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1、第三章函数极限1 函数极限概念一x 趋于时函数的极限设函数f 定义在 a , + ) 上, 类似于数列情形 , 我们研究当自变量x 趋于+ 时 , 对应的函数值能否无限地接近于某个定数A .例如, 对于函数f ( x ) = 1 x , 从图象上可见, 当 x 无限增大时 , 函数值无限地接近于0; 而对于函数g ( x) = arctan x , 则当x 趋于+ 时函数值无限地接近于2 .我们称这两个函数当x 趋于 + 时有极限.一般地 , 当 x 趋于 + 时函数极限的精确定义如下: 定义 1 设 f 为定义在 a ,+ ) 上的函数 , A 为定数.若对任给的 0 , 存 在正数 M (
2、 ?a) , 使得当x M 时有f ( x) - A 0 , 在坐标平面上平行于x 轴的两条直线 y = A + 与 y = A - , 围成以直线y = 图3 - 1 A为中心线、 宽为 2的带形区域 ;定义中的“当 xM 时有|f( x) - A|M” 分别改为“xM” 即可 . 读者不难证明: 若 f 为定义在 U ( ) 上的函数 , 则lim x f (x)= A! lim x + f ( x) = lim x - f ( x ) =A. (1) 例 1 证明 lim 1= 0. x x证任给 0 , 取 M = 1, 则当 | x | M 时有所以 lim 1= 0 . 1 1 x
3、 - 0 = x 0 , 由于2 x + 2arctan x - - 2 (2) 等价于- - arctan x -, 而此不等式的左半部分对任何x 都成立 , 所2 2 以只要考察其右半部分x 的变化范围.为此, 先限制 , 则有2 x tan - 2 = - tan 2 - . 故对任给的正数2 , 只须取 M =tan -,则当 x0,存在正数 ( ),使得当 0 | x - x0 | 时有f ( x) - A 0 , 只要取 = , 则当 0 |x-2 | 时有| f ( x )-4 |.这就 证明了 lim f ( x ) = 4 .x 2 例 4 证明 : 1) lim sin x
4、 = sin x0 ; 2 ) lim cos x = cos x0 . x x 0 x x 0 证先建立一个不等式: 当 0 x 时有2 sin x x tan x. (3) 事实上 , 在如图 3 -2 的单位圆内 , 当 0 x 时, 显然2 有SOAD S扇形 OAD S O AB, 1 2 sin x 1 2 x 1 2tan x,由此立得 (3)式. 图3 - 2 又当x?时有sin x ? 1 0 都有2 sin x x; 当 x 0 时 , 由 sin ( - x) - x 得 - sin x 0 , 只要取 = , 则当 0 |x - x0 | 时, 就有sin x - si
5、n x0 . 即名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - - 0 1 - x2 - 1 - x 0 2 或等1 函数极限概念45所以lim sin x = sin x0 . 2)的证明留给读者作为练习。x x 0 2 例 5 证明 limx -1 = 2 .x 1 2 x2 - x -1 3证当 x 1 时有x2 - 1 2 2x2 - x - 1 - 3 = x + 1 2 x + 1 -2 =3 x - 1 3 2 x+
6、1 .若限制 x 于 0 | x - 1 | 0 ) , 则 | 2 x + 1 | 1 .于是 , 对任给的 0 , 只要取= min 3, 1 , 则当 0 | x - 1 | 时, 便有x2 - 1 2 2x2 - x - 1 - 3 x - 1 3 . 例 6 证明lim x x 1 - x2 = 1 - x2( |x0| 1 ) . 0 证由于 | x | ? 1 , | x0 | 0(不妨设 01),取2 1 - x02 1 - x0= 2 , 则当0 | x - x0 | 时 ,就有 | 1 - x 应用 - 定义还立刻可得- 1 - x0 | .lim x x 0 这里 c 为
7、常数 , x0 为给定实数. c= c, lim x x 0 x = x0, 通过以上各个例子, 读者对函数极限的- 定义应能体会到下面几点: 1. 定义 2 中的正数,相当于数列极限-N 定义中的 N,它依赖于 ,但 也不是由 所唯一确定 .一般来说 , 愈小, 也相应地要小一些,而且把 取得更小些也无妨.如在例 3 中可取 = 2 = 等. 3 2.定义中只要求函数f 在 x0的某一空心邻域内有定义,而一般不考虑f 在点 x0处的函数值是否有定义,或者取什么值.这是因为 ,对于函数极限我们所研究的是当 x趋于 x0过程中函数值的变化趋势.如在例 3中,函数 f在点 x=2 是没有定义的,
