《3-第3章-单自由度体系的振动分析汇总》由会员分享，可在线阅读，更多相关《3-第3章-单自由度体系的振动分析汇总（67页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第 3 章章 单自由度体系的振动分析单自由度体系的振动分析3.1 单自由度体系的自由振动分析单自由度体系的自由振动分析 3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 3.1.2 阻尼自由振动阻尼自由振动 3.1.3 确定体系阻尼比的一种方法确定体系阻尼比的一种方法3.2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动 3.2.1 简谐荷载作用下的动力响应分析简谐荷载作用下的动力响应分析 3.2.2 周期荷载作用下的动力响应分析周期荷载作用下的动力响应分析 3.2.3 任意荷载作用下的动力响应分析任意荷载作用下的动力响应分析 3.2.4 突加荷载作用下的动力响应分析突加荷载作用下的动力响应分析 3.2.
2、5 矩形脉冲荷载作用下的动力响应分析矩形脉冲荷载作用下的动力响应分析 3.2.6 三角形脉冲荷载作用下结构的动力响应三角形脉冲荷载作用下结构的动力响应3.1 单自由度体系的自由振动分析单自由度体系的自由振动分析最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系最简单的由刚体、弹簧和阻尼器组成的单自由度体系. 已经得到单自由度体系的运动方程：已经得到单自由度体系的运动方程：（3-1）这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复这个运动方程也适用于可转换为单自由度体系的任何复杂结构体系的广义坐标反应。杂结构体系的广义坐标反应。 （3-2）运动方程：运动方程： 等效动荷载为零的情况下的振动称为等效动
3、荷载为零的情况下的振动称为自由振动自由振动。定义定义自由振动产生的原因：自由振动产生的原因：初始时刻的干扰！初始时刻的干扰！ 初始位移；初始速度；初始位移初始位移；初始速度；初始位移+ +初始速度初始速度结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，结构受外部干扰后发生振动，而在干扰消失后继续振动，这种振动称为结构的这种振动称为结构的自由振动自由振动。(第二章）第二章）如果去掉外荷载如果去掉外荷载FP(t)=0!（3-23-2）称为（二阶线性常系数）称为（二阶线性常系数）齐次方程；齐次方程； （3-2）齐次方程：齐次方程： 可设齐次方程解的形式为：可设齐次方程解的形式为： （3-3） 其特
4、征方程为：其特征方程为： 或：或： 代入（代入（3-23-2）可得：）可得： （3-4）齐次方程求解：齐次方程求解： 式中式中w w2=k/m，w w是体系振动的是体系振动的圆频率圆频率。根据阻尼系数根据阻尼系数c c值的不同，解出的特征参数值的不同，解出的特征参数s s 值将具有不同值将具有不同的特性。的特性。 3.1.1 无阻尼自由振动无阻尼自由振动If c=0： 特征方程：特征方程： （3-2）自由振动方程：自由振动方程： （3-9） 引入引入Euler方程：方程： 代入代入(3-2)得：得： （3-10）A和和B是由初始条件决定的常数。是由初始条件决定的常数。得无阻尼得无阻尼自由振动的
5、自由振动的位移反应：位移反应： （3-12）设设t=0时：时：代入：代入：代入：代入：单自由度无阻尼体系运动方程的解：单自由度无阻尼体系运动方程的解：（3-13）或写成：或写成：（3-14）位移反应：位移反应： （3-12）（3-13）三角关系：三角关系：对比对比(3-13)： b w wt ; a q q显然有：显然有：证明：证明：可写成：可写成：（3-14）（3-13）（3-14）物理意义：物理意义： （3-13）（3-14）物理意义：物理意义： 定义对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称对于无阻尼体系，运动完全是反复进行的。运动的最大位移称为为振幅振幅。运动完成一个完整循
