《2022年初三数学知识点汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年初三数学知识点汇总（33页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 第一章反比例函数知识点： 1. 定义：形如 yxk（k 为常数， k0）的函数称为反比例函数。其中x 是自变量， y 是函数，自变量x 的取值是不等于0 的一切实数。说明： 1）y 的取值范围是一切非零的实数。2）反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0 的常数，因此其解析式也可以写成 xy=k ；1kxy；xky1（k 为常数， k0）3）反比例函数 yxk（k 为常数， k0）的左边是函数，右边是分母为自变量x的分式，也就是说，分母不能是多项式， 只能是 x 的一次单项式，如xy1，xy213等都是反比例函数，但21xy就不是关于 x 的反比例函数。2. 用待定系数法求反比例函数
2、的解析式由于反比例函数yxk只有一个待定系数， 因此只需要知道一组对应值，就可以求出 k 的值，从而确定其解析式。3. 反比例函数的画法： 1）列表； 2）描点； 3）连线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 33 页2 注： （1）列表取值时， x0，因为 x0 函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以“ 0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y 值（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从
3、小到大的顺序连接，切忌画成折线（4）由于 x0，k0，所以 y0，函数图象永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴4. 图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。 有两条对称轴： 直线 y=x 和 y= x；对称中心是：原点5. 性质 : 反比例函数yxk（k 为常数， k0）k 的取值k0 k0 图像精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 33 页3 性质a)x 的取值范围是 x0；y 的取值范围是 y0; b)函数的图像两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内 y 值随 x
4、值的增大而增大。a)x 的取值范围是 x0；y 的取值范围是 y0; b)函数的图像两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内 y 值随 x 值的增大而减小。说明： 1）反比例函数的增减性不连续，在讨论函数增减问题时，必须有“在每一个象限内”这一条件。 2）反比例函数图像的两个分只可以无限地接近x 轴、y 轴，但与 x 轴、y轴没有交点。 3）越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大 4）对称性：图象关于原点对称， 即若（a，b）在双曲线的一支上， 则（，）在双曲线的另一支上图象关于直线对称，即若（ a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上6. 反比例函数 y
5、xk（k0）中的比例系数k 的几何意义表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。如图，过双曲线精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 33 页4 yxk（k0）上的任意一点P（x , y）做 x 轴、y 轴的垂线 PA 、PB ，所得矩形OBPA 的面积 S=PA PB= xy=k。推出：过双曲线上的任意一点做坐标轴的垂线，连接原点，所得三角形的面积为2k7. 经典例题考察：1）反比例关系与反比例函数的区别和联系：如果xy=k（k0） ，那么 x 与 y 这两个量成反比例的关系，这里的x、y 可以
6、表示单独的一个字母，也可以代表多项式或单项式。例如 y1 与 x+1 成反比例，则11xky；若 y 与 x2 成反比例，则2xky成反比例关系， x 和 y 不一定是反比例函数；但反比例函数xky（k0）必成反比例关系。2）坐标系中的求不规则图形的面积3）反比例函数与一次函数、正比例函数的综合题8 反比例函数与一次函数的联系精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 33 页5 （1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线与双曲线的关系：当时，两图象没有交点；当时，两图象必
7、有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称8. 实际问题与反比例函数的应用 1 ）步骤：分析问题，列解析式建立反比例函数模型利用反比例函数解决相关问题，建立反比例函数模型是解决问题的关键。思路：题目中已明确两变量的函数关系，常利用待定系数法求出函数解析式。题目中不能确定变量间的函数关系，找出等量关系，将变量联系起来就能得到函数关系式，并解决问题。 2 ）反比例函数的应用（1）反比例函数在几何问题中的应用。求实际问题中的面积精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 33 页6 （2）反比例函数在其他学科中的应用，a)物理学中，电压一
8、定时，电阻R与电流强度 I 成反比例函数，RUIb)当在一个可以改变体积的容器中装入一定质量的气体时，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度（单位： kg/m3）是体积v的反比例函数，解析式可以表达为vkc)收音机刻度盘的波长l与频率f关系式 : fkld)压力 F一定时，压强 P与受力面积 S成反比例关系，即SFPe)当汽车输出功率 P一定时， 汽车行驶速度v与汽车所受的负载即阻力F成反比例关系，FPv(3) 反比例函数在日常生活中的应用：路程问题、工程问题等。注：实际问题中一定要注意自变量x 的取值范围。重点：反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质的理解、掌握和运
