《向量的数量积2020-2021学年高一数学（人教A版必修第二册）课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《向量的数量积2020-2021学年高一数学（人教A版必修第二册）课件（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、6.2.4向量的数量积物理中我们学过功的概念，一个物体在力物理中我们学过功的概念，一个物体在力 的作用的作用下产生位移下产生位移 （如图）（如图）力力 所做的功所做的功W W可用下式计算可用下式计算: : 其中其中是是 与与 的夹角的夹角. .当当0 09090时，时，W W0, 0, 即力即力F F做正功；做正功；当当9090时，时，W W0 0，即力，即力F F不做功；不做功；当当9090180180时，时，W W0 0，即力，即力F F做负功做负功. .从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念. .两个非零向量两个非零向量 和和 ，作，作
2、， ，则，则 （ ）叫作向量）叫作向量 与与 的夹角的夹角OAB思考思考1 1 如何定义向量的夹角？如何定义向量的夹角？计算向量的夹角时要计算向量的夹角时要将两个向量起点放在将两个向量起点放在一起一起. .探究点探究点1 1 向量的数量积向量的数量积OAB若若 ， 与与 同向同向OAB若若 ， 与与 反向反向OAB若若 ， 与与 垂直垂直，记作记作由于零向量的方向是任由于零向量的方向是任意的，为方便起见，意的，为方便起见，规定规定: :零向量可与任一零向量可与任一向量垂直向量垂直. . ，过点，过点B B 作作BBBB1 1垂直于直线垂直于直线OAOA，垂足为垂足为B B1 1，则，则| |
3、cos叫作向量叫作向量 在在 方向方向上的上的射影射影( (也叫也叫投影投影) )当当为锐角时，为锐角时，| | cos_0思考思考2 2 什么是向量的射影？什么是向量的射影？OABB1OBA当当=0=0时，时， | | |cos|cos=_=_| |当当为钝角时，为钝角时，| | | | coscos_0.0.当当为直角时，为直角时，| | |cos|cos_0 0= =BOAOABOBA当当=180=180时，时， | | | cos| cos=_=_B1物理实例中，与位移物理实例中，与位移 方向一致的分力方向一致的分力 的长度为的长度为 coscos，即是力，即是力 在在 方向上的射影方
4、向上的射影. .- -| |2两个向量的数量积是一个实数，符号由两个向量的数量积是一个实数，符号由cosa，b的符号所决定；而数乘向量是一个的符号所决定；而数乘向量是一个向量。向量。OABabOABab为锐角时，为锐角时，| b | cos0为钝角时，为钝角时，| b | cos0为直角时，为直角时，| b | cos=0BOAab量的数量积为03.规定零向量与任意向4. a b不能写成不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算表示向量的另一种运算两个向量的数量积的性质：设设a、b为两个非零向量，为两个非零向量，e是与是与b的单位向量的单位向量.1. e a = a e =|a|cos ;2.
5、 a b a b = 03. a a = |a|2或或4. cos = ；5.|a b| |a|.|b| .内积为零是判定两向量垂直的条件内积为零是判定两向量垂直的条件用于计算向量的模用于计算向量的模用于计算向量的夹角用于计算向量的夹角,以及判断三角形的形状以及判断三角形的形状结论：结论：已知两个向量已知两个向量 与与 ，它们的夹角为，它们的夹角为，我们把，我们把| | |cos| | |cos叫作叫作 与与 的的数量积数量积（或内积）（或内积）. .记作记作 =| | | cos =| | | cos注意：向量注意：向量的数量积是的数量积是一个数量一个数量. .特别地特别地: :零向量与任一
6、向量零向量与任一向量 的数量积为的数量积为0.0. 已知已知 =(1,1), =(2,0), =(1,1), =(2,0), 与与 的夹角的夹角= = 4545. . 求求 . .例例1 1 已知已知| |=3| |=3，| |=4| |=4，且，且 与与 的夹角的夹角=150=150，求，求 . .解：解： =| | |cos =| | |cos=3=34 4cos150cos150 =3 =34 4（- - ）= =6 6解：解： | | = , | |=2, | | = , | |=2, =45=45, ,所以所以 =| | |cos =| | |cos= = 2 2cos45cos45
7、= 2.= 2.思考思考4 4 数量积的几何意义是什么？数量积的几何意义是什么？特别提醒：特别提醒：1.1.2.2.若若 是单位向量是单位向量, ,则则单单 位位 向向 量量是是 一一 种种 特特殊殊 的的 向向 量量哟！哟！重要性质：重要性质：1.1.若若 是单位向量，则：是单位向量，则：2.2.3.3.4.4.5.5.当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立. . 思考思考5 5 数量积的物理意义是什么？数量积的物理意义是什么？反之成立吗？反之成立吗？解答：解答：不成立不成立. .解答：解答：成立成立. .思考：思考：探究点探究点2 2 向量的数量积的运算律向量的数量积的运算律练习：练习：判