6、环所需时间称为运动完成一个完整循环所需时间称为自振周期自振周期，由于对应每个由于对应每个角增量角增量 2p p 便发生一个完整循环，自振周期就是便发生一个完整循环，自振周期就是： 单位时间内的循环次数称为单位时间内的循环次数称为自振频率自振频率： 运动的角速度称为自振运动的角速度称为自振圆频率圆频率：牢记简支梁的自振频率简支梁的自振频率已知：已知：由第由第2 2章我们已经推导出用柔度表示的简支梁的运动方程：章我们已经推导出用柔度表示的简支梁的运动方程： （2-5） 令体系的令体系的等效动荷载等效动荷载FE(t)=0，则则简支梁的自由振动方程为：简支梁的自由振动方程为： 根据定义：等效动荷载为零
7、的情况下产生的振动称为根据定义：等效动荷载为零的情况下产生的振动称为自由振动自由振动。，则可导出：，则可导出：简支梁自振频率的这些表达式说明：简支梁自振频率的这些表达式说明： d d为为在质量自由度方向加单位力所引起的位移在质量自由度方向加单位力所引起的位移！ D Dstst表示表示由于重力由于重力mg引起的静力位移引起的静力位移！对单自由度体系，自振频率可以用刚度对单自由度体系，自振频率可以用刚度k、柔度柔度d d 或静或静挠度挠度D Dstst按上式计算；按上式计算；简支梁的自振频率简支梁的自振频率w w是结构刚度是结构刚度k 和质量和质量m 决定的固有决定的固有特性；特性；结构的自振频率
8、结构的自振频率w w 随刚度随刚度k 增大而增大；随质量增大而增大；随质量m 增大增大而减小；而减小；结构的自振频率结构的自振频率w w 随静挠度随静挠度D Dstst增大而减小。增大而减小。例例3-0 比较图示三种单自由度梁的圆频率。比较图示三种单自由度梁的圆频率。梁的自振频率为：梁的自振频率为： 解解 按各梁的单位弯矩图，求梁的按各梁的单位弯矩图，求梁的d d：三种情况的频率：三种情况的频率：三种情况的频率比：三种情况的频率比：3.1.2 阻尼自由振动阻尼自由振动对于有阻尼的单自由度体系对于有阻尼的单自由度体系 特征方程：特征方程： （3-2）自由振动方程：自由振动方程： 则：则： 随着根
9、号中值的符号的不同，这个表达式可以描述随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界临界阻尼、低阻尼阻尼、低阻尼和和超阻尼超阻尼三种体系的运动型式。三种体系的运动型式。本课程只讲本课程只讲临界阻尼临界阻尼和和低阻尼低阻尼两种情况。两种情况。1.1.临界阻尼临界阻尼当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记，记作作cc。显然，应有显然，应有cc/2m=w w，即：即： 特征方程：特征方程： 这时，对应的这时，对应的s 值为值为 ： （3-2）自由振动方程：自由振动方程： 临界阻尼自由振动方程的解为：临界阻尼自由振动方程的解为： （3-15）（3-16）
10、由初始条件：由初始条件：得到得到临界阻尼体系反界阻尼体系反应的最的最终形式：形式： 临界阻尼位移解：临界阻尼位移解： 临界阻尼体系反界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减，回复到零点。依照指数规律衰减，回复到零点。 临界阻尼临界阻尼的物理意义的物理意义是：是：在自由振动反应在自由振动反应中不出现震荡所需要中不出现震荡所需要的最小阻尼值的最小阻尼值。 速度解：速度解： （3-16）2.2.低阻尼低阻尼 特征方程：特征方程： （3-2）自由振动方程：自由振动方程： 如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有如果体系的阻尼比临界阻尼小，