9、用难点：（1）反比例函数及其图象的性质的理解和掌握反比例函数的图像是双曲线，在利用它的增、减性解题时，必须注意“在每一象限内”的条件。（2）反比例函数的应用：从实际问题中抽象出反比例函数的模型。用待定系数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 33 页7 法求出反比例函数的解析式，再用反比例函数的规律解决实际问题。考点：与反比例函数有关的问题， 几乎在历届中考中都可以找到。 其主要命题点为： （1）反比例函数的定义；（2）反比例函数的图像及性质；（3）求反比例函数的解析式；（4）反比例函数与实际问题的应用； （5）反比例函数与一
10、次函数的综合。题型主要有选择题、填空题、还有解答题。二次函数知识点：1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数. 2. 二次函数2axy的性质(1) 抛物线2axy）（0a的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. (2) 函数2axy的图像与a的符号关系 . 0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于 (包括重合 )y轴的抛物线 . 4. 二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：2a
11、xy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 33 页8 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴(或重合 ) 的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0x. 7. 顶点决定抛物线的位置 . 几个不同的二次函数， 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法(1) 公式法：abacab
12、xacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. (2) 配方法：运用配方法将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是hx. (3) 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用(1)a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . (2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置 . 由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2,
13、故：0b时，对称轴为y轴；0ab(即a、b同号)时, 对称轴在y轴左侧；0ab(即a、b异号)时, 对称轴在y轴右侧. cbxaxy2(3)c的大小决定抛物线与y轴交点的位置 . 当0x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点 (0 ，c)：0c，抛物线经过原点 ; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 33 页9 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴
14、顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0x(y轴) (0,0) kaxy20x(y轴) (0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系数法求二次函数的解析式(1) 一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式 . (2) 顶点式：khxay2. 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. (3) 交点式： 已知图像与x轴的交点坐标1x、2x， 通常选用交点式：21xxxxay. 12. 直线与抛物线的交点(1)y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (c,0) (2) 与y轴平
15、行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). (3) 抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 33 页10 有一个交点 (顶点在x轴上)0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . (4) 平行于x轴的直线与抛物线的交点同(3) 一样可能有 0 个交点、 1 个交点、2 个交点
16、 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . (5) 一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点. (6) 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB44422212212212113二次函数与一元二次方程
17、的关系：(1) 一元二次方程cbxaxy2就是二次函数cbxaxy2当函数 y 的值为 0 时的情况(2) 二次函数cbxaxy2的图象与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有交点时，交点的横坐标就是当0y时自变量x的值，即一元二次方程02cbxax的根(3) 当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有两个交点时，则一元二次方程cbxaxy2有两个不相等的实数根；当二次函数cbxaxy2的图象与x轴有一个交点时，则一元二次方程02cbxax有两个相等的实数根；当二次函精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