8、断下列说法的正误判断下列说法的正误3 3若若 ， = =0，则则 = = 2 2若若 ，则对任一非零向量则对任一非零向量 ,有有 01 1若若 = = ，则对任一向量则对任一向量 ，有有 = = 0 4 4若若 = =0，则则 , , 中至少有一个为中至少有一个为 5 5若若 ， = = ，则则 = 6 6若若 = = , ,且且 , ,当且仅当当且仅当 = = 时成立时成立7 7对任意向量对任意向量 有有例例2 2 在在ABCABC中，设边中，设边BCBC，CACA，ABAB的长度分别为的长度分别为a，b，c，证明：，证明：a a =b=b +c+c2 bccosA2 bccosA，b b
9、=c=c +a+a2cacosB2cacosB，c c =a=a +b+b2abcosC.2abcosC.AacbCB证明：证明：设设 则则同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理. .=b=b +c+c2 bccosA.2 bccosA.例例3 3 证明菱形的两条对角线互相垂直证明菱形的两条对角线互相垂直. .证明：证明：菱形菱形ABCDABCD中，中，AB=ADAB=AD，由于，由于可得可得=0=0，所以所以，即菱形的两条对角线互相垂直即菱形的两条对角线互相垂直. .ABCDO证明线段垂直的方法：证明线段垂直的方法：1.1.取两个不共线的向量
10、作基底取两个不共线的向量作基底. .2.2.将要证明的向量用这两个向量表示将要证明的向量用这两个向量表示. .3.3.利用利用 进行证明进行证明. .【提升总结提升总结】例例4 4 已知单位向量已知单位向量 , , 的夹角为的夹角为6060，求向量，求向量 , , 的夹角的夹角. .解：解：由单位向量由单位向量 , , 的夹角为的夹角为6060，得，得所以所以 所以所以 又又设设 与与 的夹角为的夹角为 ， 由由可得可得又又 所以所以 . . 即向量即向量 与与 的夹角为的夹角为 . .例例2.已知已知|a|=5，|b|=4，=120，求，求ab.解：解： a b =|a|b|cos =54c
11、os120 = 10. 练习2 已知已知|a|，|b|，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求abab时，时， ab =18；ab时，时，ab=0； a与与b的夹角是的夹角是60时，时，ab=9.例3、)(且方向相反平行与,2CDAB,)(.603的夹角是与ADAB练习练习3 3已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是(
12、1)A 锐角三角形锐角三角形C 钝角三角形钝角三角形D 不能确定不能确定B 直角三角形直角三角形DCA A 锐角三角形锐角三角形B B 直角三角形直角三角形C C 钝角三角形钝角三角形D D 不能确定不能确定判断下列命题是否正确判断下列命题是否正确1.若若a=0,则对任意向量则对任意向量b，有，有a b=0.2.若若a0,则对任意非零向量则对任意非零向量b，有，有a b0.3.若若a0,且且a b=0,则则b=0.4.若若ab=0，则，则a=0或或b=0.5.对任意的向量对任意的向量a，有，有a2=a2.6.若若a0,且且a b=a c,则则b=c.( )()( )()()()练习练习4 4课
13、堂小结课堂小结1.两个向量的夹角2.向量在轴上的正射影 正射影的数量3.向量的数量积（内积） ab=4.两个向量的数量积的性质：(1). ab ab = 0(2). aa = |a|2或(3). cos =范围0a ，b；1.1.判断下列说法的正误判断下列说法的正误: :（1 1）平面向量的数量积可以比较大小）平面向量的数量积可以比较大小. (. ( ) )（2 2） ( ( ) )（3 3）已知）已知 为非零向量为非零向量, ,因为因为0 0 = = ， = 0, = 0, 所以所以 = ( = ( ) ) (4) ( (4) ( ) )2.ABC2.ABC中，中， 则该三角形为则该三角形为
14、( )( )A.A.锐角三角形锐角三角形 B.B.直角三角形直角三角形C.C.钝角三角形钝角三角形 D.D.不能确定不能确定【解析解析】由由 知知ABCABC为锐角；为锐角；由由 知知,ACB,ACB为钝角为钝角. .C C3.3.在在ABCABC中，中，M M是线段是线段BCBC的中点，的中点，AM=3AM=3，BC=10BC=10，则则_.-16 -16 -2-24.4.若若|a|=1,|b|=2|a|=1,|b|=2，且，且a a，b b反向，则反向，则a ab=_.b=_.解：解：6.已知已知|a|=5，|b|=4，=120，求，求ab.解：解： a b =|a|b|cos =54co
15、s120 = 10. 7 已知已知|a|，|b|，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求abab时，时， ab =18；ab时，时，ab=0； a与与b的夹角是的夹角是60时，时，ab=9.已知已知|a|=3, |b|=5，且，且ab=12，求，求a在在b方向方向上的正射影的数量及上的正射影的数量及b在在a方向上的正射影的方向上的正射影的数量。数量。解：因为解：因为所以所以a在在b方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是b在在a方向上的正射影的数量是方向上的正射影的数量是课堂小结课堂小结1.两个向量的夹角2.向量在轴上的正射影 正射影的数量3.向量的数量积（内积） ab=4.两个向量的数量积的性质：(1). ab ab = 0(2). aa = |a|2或(3). cos =范围0a ，b；