11、则显然有c/2mw w ，这时，特征这时，特征方程根式中的值必然为负值，则方程根式中的值必然为负值，则s 值成为值成为： 引入符号引入符号： 其中其中x x 表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为表示体系阻尼与临界阻尼的比值，称为阻尼比阻尼比，则：，则： 成为：成为： 低阻尼自由振动方程：低阻尼自由振动方程： 的解为：的解为： 引入引入Euler方程：方程： 引入符号引入符号： 其中其中w wd 称为有称为有阻尼振动频率阻尼振动频率。则则 （3-18）则则 利用初始条件：利用初始条件：得到得到低低阻尼体系阻尼体系动力动力反反应的最的最终形式形式： （3-18）写成矢量表达式：写成矢量表达式：运动的
12、振幅（矢量的模）和初相位分别为：运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为： （3-20）低低阻尼体系阻尼体系动力动力反反应： 物理意义：物理意义： 低阻尼体系的自由振动具有低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率不变的圆频率w wd ，并围绕中并围绕中心位置振荡，而其振幅则心位置振荡，而其振幅则随时间随时间呈指数呈指数e-xwxwt 衰减衰减。如果。如果反应的时间足够长，最终会衰减到零。反应的时间足够长，最终会衰减到零。 确定体系阻尼比的一种方法确定体系阻尼比的一种方法体系的阻尼比可以通过测试体体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：系运动的衰减规律得到：阻尼体系动力反应：阻尼体系动力反应：体
13、系从任一时刻经几个周期后体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：的振幅比为：取对数后：取对数后：（3-21）阻尼比：阻尼比：体系阻尼的测试体系阻尼的测试：2 2）计算阻尼比：）计算阻尼比：确定结构体系阻尼的其它方法。确定结构体系阻尼的其它方法。1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：）实测体系经过个周期后的位移幅值比：3 3）计算阻尼系数：）计算阻尼系数：例例3-1 计算图示刚架的阻尼系数计算图示刚架的阻尼系数已知：已知： 柱子无重柱子无重, h=3m, 刚性横梁刚性横梁m=5000kg 初位移初位移25mm 经经5个周期后测得位移个周期后测得位移7.12mm 解解 确定确定: ytk=yt0=2
14、5mm, yt5=7.12mm,计算阻尼比计算阻尼比:计算阻尼系数：计算阻尼系数：钢筋混凝土和砌体结构：钢筋混凝土和砌体结构：x x=0.02=0.020.05;0.05;钢结构：钢结构：x x=0.002=0.0020.02;0.02;拱坝：拱坝：x x=0.03=0.030.05;0.05;重力坝：重力坝：x x=0.05=0.050.1;0.1;土土坝、堆石坝：坝、堆石坝： x x=0.1=0.10.20.2常用结构的阻尼比常用结构的阻尼比 3-2 单自由度体系受迫振动单自由度体系受迫振动单自由度受迫振动体系的运动方程：单自由度受迫振动体系的运动方程：（3-1）二阶常系数非齐次微分方程。
15、全解由二阶常系数非齐次微分方程。全解由通解通解和和特解特解组成：组成： （3-23） 通解通解y y1 1(t)由体系的自由振动反应确定：由体系的自由振动反应确定： 受迫振动：受迫振动：结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动结构在动力荷载即外干扰力作用下产生的振动。（3-18） 注意：注意：对于受迫振动体系，通解中的常数的对于受迫振动体系，通解中的常数的A A、B B 应由微应由微分方程的分方程的全解（通解全解（通解+ +特解）特解）而不能仅由通解确定！而不能仅由通解确定！ 荷载荷载FP(t)不同，微分方程的特解不同，微分方程的特解y y2 2(t)的形式是不同的。的形式是不同的。 3-2-
