面角PBDA 的正切值解析 (1)证明：在 PAD 中， P A2，AD2，PD2 2，P A2 AD2 PD2， ADPA. 在矩形 ABCD 中， AD AB. P AABA， AD平面 PAB. (2)BCAD， PCB 是异面直线PC 与 AD 所成的角在 P AB 中，由余弦定理得PBPA2AB22PA AB cosPAB7. 由(1)知 AD平面 PAB，PB? 平面 PAB，ADPB， BCPB，则 PBC 是直角三角形，精选学习资料 - - - -

87、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 44 页，共 45 页名师精编优秀资料故 tan PCBPBBC72. 异面直线PC 与 AD 所成的角的正切值为72. (3)过点 P 作 PH AB 于点 H，过点 H 作 HE BD 于点 E，连结 PE. AD平面 PAB，PH? 平面 ABCD， ADPH. 又 ADABA， PH平面 ABCD. 又 PH? 平面 PHE，平面 PHE平面 ABCD. 又平面 PHE 平面 ABCD HE，BDHE，BD平面 PHE. 而 PE? 平面 PHE， BDPE，故 PEH 是二面角PBD A 的平面角由题设可得，PHPA sin60 3，AHPA cos60 1，BHABAH2，BDAB2AD213，HE ADBD BH413. 在 RtPHE 中， tanPEHPHHE394. 二面角 PBDA 的正切值为394. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 45 页，共 45 页