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1、1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开董君良董君良北京工业大学北京工业大学 应用数理学院应用数理学院线性代数与解析几何线性代数与解析几何1优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开例如例如一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式2优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式例如例如定 义3优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）
2、展开引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那么这行列式等于外都为零，那么这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，即 4优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开证证当当 位于第一行第一列时位于第一行第一列时,即有从而5优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开得得再证一般情形再证一般情形,此时此时6优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开得得7优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开中的余子式中的余子式8优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（
3、列）展开于是有于是有9优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其素与其对应的代数余子式对应的代数余子式乘积之和，即乘积之和，即证证二、二、行列式按行（列）展开法则(Laplace 定理)10优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开11优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开例例1目的：降阶目的：降阶12优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 证证用数学归纳法用数学归纳法例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式13优讲课堂1.
4、5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开从最后一行开始，目的：降阶14优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式弄清楚代表的具体数值的确切含义例如，若求 的值数学归纳数学归纳法法15优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开推论推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证证16优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开同理同理相同相同17优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展
5、开代数余子式的性质小结代数余子式的性质小结:18优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开习题一 10（5）求解： 原式=降阶19优讲课堂Laplace 展开定理习题 13 （1）20优讲课堂Laplace 展开定理习题 13 （2）21优讲课堂Laplace 展开定理同理递推归纳22优讲课堂Laplace 展开定理习题 13 （3）23优讲课堂Laplace 展开定理习题 14 （1）利用归纳假设24优讲课堂Laplace 展开定理15.记4+1阶，加边升阶比较系数25优讲课堂Laplace 展开定理从而，由两边系数相等得即26优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列
6、）展开分块行列式分块行列式:证明：左边=27优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开例例证明证明记28优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开证明证明29优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开30优讲课堂1.5 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开行列式求解：把行列式化为上、下三角形行列式等特把行列式化为上、下三角形行列式等特殊形式；殊形式；2. 利用运算性质，利用运算性质，特别是性质特别是性质6：3. 利用利用Laplace展开定理，进行降阶处理：展开定理，进行降阶处理：1. 利用定义本身：适用于低阶的或者稀疏的； 包括对角线法则包括递推归纳等。31优讲课堂