16、1 简谐荷载作用下的动力响应分析简谐荷载作用下的动力响应分析简谐荷载：简谐荷载：FP(t)=F0sinq qt。 简谐荷载作用下结构体系的运动方程：简谐荷载作用下结构体系的运动方程：（3-27）F0为荷载的幅值，为荷载的幅值，q q为荷载的圆频率。为荷载的圆频率。（一）无阻尼体系（一）无阻尼体系简谐荷载作用下简谐荷载作用下的的无阻尼体系运动方程无阻尼体系运动方程：通解通解 齐次方程的解：齐次方程的解：特解特解 由动力荷载引起的特殊解。设：由动力荷载引起的特殊解。设：代入代入(1)(1)式得：式得：（1）所以特解的振幅：所以特解的振幅：b b ：频率比频率比，表示荷载频率与体系自振频率的比：，表
17、示荷载频率与体系自振频率的比：特解：特解：全解：全解：常数常数A、B 由初始条件确定。假设：由初始条件确定。假设：解得：解得：Why?Why?简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：简谐荷载作用下无阻尼体系的动力反应为：F F0 0/ /k k = = D Dstst: : 将荷载将荷载F F0 0 静止地放在体系上所产生的位移静止地放在体系上所产生的位移；: :动力放大系数动力放大系数，表示简谐荷载的，表示简谐荷载的动力放大效应动力放大效应；SinSinq qt t：按荷载作用频率振动的反应分量：按荷载作用频率振动的反应分量：稳态反应稳态反应；b bSinSinw wt t：按：按体系自振频率
18、振动的反应分量：体系自振频率振动的反应分量：瞬态反应瞬态反应。体系的动力反应由两部分组成：体系的动力反应由两部分组成：物理意义物理意义SinSinq qt t：按按荷载作用频荷载作用频率振动的反率振动的反应分量：稳应分量：稳态反应；态反应；b bSinSinw wt t：按：按体系自振频体系自振频率振动的反率振动的反应分量：瞬应分量：瞬态反应。态反应。动力放大系数：动力放大系数： 思考：思考：b b=1=1时，体系的动力反应如何？时，体系的动力反应如何？（二）阻尼体系（二）阻尼体系阻尼体系运动方程：阻尼体系运动方程：通解通解 齐次方程的解：齐次方程的解：特解特解 由动力荷载引起的特殊解。设：由
19、动力荷载引起的特殊解。设：（3-27）（3-28） （3-29） 由由c=2mxwxw，w w2 2= =k/m,(3-27),(3-27)式可写作：式可写作：（3-27）（3-27）（3-29） 对对y y2 2(t)求导：求导：运动方程：运动方程：代入方程（代入方程（3-273-27）：）：变量变量t t为任意值时，等式均恒成立的条件？为任意值时，等式均恒成立的条件？即：即：由此可解出系数：由此可解出系数：（3-30） 代入方程的特解：代入方程的特解：方程的全解：方程的全解：（3-31） 第一项按自振频率第一项按自振频率w wd 振动，是由初始条件确定的自由振动反应。振动，是由初始条件确定
20、的自由振动反应。由于实际结构中阻尼的存在，这一项很快会被衰减为零，即由于实际结构中阻尼的存在，这一项很快会被衰减为零，即瞬态反应；第二项按荷载频率振动，即第二项按荷载频率振动，即稳态反应；有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应有些场合，如冲击荷载、地震等，应分析瞬态反应；一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主一般情况下，瞬态反应对结构强迫振动分析的意义不大，这里主要讨论稳态反应的特性。要讨论稳态反应的特性。谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为：谐振荷载作用下单自由度体系的稳态反应解为： （3-32） 反应振幅：反应振幅：相位差：相位差：这个强迫振动的解是由这个强迫振