18、- - - -第 10 页，共 33 页11 数cbxaxy2的图象与x轴没有交点时，则一元二次方程02cbxax没有实数根14、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于x轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 2. 关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于y轴对称后，得到的解析式是2ya xhk； 3. 关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2ya xhk关于原点对称后，得到
19、的解析式是2ya xhk；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180）2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2ya xhk关于顶点对称后，得到的解析式是2ya xhk精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 33 页12 5. 关于点mn，对称2ya xhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222ya xhmnk根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（
20、或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式15. 二次函数的应用：(1) 二次函数常用来解决最优化问题，这类问题实际上就是求函数的最大( 小)值；(2) 二次函数的应用包括以下方面：分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系；运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小) 值15. 解决实际问题时的基本思路：(1) 理解问题； (2) 分析问题中的变量和常量；(3) 用函数表达式表示出它们之间的关系；(4) 利用二次函数的有关性质进行求解；(5) 检验结果的合理性，对问题加以拓展等重难点：二次函数的图像与性质，二次
21、函数与一元二次方程的关系，用二次函数解决实际问题。考点：二次函数在中考中占有很重要的地位，是中考中的必考内容。中考的主要命题点为： （1）求二次函数的关系式（ 2）抛物线的顶点、开口方向和对称轴（3）二次精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 33 页13 函数的最大（小）值（ 4）抛物线2yaxbxc（a0）与 a,b,c 的符号（ 5）二次函数与一元二次方程（ 6）二次函数的简单实际问题等。题型主要有选择题、填空题、解答题，还有探究题和开放题。有关二次函数的热点问题仍然是函数型应用题与方程、几何知识、三角函数等知识综合在一
22、起的综合题、探究题和开放题。圆的基本性质知识点：1. 圆的有关概念（1）圆心、半圆、同心圆、等圆、弦与弧。（2）直径是经过圆心的弦。是圆中最长的弦。弧是圆的一部分。2. 圆周角与圆心角（1）一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（2）圆周角与半圆或直径：半圆或直径所对的圆周角是直角；90圆周角所对的弦是圆的直径。（3）圆周角与半圆或等弧：同弧或等弧所对的圆周角相等；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 33 页14 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。3. 圆的对称性（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。（
23、2）圆的旋转不变性：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其他各组量分别相等。（3）圆的轴对称性：经过圆心都的任意一条直线都是它的对称轴。垂径定理是研究有关圆的知识的基础。垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。还可以概括为：如果有一条直线,1. 垂直于弦； 2. 经过圆心； 3. 平分弦（非直径）；4. 平分弦所对的优弧；5. 平分弦所对的劣弧，同时具备其中任意两个条件，那么就可以得到其他三个结论。4. 弧长及扇形的面积弧长公式：圆弧是圆的一部分，若将圆周分为360 份，1的圆心角所对的弧是圆周长的1360，因为半径为 r 的圆周长是
24、2 r ，所以 n的圆心角所对的弧长l的计算公式为2360180nn rlr（其中，l为弧长，n 为弧所对的圆心角度数， r 为弧所在圆的半径）扇形的面积公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 33 页15 1扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，如图，AB和半径 OA 、OB所组成的图形是一个扇形，读作扇形OAB 2扇形的周长扇形的周长等于弧长与两半径的长之和，即2RABll扇形3扇形是圆面的一部分， 若将半径为 r 的圆分为 360 份，圆心角 1的扇形面积是圆面积的1360， 因为半径
25、为 r 的圆的面积是2r， 所以半径为 r， 圆心角为 n的扇形面积为2360n rS4弧长为l，半径为 r 的扇形面积为21136021802n rn rSrlr5扇形面积的应用（求圆的一部分的面积）：5. 圆锥的侧面积和全面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图，设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r，那么这个圆锥的侧面展开图中扇形的半径即为母线长l ，扇形的弧长即为底面圆的周长 2r，根据扇形面积公式可知S212r l rl 因此圆锥的侧面积为 S侧rl 圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积，全面积为S全=r2+rl 重点：1. 弦和弧的概念、弧的表示方法和点与圆的位置关系。2. 用尺规
