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1、第二讲第二讲 矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算第二章第二章 矩阵及其运算矩阵及其运算 1并把此乘积记作并把此乘积记作一、定义一、定义例如例如:2例如例如不不存在存在. .注意：注意： 要使要使C= =AB有意义，则有意义，则A的列数必须等于的列数必须等于B的行的行数，且矩阵数，且矩阵C的第的第i行第行第j列元素正好是列元素正好是A的第的第i行与行与B的的第第j列对应元素乘积之和。列对应元素乘积之和。3注意注意：1. 乘积矩阵的第乘积矩阵的第i行第行第j列元素等于左矩阵的第列元素等于左矩阵的第i行元行元素与右矩阵的第素与右矩阵的第j列对应元素乘积之和列对应元素乘积之和.2. 只有当左矩阵的列数等于右
2、矩阵的行数时，矩阵的只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，矩阵的乘积才有意义乘积才有意义.3. 两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的两个矩阵的乘积仍然是一个矩阵，且乘积矩阵的行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩行数等于左矩阵的行数，乘积矩阵的列数等于右矩阵的列数阵的列数.4又如又如53设设例例解解4设设例例解解6BAAB、求求设设例例57此处此处BCAC、求求6设设例例解：解：8方程组的矩阵表示：方程组的矩阵表示：对方程组对方程组记记则方程组则方程组(1)可表示为可表示为9对方程组对方程组记记则方程组则方程组(2)可表示为可表示为又如：又如：10(4) EA=A ； AE=A.定
3、理定理1 1. . 设设A、B、C、O、E在下面各式中相应的在下面各式中相应的乘法和加法运算中都能进行，乘法和加法运算中都能进行，k为实数，则：为实数，则：(1) 结合律：结合律：A（BC）=（AB）C；(2) 分配律：分配律：A（B+C）=AB+AC；（B+C）A=BA+CA(3) OA=O ； AO=O 二、矩阵乘法运算规律二、矩阵乘法运算规律k（AB）=A（kB）注：单位矩阵注：单位矩阵E和数和数1的作用一样的作用一样。11注意注意矩阵不满足交换律，矩阵不满足交换律，即：即：则则如：如：设设由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘由于矩阵不可交换，所以矩阵乘法分为左乘和右乘.12 此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而此例不仅表明矩阵的乘法不满足交换律，而且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即且还表明矩阵的乘法不满足消去律，即但也有例外，比如设但也有例外，比如设则有则有若若AB=BA则称矩阵则称矩阵A、B乘积乘积可交换可交换.13小结：小结：1. 1. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行 数时，两个矩阵才能相乘数时，两个矩阵才能相乘. .2. 2. 矩阵相乘不满足交换律，即一般来说矩阵相乘不满足交换律，即一般来说3. 3. 矩阵相乘不满足消去律，即一般来说矩阵相乘不满足消去律，即一般来说由由不能推出不能推出14