21、动的解是由正弦正弦和和余弦余弦两个三角函数组合而成的，它两个三角函数组合而成的，它同样描述了一个简谐运动，也就是位移随时间呈正弦变化。同样描述了一个简谐运动，也就是位移随时间呈正弦变化。这个运动也可以用矢量表示：这个运动也可以用矢量表示：物理意义物理意义稳态反应：稳态反应：与外荷载同频率与外荷载同频率q q 但存在一定但存在一定相位差相位差y y ；这里的这里的相位差相位差表示表示反应的相位比荷载相位反应的相位比荷载相位所落后的角度所落后的角度。F F0 0/ /k k = = D Dstst: : 荷载荷载F F0 0 产生的静位移；产生的静位移；反应的振幅与所引起的静位移的比值称为反应的振
22、幅与所引起的静位移的比值称为动力放大系数动力放大系数： （3-32） 动力反应：动力反应： 动力放大系数是频率和阻尼的函数。动力放大系数是频率和阻尼的函数。 x x=0时：时： 反应与外荷载同步！反应与外荷载同步！(b b1) 动力放大系数：动力放大系数： 相频特性：相频特性： x x越小，体系反应越大；越小，体系反应越大； q q 远小于远小于w w 时时，b b 1： m1 ：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，y y 0。 m 0 0：质量振幅很小，惯性力很大，：质量振幅很小，惯性力很大，y y 接近于接近于180度度。q q 接近于
23、接近于w w 时时，b b 1： m m 增加很快增加很快： y y 接近于接近于90度度。反应的峰值出现在频率比接近。反应的峰值出现在频率比接近1的的地方。当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态，称体系地方。当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态，称体系发生发生共振共振。发生共振时发生共振时： m m 的极值的极值： 动力系数与阻尼成反比！动力系数与阻尼成反比！时：时：共振可能导致结构破坏！共振可能导致结构破坏！ 在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免在工程设计时，应通过调整结构的刚度和质量控制频率，避免接近荷载频率，防止共振发生！接近荷载频率，防止共振发生！在共振区（在
24、共振区（0.75 b 1.250.75 b 1.25），），外荷载主要由阻尼平衡！外荷载主要由阻尼平衡！ q q 远小于远小于w w 时时，b b 1： m1 ：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，：加载很慢，惯性力和阻尼力很小，接近静力反应，y y 0。 m 0 0：质量振幅很小，惯性力很大，：质量振幅很小，惯性力很大，y y 接近于接近于180度度。q q 接近于接近于w w 时时，b b 1： m m 增加很快增加很快： y y 接近于接近于90度度。反应的峰值出现在频率比接近。反应的峰值出现在频率比接近1的的地方。当作用荷载的频率等于体系自振频率时的状态，称体系地方。当作用荷载
25、的频率等于体系自振频率时的状态，称体系发生发生共振共振。在共振区（在共振区（0.75 b 1.250.75 b 1.25），外荷载主要由阻尼平衡！），外荷载主要由阻尼平衡！ 加速度很小，外荷载主要由弹性力平衡！加速度很小，外荷载主要由弹性力平衡！ 位移很小，外荷载主要由惯性力平衡！位移很小，外荷载主要由惯性力平衡！ 例例3-2 3-2 求图示结构的最大动位移和最大动弯矩求图示结构的最大动位移和最大动弯矩已知：已知：q q =0.6w w；不计阻尼。；不计阻尼。 解解 1） 计算最大动位移：计算最大动位移：计算动力系数：计算动力系数：确定动力振幅作用下的静位移；确定动力振幅作用下的静位移；求出单
