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1、v 刚体运动的描述刚体运动的描述v 力矩力矩 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程v 定轴转动刚体的动能定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理v 动量矩和动量矩守恒定律动量矩和动量矩守恒定律一一 力矩作功力矩作功 力的空间累积效应力的空间累积效应 力的功力的功,动能动能,动能定理动能定理.力矩的空间累积效应力矩的空间累积效应 力矩的功力矩的功,转动动能转动动能,动能定理动能定理.元功元功 即即作用在定轴转动刚体上的力作用在定轴转动刚体上的力F F的元功，等于该的元功，等于该力对转轴的力矩与刚体的元角位移的乘积力对转轴的力矩与刚体的元角位移的乘积 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动
2、能 动能定理动能定理 chsling力矩的功力矩的功力矩的力矩的功率功率 力矩做功实质上就是力做功，在刚体定轴转动中力矩做功实质上就是力做功，在刚体定轴转动中可用力矩表示。可用力矩表示。 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsling二二 转动动能转动动能 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chslingz z O的动能为的动能为P 绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量绕定轴转动刚体的动能等于刚体对转轴的转动惯量与其角速度平方乘积的一半与其角速度平方乘积的一半刚体的总动能：刚体的总动能：三三 刚体绕定轴转动的动能定理
3、刚体绕定轴转动的动能定理刚体绕定轴转动动能刚体绕定轴转动动能定理的微分形式定理的微分形式 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsling对于一有限过程：对于一有限过程： 合外合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体等于刚体转动动能的增量转动动能的增量 . .注意注意 1. 内力的功的总和在任何过程中都等于零；内力的功的总和在任何过程中都等于零；2.功能原理、机械能守恒定律仍然成立，动能功能原理、机械能守恒定律仍然成立，动能3. 包括平动动能和转动动能。包括平动动能和转动动能。 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能
4、动能定理动能定理 chsling 质点质点系动能定理系动能定理 ： 刚体刚体定轴转动动能定理：定轴转动动能定理： 物理量物理量质点质点刚体刚体 对于包括有刚体的系统，只有保守内力做功的情况下，对于包括有刚体的系统，只有保守内力做功的情况下，此此系统的机械能守恒系统的机械能守恒： 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsling1.刚体的重力势能刚体的重力势能 ： （hC为质心的位置）为质心的位置）2. 此时动能包括此时动能包括平动平动动能和动能和转转动动动能。动能。 思考Rhmmm 和和 、 分别分别为圆盘终了和起始时的角为圆盘终了和起始时的角坐标和角速度坐标
5、和角速度 . 例例1 一质量为一质量为 、半径为、半径为 R 的圆盘，可绕一垂的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳，圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为一端挂质量为m 的物体的物体 . 问物体在静止下落高度问物体在静止下落高度 h 时，时，其速度的大小为多少其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计设绳的质量忽略不计 . 解解 拉力拉力 对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动对圆盘做功，由刚体绕定轴转动的动能定理可得，拉力能定理可得，拉力 的力矩所作的功为的力矩所作的功为m 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsl
6、ing物体由静止开始下落物体由静止开始下落解得解得并考虑到圆盘的转动惯量并考虑到圆盘的转动惯量由由质点质点动能定理动能定理m 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsling例例 一根长为一根长为 l ，质量为，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置面内转动，初始时它在水平位置解解由动能定理由动能定理求求 它由此下摆它由此下摆 角时的角时的 思考思考:此题可否用机械能守恒定律求解此题可否用机械能守恒定律求解?为什么为什么?OlmCx 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能
7、定理 chslingSo easy! 练习练习 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体测物体A装在转动架上，转轴装在转动架上，转轴Z上装一半径为上装一半径为r 的轻鼓的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带动被测物的重物。重物下落时，由绳带动被测物体体 A 绕绕 Z 轴转动。轴转动。 求求物体物体A对对Z 轴的转动惯轴的转动惯量量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。略不计
8、。 今测得重物由今测得重物由静止下落一段距离静止下落一段距离 h，所用时间，所用时间为为t， 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsling只有保守内力做功，机械能守恒：只有保守内力做功，机械能守恒：解解: 分析（机械能）分析（机械能） 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsling 5.3 绕定轴转动刚体的动能绕定轴转动刚体的动能 动能定理动能定理 chsling 力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应 ? 力的时间累积效应力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理冲量、动量、动量定理. 1 质点的动量矩（质点的动量矩（角动量