26、作图法对不在同一直线上的三个点作圆。3. 垂径定理。（重中之重：“垂直于弦的直径平分弦和弧”经常考）4. 扇形弧长和面积、圆锥侧面积和体积的计算。难点：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 33 页16 1. 对“不在同一直线上的三个点确定一个圆”中的存在性和唯一性的理解2. 圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想像能力3. 类似蚂蚁爬圆锥的计算问题。4. 有关圆的无图多解问题。考点：1 垂直于弦的直径2 圆周角定理及其推论3 圆内接四边形4 圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系5 圆的性质综合题相似三角形知识点：
27、1 相似图形形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. 2 比例线段的相关概念如果选用同一单位量得两条线段ba,的长度分别为nm,，那么就说这两条线段的比是nmba，或写成nmba:注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位在四条线段dcba,中，如果ba和的比等于dc和的比，那么这四条线段dcba,叫做成比例线段，简称比例线段注意：(1)当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 33 页17 (2) 比例线段是有顺序的， 如果说a
28、是dcb,的第四比例项，那么应得比例式为：adcb3 比例的性质基本性质：(1)bcaddcba:；(2)bacbcca2:注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bcad，除了可化为dcba:，还可化为dbca:，badc:，cadb:，cdab:，bdac:，abcd:，acbd:更比性质 (交换比例的内项或外项 )：()()()abcdacdcbdbadbca， 交换内项， 交换外项 同时交换内外项反比性质 (把比的前项、后项交换 )：cdabdcba合比性质：ddcbbadcba注意：实际上，比例的合比性质可扩展为： 比例式中等号左右两个比的前项，后项之
29、间发生同样和差变化比例仍成立如：dcdcbabaccdaabdcba等等等比性质：如果)0(nfdbnmfedcba，那么banfdbmeca注意：(1)此性质的证明运用了“设k法” ，这种方法是有关比例计算，变形中精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 33 页18 一种常用方法(2) 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零(3) 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立如：bafdbecafedcbafedcba32323322；其中032fdb4 比例线段的有关定理平行线分线段成比例
30、定理： 三条平行线截两条直线， 所得的对应线段成比例推论：(1) 平行于三角形一边的直线截其它两边( 或两边的延长线 )所得的对应线段成比例(2) 平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线 ) 所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形第三边5 黄金分割把线段AB分成两条线段)(,BCACBCAC，且使AC是BCAB和的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中ABAC2150.618AB6 相似三角形的概念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符号“”表
31、示，读作“相似于”相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数 ) 相似三角形对应角相等，对应边成比例注意：对应性：即两个三角形相似时，通常把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的两个三角形形状一样，但大小不一定一样全等三角形是相似比为1 的相似三角形二者的区别在于全等要求对应边精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 33 页19 相等，而相似要求对应边成比例7 相似三角形的基本定理定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线 ) 相交，所构成的
32、三角形与原三角形相似定理的基本图形：用数学语言表述是：BCDE /，ADEABC8 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC有ABCABC(2)对称性：若ABCCBA，则CBAABC(3)传递性：若ABCCBA，且CBACBA，则ABCCBA9 三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线 )相交，所构成的三角形与原三角形相似精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 33 页20 3、 判定定理 1： 如果一个三角形的两个角与另一个三
33、角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似简述为：三边对应成比例，两三角形相似6、判定直角三角形相似的方法：(1) 以上各种判定均适用(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似(3) 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似直角三