26、位力作用下的挠度：求出单位力作用下的挠度：最大动位移：最大动位移：体系为单自由度体系为单自由度: 质量的竖向位移质量的竖向位移y(t)。2） 计算最大动弯矩：计算最大动弯矩：作用在质量上的合力：作用在质量上的合力：体系位移：体系位移：最大动弯矩：最大动弯矩： 例例3-23-2惯性力：惯性力：荷载不作用在质点上时荷载不作用在质点上时 m mi m m ! ! 不同截面对应的动弯矩和静弯矩的比值也不同！不同截面对应的动弯矩和静弯矩的比值也不同！最大动弯矩：最大动弯矩： 例例3-23-2内力放大系数：内力放大系数：荷载作用在质点上时荷载作用在质点上时 m mi = m m ；Why?3-2-2 周期
27、荷载作用下的动力响应分析周期荷载作用下的动力响应分析对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。对于任意周期性荷载，可展开成傅里叶级数。（3-34） （3-35） 其中：其中：静荷载静荷载余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数周期荷载周期荷载简谐荷载是任意简谐荷载是任意周期荷载的一个周期荷载的一个特例，是级数中特例，是级数中的一项。的一项。不考虑阻尼时：不考虑阻尼时：对第对第n项项正弦正弦和和余弦余弦荷载，体系的运动方程为：荷载，体系的运动方程为：静荷载静荷载余弦函数余弦函数正弦函数正弦函数周期荷载的傅里叶级数：周期荷载的傅里叶级数：其中：其中：体系的总位移可利用体系的总位移可利用叠加原理叠加原理求得：
28、求得：对应的解为：对应的解为：（3-36） 静位移静位移余弦位移余弦位移正弦位移正弦位移已知有阻尼体系：已知有阻尼体系：解为：解为：可设特解为：可设特解为：对有阻尼体系：对有阻尼体系：（a）（a）解为：解为：有阻尼体系：有阻尼体系：考虑阻尼时：考虑阻尼时：对用傅里叶级数表示的周期荷载，体系的运动方程为：对用傅里叶级数表示的周期荷载，体系的运动方程为：对正弦项对正弦项：对余弦项对余弦项：体系的稳态解可用利用体系的稳态解可用利用叠加原理叠加原理求得：求得：（3-37）其中：其中：正弦项解正弦项解：余弦项解余弦项解：3-2-3 任意荷载作用下的动力响应分析任意荷载作用下的动力响应分析（一）脉冲荷载作
29、用下的动力响应（一）脉冲荷载作用下的动力响应瞬时冲量瞬时冲量：脉冲荷载脉冲荷载在极短时间在极短时间t 0内给内给予振动物体的冲量：予振动物体的冲量：动量增值动量增值：t =0时，瞬时冲量时，瞬时冲量I 作用于质作用于质点上点上m，使其增加动量，记作：使其增加动量，记作：假设冲击之前的初始位移和初始速度均为零，则冲量假设冲击之前的初始位移和初始速度均为零，则冲量I 全部全部传给质点传给质点m ，即，即I =D，就有：就有：瞬时冲量瞬时冲量I 作用下质点获得的初速度：作用下质点获得的初速度：由于瞬时冲量由于瞬时冲量I 作用时间很短作用时间很短t 0，质点获得初速度后还未来得及产生质点获得初速度后还
30、未来得及产生位移冲量即行消失，体系将产生自位移冲量即行消失，体系将产生自由振动。由振动。自由振动方程：自由振动方程： 位移反应：位移反应： 因为因为 y0=0，脉冲荷载脉冲荷载 作用下体系的位移反应为作用下体系的位移反应为：（二）任意荷载作用下（二）任意荷载作用下 的动力响应的动力响应任一时刻任一时刻 t =t t 时的脉冲作用下，体系的位移反应：时的脉冲作用下，体系的位移反应：根据根据叠加原理叠加原理，体系在任意荷载下的反应可以看作是体系在任意荷载下的反应可以看作是一系列脉一系列脉冲连续作用冲连续作用的结果的结果：任意荷载：任意荷载：由一系列连续发生的脉冲荷载组成！由一系列连续发生的脉冲荷载