9、角动量） 质量为质量为 的质点以速度的质点以速度 在空间运动，某在空间运动，某时刻相对原点时刻相对原点 O 的位矢为的位矢为 ，质点相对于原点的，质点相对于原点的 动量矩动量矩(角动量角动量）大小大小一一 质点的角动量定理和角动量守恒定律质点的角动量定理和角动量守恒定律 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling质点以角速度质点以角速度 作半径为作半径为 的圆运动，相对圆心的角动量的圆运动，相对圆心的角动量 的方向符合右手法则的方向符合右手法则.1.质点对点的动量矩与质点运动质点对点的动量矩与质点运动2.及参考点位置有关（及参考点位置有关（练习练习P142）；）；2
10、.质点对某点的动量矩质点对某点的动量矩,在通过该在通过该点的任意轴上的投影就等于质点点的任意轴上的投影就等于质点对该轴的动量矩（对该轴的动量矩（可视为代数量）。可视为代数量）。 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 作用于质点的合力对作用于质点的合力对参考点参考点 O 的力矩的力矩 ，等于质点对该点，等于质点对该点 O 的的角角动量动量随时间的随时间的变化率变化率.2 质点的角动量定理质点的角动量定理 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 质点所受对参考点质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该的合力矩为零时，质点对该参
11、考点参考点 O 的角动量为一恒矢量的角动量为一恒矢量. 恒矢量恒矢量 冲量矩冲量矩 质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点：对同一参考点 O ，质点所受，质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量的冲量矩等于质点角动量的增量.3 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling(1) 动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它动量矩守恒定律是物理学的基本定律之一，它不仅适用于不仅适用于宏观体系宏观体系，也适用于，也适用于微观微观体系，且在体系，且在高速低速高速低速范围均适用；范围均适用；(2) 质点在质点在有心力场有心力场（如天体
12、）中动量矩守恒；（如天体）中动量矩守恒；说说 明明 例例1 一半径为一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内的光滑圆环置于竖直平面内.一质一质量为量为 m 的小球穿在圆环上的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动并可在圆环上滑动. 小球开始小球开始时静止于圆环上的点时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心该点在通过环心 O 的水平面上的水平面上),然后从然后从 A 点开始下滑点开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点求小球滑到点 B 时对环心时对环心 O 的角动量和角速度的角动量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球受重力和支持力作用力作用, 支持力的力矩为零
13、支持力的力矩为零,重力矩垂直纸面向里重力矩垂直纸面向里由质点的角动量定理由质点的角动量定理 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling考虑到考虑到得得由题设条件积分上式由题设条件积分上式 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 例例2 一质量一质量 的登月飞船的登月飞船, 在离在离月球表面高度月球表面高度 处绕月球作圆周运动处绕月球作圆周运动.飞船飞船采用如下登月方式采用如下登月方式 : 当飞船位于点当飞船位于点 A 时时,它向外侧短它向外侧短时间喷气时间喷气 , 使飞船与月球相切地到达点使飞船与月球相切地到达点 B , 且且OA 与
14、与 OB 垂直垂直 . 飞船所喷气体相对飞船的速度为飞船所喷气体相对飞船的速度为 . 已知已知月球半径月球半径 ; 在飞船登月过程中在飞船登月过程中,月球的月球的重力加速度视为常量重力加速度视为常量 .试问登月飞船在登月过程试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量中所需消耗燃料的质量 是多少是多少?BhORA 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 解解 设飞船在点设飞船在点 A 的的速度速度 , 月球质量月球质量 mM ,由万有引力和牛顿定律由万有引力和牛顿定律BhORA已知已知求求 所需消耗燃料的质量所需消耗燃料的质量 . 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩
15、守恒定律动量矩守恒定律 chsling得得得得 当飞船在当飞船在A点以相对速度点以相对速度 向外喷气的短时间里向外喷气的短时间里 , 飞船的飞船的质量减少了质量减少了m 而为而为 , 并获得并获得速度的增量速度的增量 , 使飞船的速度使飞船的速度变为变为 , 其值为其值为质量质量 在在 A 点和点和 B 点只受有心力作用点只受有心力作用 , 角动量守恒角动量守恒BhORA 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling飞船在飞船在 A点喷出气体后点喷出气体后, 在到在到达月球的过程中达月球的过程中, 机械能守恒机械能守恒即即于是于是而而BhORA 5.4 动量矩和动量矩