8、但当x2 时 f 的函数值趋于一个定数. 3. 定义 2 中的不等式0 | x- x0 | 等价于x U( x0 ; ) , 而不等式x0 - x 2 2 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - - 46 第三章函 数 极限|f ( x )- A | 0,存在0,使得对一切xU ( x0;)有 f( x)U( A;) .或更 简单地表为: 任给 0,存在0,使得 f( U ( x0 ;) U( A;) .4.-定义的几
9、何意义如图3-3 所 示.对任给的 0,在坐标平面上画一条以直线 y= A 为中心线、宽为 2的横带 ,则必 存在以直线x = x0 为中心线、宽为 2的竖 带,使函数 y=f(x)的图象在该竖带中的部分全部落在横带内,但点 (x0,f(x0)可能例外(或无意义 ) . 下面我们讨论单侧极限. 图3 - 3 有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同(如分段函数定义域上的某些点),或函数在某些点仅在其一侧有定义(如在定义区间端点处),这 时函数在那些点上的极限只能单侧地给出定义. 例如 , 函数f ( x ) = x2, x ? 0, x, x 0而趋于 0时,应按 f(x)=x2来考察
10、函数值的变化趋势;当 x0,存在正数 ( ),使得当 x0 xx0 +(或 x0 - xx0 )时有f ( x) - A 0,当 2(1- x)2 时,就有1 - x2 . (6) 于是取 =,则当 01- x 即 1 -x 0, (3) f ( x) = 0, x = 0, 1 + x2 , x 0 , 分别存在正数1 与2 , 使得当 0 |x - x0 |1 时有f ( x) - A , (1) 当 0|x - x0 |2 时有f (x) - B . (2) 取=min(1 ,2),则当 0|x - x0 |时,(1)式与 (2)式同时成立 ,故有A - B = ( f ( x) - A
11、 ) - ( f (x)- B) ?f (x)- A + f (x) - B 0,使得对一切xU ( x0;)有0 f ( x) - A 1af(x) 0( 或 0 ) , 则对任何正数r A 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - 2 函数极限的性质49(或 r r 0 ( 或 f ( x) - r 0 , 对任何r (0 , A ) , 取= A- r , 则存在 0 , 使得对一切xU ( x0;)有f (x
12、) A - = r, 这就证得结论.对于 A 0,分别存在正数1 与2 ,使得当 0|x - x0 |1 时有A - f (x), (4) 当 0|x - x0 |2 时有g( x ) B + . (5) 令=min ,1 ,2 ,则当 0|x - x0 |时,不等式 f( x)? g( x)与(4)、 (5)两式同时成立,于是有A - f ( x) ? g( x ) B + , 从而A 0,分别存在正数1 与 2 ,使得当 0|x - x0 | 1 时有当 0|x - x0 |2 时有A - f (x), (7) g(x) A +. (8) 令=min ,1 ,2 ,则当 0|x - x0
13、|时,不等式 (6)、 (7)、 (8)同时成立 , 故有A - f ( x ) ? h( x) ? g( x ) A + , 由此得| h( x) - A | 0 时有1 - x x 1x ? 1 , 而 lim + (1 - x) = 1 , 故由迫敛性得x 0 lim x0+x 1 x = 1 . 另一方面 , 当 x 0 时有1? x 1x 1 ) . x 0 证任给 0 ( 不妨设 1 ) , 为使ax - 1 , (9) 即 1 - ax 1 时) 的严格增性 , 只要log a (1 -) x log a ( 1 + ) . 于是 , 令 = min log a ( 1 + )
14、, - log a (1 - ) , 则当 0 |x | 0) ; (8) lim (3 x +6) ( 8 x - 5 ) .x0x x + (5 x - 1) 902. 利用迫敛性求极限: (1)lim x - x - cos x x ; (2) lim x xsin x .3. 设 lim x x 0 f ( x ) = A , lim x x 0 + x2 - 4g( x) = B .证明: (1) lim f ( x ) g( x) = A B; x x 0 (2)lim f ( x ) g( x) = AB; x x 0 (3)lim x x 0 f ( x) g( x ) = A
15、 B (当 B0 时 ) . 4. 设a0 xm + a1 xm - 1 + + am - 1 x + am 试求 lim x + f ( x) = f ( x). b xn + b xn - 1 + + b x + b 1 n-1 n , a0 0 , b0 0 , m ? n, 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - - n 52 第三章函 数 极限5. 设 f ( x) 0 , lim x x 0其中 n? 2 为