31、组成！t-t tFrom（3-24）（3-1）即对单自由度受迫振动体系的运动方程：即对单自由度受迫振动体系的运动方程：的一个特解是：的一个特解是：称为称为Duhamel 积分积分。定义定义单位脉冲响应函数单位脉冲响应函数：（3-24）（3-25）则（则（3-24）式成为）式成为卷积积分卷积积分：方程的全解：方程的全解：（3-26）Duhamel 积分积分的物理意义的物理意义整个荷载时程可以看整个荷载时程可以看作是由一系列连续的作是由一系列连续的短脉冲所组成短脉冲所组成 所有的脉冲反应均按所有的脉冲反应均按同样的圆频率、同样同样的圆频率、同样的衰减规律振动的衰减规律振动体系的动力反应可以体系的动
32、力反应可以将将0t tt 时段内所有时段内所有荷载时程荷载时程FP(t) 所激所激励的在时刻励的在时刻t 的全部的全部微分反应相加获得微分反应相加获得 每个短脉冲都激起结每个短脉冲都激起结构的振动构的振动 每个短脉冲的幅值是每个短脉冲的幅值是不同的不同的 问题：问题： Duhamel 积积分的使用条件？分的使用条件？每个脉冲在每个脉冲在t 时刻都时刻都有反应有反应 3-2-4 突加荷载作用下的动力响应分析突加荷载作用下的动力响应分析突加荷载：突加荷载：特解：特解：全解：全解：初始条件初始条件突加荷载作用下零初始条件的解：突加荷载作用下零初始条件的解：If 不考虑阻尼影响，则：不考虑阻尼影响，则
33、：无阻尼无阻尼有阻尼有阻尼最大动位移：最大动位移：位移动力放大系数：位移动力放大系数：工程中实际阻尼很小，一般认为工程中实际阻尼很小，一般认为突加荷载突加荷载的的位移动力放大位移动力放大系数系数为为2。3-2-5 矩形脉冲荷载作用下矩形脉冲荷载作用下 的动力响应分析的动力响应分析矩形脉冲荷载：矩形脉冲荷载：短时间滞留在结构上的荷载；短时间滞留在结构上的荷载；由于作用时间短，一般不考虑阻尼；由于作用时间短，一般不考虑阻尼；0tt1时：时：突加荷载突加荷载自由振动自由振动矩形脉冲荷载作用下结构位移响应：矩形脉冲荷载作用下结构位移响应：当当t1T/2时，最大动位移时，最大动位移 ymax=2yst
34、总是出现在第一阶段；总是出现在第一阶段； 当当t1T/2时，时，w wt 一定可以达到一定可以达到p p！Why?当当t1T/2时，最大动位移将在第二阶段自由振动期间出现：时，最大动位移将在第二阶段自由振动期间出现：当当t1T/2时，时，w wt 就达不到就达不到p p！当当w wt t1时！时！位移放大系数：位移放大系数：对于给定的冲击荷载，位移放大系数依赖于脉冲的持续时间与结对于给定的冲击荷载，位移放大系数依赖于脉冲的持续时间与结构固有周期的比值构固有周期的比值t1/T。t1/T0.010.020.050.101/60.20.30.40.50.5m m0.0630.1260.3130.61
35、81.01.1761.6181.90222表表3-1 矩形脉冲荷载的动力放大系数矩形脉冲荷载的动力放大系数反应曲线的斜率反应曲线的斜率0!0!t1t1t1/T0.1250.20.250.3710.40.50.751.01.52.0m m0.390.660.731.001.051.201.421.551.691.76表表3-2 三角形脉冲荷载的动力放大系数三角形脉冲荷载的动力放大系数3-2-6 三角形脉冲荷载作用下结构的动力响应三角形脉冲荷载作用下结构的动力响应三角形脉冲荷载：三角形脉冲荷载：反应谱反应谱有有阻尼的单自由度体系，在给定的动荷载下，动力放大系数只和阻尼的单自由度体系，在给定的动荷载
36、下，动力放大系数只和周期和阻尼比（周期和阻尼比（t1/T）有关，即：有关，即：地震反应谱：地震反应谱：第三章小结第三章小结基本概念：基本概念：自由振动、强迫振动、频率、周期、振幅、相自由振动、强迫振动、频率、周期、振幅、相位、简谐荷载、动力放大系数、频率比、阻尼比；位、简谐荷载、动力放大系数、频率比、阻尼比；简谐荷载作用下运动方程的解法；简谐荷载作用下运动方程的解法；动力放大系数的特性；动力放大系数的特性；共振的特点；共振的特点；周期荷载作用下运动方程的解法；周期荷载作用下运动方程的解法；杜哈梅积分的原理及应用方法；杜哈梅积分的原理及应用方法；阻尼在动力响应中的作用，阻尼的量测；阻尼在动力响应中的作用，阻尼的量测；反应谱的概念。反应谱的概念。本章重点：本章重点：