16、和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling二二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量2 刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理非刚体定轴转动的角动量定理O 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律角动量守恒定律是自然界的一个基本定律. 内力矩不改变系统的角动量内力矩不改变系统的角动量. 守守 恒条件恒条件若若 不变，不变， 不变；若不变；若 变，变， 也变，但也变，但 不变不变.刚体定轴转动的角动量
17、定理刚体定轴转动的角动量定理3 刚体定轴转动的角动量守恒定律刚体定轴转动的角动量守恒定律，则，则若若讨论讨论 在在冲击冲击等问题中等问题中常量常量 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 有许多现象都可以有许多现象都可以用角动量守恒来说明用角动量守恒来说明.自然界中存在多种守恒定律自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律动量守恒定律2能量守恒定律能量守恒定律2角动量守恒定律角动量守恒定律2电荷守恒定律电荷守恒定律2质量守恒定律质量守恒定律2宇称守恒定律等宇称守恒定律等花样滑冰花样滑冰跳水运动员跳水跳水运动员跳水 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒
18、定律 chsling圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能机械能不不守恒守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量动量不不守恒；守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能机械能不不守恒守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量动量不不守恒；守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在
19、竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并背离点并背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均设小虫与细杆的质量均为为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速小虫应以多大速率向细杆端点爬行率向细杆端点爬行? 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chslin
20、g由角动量定理由角动量定理即即考虑到考虑到 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 例例4 一杂技演员一杂技演员 M 由距水平跷板高为由距水平跷板高为 h 处自由下处自由下落到跷板的一端落到跷板的一端A,并把跷板另一端的演员并把跷板另一端的演员N 弹了起来弹了起来.设跷板是匀质的设跷板是匀质的,长度为长度为l,质量为质量为 ,跷板可绕中部支撑跷板可绕中部支撑点点C 在竖直平面内转动在竖直平面内转动,演员的质量均为演员的质量均为m.假定演员假定演员M落落在跷板上在跷板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞.问演员问演员N可可弹起多高弹起多高?
21、ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A点的速度点的速度 碰撞后的瞬间碰撞后的瞬间, M、N具有相同的线速度具有相同的线速度 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 把把M、N和跷板作为和跷板作为一个系统一个系统, 角动量守恒角动量守恒解得解得演员演员 N 以以 u 起起跳跳, 达到的高度达到的高度ll/2CABMNh 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 例例5 一长为一长为 l , 质量为质量为 的竿可绕支点的竿可绕支点O自由自由转动转动 . 一质量为一质量为 、速率为、速率为 的子弹射入竿内距支的子弹射入
22、竿内距支点为点为 处，使竿的偏转角为处，使竿的偏转角为30 . 问子弹的初速率为问子弹的初速率为多少多少 ? 解解 把子弹和竿看作一个系统把子弹和竿看作一个系统 .子弹射入竿的过程系统角动量守子弹射入竿的过程系统角动量守恒恒 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling 射入竿后，以子弹、细杆和射入竿后，以子弹、细杆和地球为系统地球为系统 ，机械能守恒，机械能守恒 . 5.4 动量矩和动量矩和 动量矩守恒定律动量矩守恒定律 chsling质点沿直线平动质点沿直线平动刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动质点沿直线平动质点沿直线平动刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 机械能守恒定律机械
23、能守恒定律(只有保守内力做功）只有保守内力做功） 机械能守恒定律机械能守恒定律(只有保守内力做功）只有保守内力做功）质点沿直线平动质点沿直线平动刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 质点沿直线平动质点沿直线平动刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动 例例6 如图，弹簧的如图，弹簧的K=2N/M,弹簧和绳子的质量弹簧和绳子的质量忽略不计，绳子不可伸长，忽略不计，绳子不可伸长，不计空气阻力。滑轮半径为不计空气阻力。滑轮半径为10cm，绕其轴的转动惯量，绕其轴的转动惯量为为2， 求求1kg质量物体从静止（此时弹簧为原长）开质量物体从静止（此时弹簧为原长）开始落下始落下1m时的速度大小？时的速度大小？ 综合应用综合应用 chsling解解：由弹簧、滑轮、物体和绳子组成的系统机械：由弹簧、滑轮、物体和绳子组成的系统机械能守恒：能守恒： 综合应用综合应用 chsling作业：练习：练习：P148 例例