34、角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。公式如图， RtABC中， BAC=90 ， AD是斜边 BC上的高，则有射影定理如下：（1）（ AD ）2=BD DC ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 33 页21 （2）（ AB）2=BD BC ，（3）（ AC ）2=CD BC 。证明：在BAD与 ACD中， B+C=90， DAC+ C=90， B=DAC，又 BDA= ADC=90 ， BAD ACD相似， AD/BDCD/AD，即（AD ）2=BD
35、 DC 。其余类似可证。注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得：（AB ）2+（AC ）2=BD BC+CD BC =（BD+CD) BC= （BC ）2，即 （AB）2+（AC ）2=（BC ）2。这就是勾股定理的结论。10 相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比(3)相似三角形周长的比等于相似比(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方(5) 相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等11 相似多边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总
36、结 - - - - - - -第 21 页，共 33 页22 如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比(相似系数 ) 12 相似多边形的性质(1) 相似多边形周长比，对应对角线的比等于相似比(2) 相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比(3) 相似多边形面积比等于相似比的平方注意：相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键13 与位似图形有关的概念1. 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形. 2. 这个点叫做
37、位似中心，这时的相似比又称为位似比. 拓展：（1） 位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点 . （2） 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形. （3） 位似图形的对应边互相平行或共线. 14 位似图形的性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比. 拓展：位似图形有许多性质，它具有相似图形的所有性质. 15 画位似图形1. 画位似图形的一般步骤：（1） 确定位似中心（2） 分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. （3） 根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. （4） 顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个
38、放大或缩小的图形. 2. 位似中心的选取：（1） 位似中心可以在图形外部，此时位似中心在两个图形中间，或在两个图形之外 . （2） 位似中心可取在多边形的一条边上. （3） 位似中心可取在多边形的某一顶点上. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 33 页23 说明：位似中心的选取决定了位似图形的位置，以上位似中心位置的选取中，每一种方法都能把一个图形放大或缩小. 16 相似三角形常见的图形（1）若 DE BC （A型和 X型）则 ADE ABC （2）射影定理若 CD为 RtABC斜边上的高（双直角图形）则 RtABC R
39、tACD RtCBD 且 AC2=AD AB ，CD2=AD BD ，BC2=BD AB；EADCBEADCBADCB（3）满足 1、AC2=AD AB ，2、ACD= B，3、ACB= ADC ，都可判定ADC ACB （4）当ADAEACAB或 AD AB=AC AE时，ADE ACB ADCBEADCB（3）（4）重点：相似三角形的判定方法及相似三角形的有关性质难点：相似三角形性质的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 33 页24 考点：图形的相似是平面几何中极为重要的内容。中考的主要命题点为：（1）比例的性质和
40、黄金分割（2）相似三角形的定义及相似三角形的判定（3）相似三角形的性质及其应用（4）相似多边形的定义和性质（5）位似图形及其作图等。题型主要为选择题、填空题、解答题等，选择题、填空题将注重“相似三角的判定与性质”等基础知识的考查，将在解答题中加大知识的横向与纵向联系及应用问题的力度。九下第一章解直角三角形知识点：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 33 页25 一、锐角三角函数的定义：在RT ABC中，C=90 ，a、b、c分别是 A、B、C的对边，则：sinAaAc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边tanAaAAb的对边
41、的邻边常用变形：sinacA；sinacA等，由同学们自行归纳。二、锐角三角函数的有关性质：1、当 0A90 时，0sin1A；0cos1A；tan0A；2、在 090之间，正弦、正切（sin、tan）的值，随角度的增大而增大；余弦（cos）的值，随角度的增大而减小。三、同角三角函数的关系：22sincos1AAtancot1AAsintancosAAA常用变形：2sin1cosAA2cos1sinAA（用定义证明， 易得，同学自行完成）四、正弦与余弦，正切与余切的转换关系：如图 1，由定义可得：sincoscos(90)aABAc同理可得：sincos(90)AAcossin(90)AA t
42、ancot(90)AA五、特殊角的三角函数值：三角函数sincostan6030321BCA45222BCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 33 页26 301232334522221 6032123六、解直角三角形的基本类型及其解法总结：重点：一、三角函数1特殊角的三角函数值：030456090sin 类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab，tanaAb，90BA直角边a， 斜边c22bca，sinaAc，90BA一边一锐角直角边a，锐角A 90BA，cotbaA，sinacA斜边c，锐角 A 90BA，sin
43、acA，cosbcA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 33 页27 costg / 2互余两角的三角函数关系：sin(90 - )=cos; 3三角函数值随角度变化的关系二、解直角三角形1定义：已知边和角（两个，其中必有一边）所有未知的边和角。2依据：边的关系：222cba角的关系： A+B=90 边角关系：三角函数的定义。注意：尽量避免使用中间数据和除法。三、对实际问题的处理精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 33 页28 1俯、仰角：2方位角、象
44、限角：3坡度：4在两个直角三角形中，都缺解直角三角形的条件时， 可用列方程的办法解决。难点：1、锐角三角函数的概念2、直角三角形的解法3、三角函数在解直角三角形中的灵活运用考点：仰角俯角北东西南h l i i=h/l=tg 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 33 页29 1中考重点考查正弦、余弦的基本概念和求特殊角的三角函数值，及利用正弦和余弦解决一些比较简单的直角三角形问题2中考侧重考查求特殊角的正切值、余切值，利用正切求线段的长以及综合应用三角函数解决测量问题3考查三角形的边角关系是中考常见题型，解决此类问题的方法是
45、将一般图形转化为解直角三角形的知识来解决。有时需要添加辅助线4中考中的三角函数与圆的综合题是热点题型解决这类问题的方法是利用勾股定理、锐角三角函数关系式5中考解直角三角形应用问题大多是以计算题的形式出现也是中考的热点题型九下第二章直线与圆，圆与圆的位置关系知识点：1. 直线与圆有三种位置关系（1）相交直线与圆有两个公共点时，我们说直线与圆相交。（2）相切直线与圆有唯一的公共点时，我们说直线与圆相切。这条直线叫圆的切线，公共点叫切点。（3）相离直线与圆没有公共点时，我们说直线与圆相离。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 33
46、 页30 （4） 一般地，直线与圆的位置关系有下面的性质：若圆的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，那么rd直线与圆相交rd直线与圆相切rd直线与圆相离2. 切线的判定与性质（1）判定定理经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线。（2）性质定理经过切点的半径垂直于圆的切线。经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。3.1 三角形的内切圆1定义与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，圆心叫三角形的内心，三角形叫圆的外切三角形。2. 内心性质内心是三角形角平分线的交点，内心到三角形三边距离相等。3.2 圆与圆的位置关系1. 相切（1） 两圆有唯一的公共点时，我们说两圆相切，公共点叫切点。相切可分为
47、外切与内切精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 33 页31 外切：两圆相切，除切点外，一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们说两圆外切。内切：两圆相切，除切点外，一个圆上的点都在另一个圆的内部，我们说两圆内切。（2） 两圆相切有下面的性质：若两圆相切，那么切点一定在连心线上。设两个圆的半径为R和r（rR） ，圆心距为d，则：rRd两圆外切rRd两圆内切2. 相交（1） 两圆有两个公共点时，我们说两圆相交。（2） 性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。3. 相离（1）两圆没有公共点时，我们说两圆相离。相离可以分为外离与内
48、含。外离：一个圆上的点都在另一个圆的外部，我们说两圆外离。内含：一个圆上的点都在另一个圆的内部，我们说两圆内含。（2）两圆相离有下面的性质：设两个圆的半径为R和r，圆心距为d，则：)(rRrRdrR两圆相交rRd两圆外离)(rRrRd两圆内含精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 31 页，共 33 页32 重点：1. 直线与圆、圆与圆位置关系、性质及其判定方法。 2.切线的判定和性质。 3三角形内心的定义及性质。难点： 直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用。考点：本章内容是中考的必考内容，主要考查直线与圆、圆与圆位置关系的判定及应用，切
49、线的判定及性质，题型以填空，选择和解答为主，也有开放探索题的新的题型，分值一般在610 分九下第三章简单事件的概率知识点：1. 事件的概率如果事件发生的各种结果的可能性相同，结果总数为n, 其中事件A发生的可能性的结果总数为)(nmm，那么事件A发生的概率为nmAp)(（1）必然事件发生的概率为1，记作1p（2）不可能事件的概率为0，记作0p（3）不确定事件发生的概率记作10p2. 可以通过大量反复实验， 用一个事件发生的频率来估计这个事件发生的概率。3. 概率的预测精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 32 页，共 33 页33 求一个事件的概率的途径一般有三种：（1）主观经验估计（2）实验估计（3）根据树状图或列表法分析预测概率重点：1、在具体情节中理解概率的含义，运用列举法（树状图和列表）计算简单事件的概率2、确定事件（必然事件、不可能事件）和不确定事件的概念。3、根据实验数据获得事件发生的概率，知道大量重复试验的频率作为事件发生概率的估计值。难点： 运用列举法（树状图和列表）计算简单事件的概率考点： 主要考查各种事件的分类，各种事件发生的可能性的大小及判别游戏规则的公平性精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 33 页，共 33 页