16、正整数. f ( x) = A .证明lim x x 0n n f ( x) = A, 6. 证明 lim ax = 1 ( 0 a 1 ) . x0 7. 设 lim x x 0 f ( x ) = A , lim x x 0 g( x) = B . (1) 若在某 U ( x0 )内有 f( x ) g(x),问是否必有AB,则在某 U (x0 )内有 f( x ) g(x) .8. 求下列极限 ( 其中n 皆为正整数 ) : (1) lim |x| 1 ; (2 ) lim |x| 1 ; x 0 -x 1 +xnx 0 +x 1 +xn2 n 1 + x -1 (3) lim x +
17、x + + x - n ; (4)lim ; x1 x-1 x 0x (5) lim x (提示:参照例 1) . xx 9. ( 1)证明:若 lim f ( x3 )存在 , 则 lim f ( x ) = lim f ( x3 ) . x0 x 0 x0 (2) 若 lim f ( x2 )存在 , 试问是否成立 lim f ( x) = lim f ( x2 ) ? x0 x0 x 0 3 函数极限存在的条件与讨论数列极限存在的条件一样,我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在性 .下面的定理只对xx0这种类型的函数极限进行论述,但其结论对其它类型的函数极限也是成立的.下述归结原则有
18、时称为海涅 (Heine)定理 . 定理 3. 8(归结原则 )设 f 在 U ( x0; )内有定义 .lim x x f (x ) 存在的充要0 条件是 :对任何含于U ( x0; )且以 x0 为极限的数列xn,极限 lim x f ( xn ) 都存在且相等. 证 必要性 设 lim x x f(x)= A,则对任给的 0,存在正数 (? ),使0 得当0 | x - x0 | 时 , 有 | f ( x) - A | 0 , 存在N 0 , 使得当 n N 时有 0 | xn - x0 | , 从而有 | f ( xn ) - A | 0,对任何 0(不论多么小 ),总存在一点x,尽
19、管 0|x - x0 |名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - - 0 0 0 3 函数极限存在的条件53 ,但有|f( x) - A|? 0(1 习题 2) .现依次取 = , 在相应的点x1 , x2 ,x3 , ,xn, ,使得2 ,3, ,n, ,则存0 xn - x0 0,按下确界定义 ,存在 x U+ ( x0 ),使得 f( x ) 0,则由 f 的递增性 ,对一切 x( x0 , x )= U+ (x0;
20、),有f( x) ? f( x ) A+. 另一方面 ,由 A? f( x),更有 A -f( x) .从而对一切xU+ ( x0 ;)有A - f (x)0,存在正数 ( ),使得对任何 x , x U ( x0;)有|f(x ) - f(x )|0,存在正数 ( ),使得0 对任何 xU ( x0 ;)有|f( x) - A| 2 .于是对任何x , x U ( x0;)有f( x ) - f( x ) ?f( x ) - A + f( x ) - A 0 , 存在正数 ( ),使得对任何x , x U ( x0;),有|f( x ) - f( x )|0,存在 N0,使得当 n, mN时
21、有 xn, xm U ( x0;),从而有f ( xn) - f (xm) 0,对任何 0(无论多么小 ),总可找到 x , x U ( x0 ;),使得|f(x ) - f(x )|? 0 . 如在例 1 中我们可取 0 =1,对任何 0,设正整数n1,令x= 1 ,x=1 , nn +2 则有 x , x U (0;),而 sin 1- sin 1=1=0 .于是按柯西准则 ,极限lim sin 1 不存在. xxx0x习题1. 叙述函数极限lim x + f ( x)的归结原则 , 并应用它证明lim x + cos x 不存在 . 2. 设 f 为定义在 a , + ) 上的增 ( 减
22、) 函数 .证明: lim x + f ( x) 存在的充要条件是f 在 a , + ) 上有上 (下) 界 . 3. ( 1) 叙述极限lim x - f ( x) 的柯西准则 ; (2) 根据柯西准则叙述lim x - 在 . f ( x ) 不存在的充要条件, 并应用它证明lim x - sin x 不 存4. 设 f 在 U (x0 )内有定义 .证明 : 若对任何数列 xn U ( x0 )且 lim n xn = x0 , 极限lim nf ( xn )都存在 , 则所有这些极限都相等. 提示: 参见定理3. 11 充分性的证明. 5. 设 f为 U (x0 )上的递增函数.证明:
23、 f( x0 - 0)和 f(x0 +0)都存在 ,且f ( x0 -0)= sup x U ( x ) - 0 f ( x) , f ( x0 +0)= inf x U( x ) + 0 f ( x) . 6. 设 D( x) 为狄利克雷函数, x0 R .证明 : lim D( x )不存在 . x x 0 7. 证明 : 若 f 为周期函数 , 且 lim x + f ( x) = 0 , 则 f ( x)0 . 8. 证明定理 3. 9 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
24、 - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - - x - x = lim x 56 第三章函 数 极限4 两个重要的极限一证明 lim sin x = 1 x 0x证在1 例 4 中我们已导出如下不等式sin x x tan x0 x . 2 除以 sin x,得到 1x 1 ,由此得sin x cos x cos x sin xx 1. (1) 在(1 ) 式中用- x 代替x 时, ( 1) 式不变 , 故(1 ) 式当- x 0 时也成立 , 从而2 它对一切满足不等式0 | x | 的 x 都成立.由 lim cos x = 1 及函数极限的迫2 敛性 , 即得
25、 lim sin x = 1 . x 0 x0xsin x x 的图象如图3 - 5 所示 . 例 1 求 lim sin x . x - x解令 t =- x , 则 sin x = sin( - t ) = sin t , 且当 x 时 t0 .所以有lim sin x t 0 sin t t = 1. 图 3 - 5 例 2 求 lim 1 - cos xx 0 解x2 lim 1 - cos x sin x1 2 1 x 0 x2 = lim = . x0 2 x2 2 二证明 lim x 1+ 1 =e x 证所求证的极限等价于同时成立以下两个极限: x lim x + lim x
26、- 1 + 1 x 1 + 1 x =e, (2) x =e. (3) 函数 y = 2 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - - n 4 两个重要的极限57先利用数列极限lim n 上的两个阶梯函数如下: 1 + 1 n n = e 证明 ( 2) 式成立.为此, 作定义在 1 ,+ ) n f (x)= 1+1 n +1 n + 1 g( x) = 1 + 1n , n ? x n + 1, n = 1 , 2,
27、, , n ? x n + 1, n = 1 , 2, . 易见f 增( 第二章 3 习题 4) 且有上界 , g 减( 第二章 3 习题 9 ) 且有下界.故据上节习题2 , lim x + f ( x) 与 lim x + g( x ) 皆存在.于是, 由归结原则 ( 取 xn = n) 得到lim x + f ( x ) = lim n 1+1 = e n +1 n + 1 lim x + g( x ) = lim n 1+ 1 =e n 另一方面, 当 n?x n + 1 时有1+1 n +1 以及n 1 + 1x x ? 1 + 1n n + 1 1+1 n +1 即有 1 + 1x
28、 1+ 1 , n f (x) 1 +1x 从而根据迫敛性定理(2)式得证 . x g(x), x 1 , + ) . 现证 (3 ) 式 .为此作代换x = - y , 则x - y y1 + 1 x = 1 - 1y = 1+1 , y - 1 且当x - 时y+ , 从而有x y - 1 lim x - 1 +1 x = lim y + 1 + 1 y -1 2 1 + 1 y -1 = e . 以后还常用到e 的另一种极限形式: 1 lim ( 1 + ) = e. (4) 0 事实上 , 令= 1 , 则 x ! 0 , 所以x e = lim x1 例 3 求 lim (1 + 2
29、 x) x . x 0 1 + 1 x x1 = lim (1 + ) . 0 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - - 1 2 3 n x - 58 第三章函 数 极限解1 1 1 lim (1 + 2 x) x = lim ( 1 + 2 x) 2 x 2 ( 1 + 2 x) 2 x = e2 . x 0 x 0 1 例 4 求 lim (1 - x ) x . x 0 解令 u = - x , 则当 x0 时
30、u0 .因此 1 lim(1 - x ) x = lim ( 1 +u) - 1 u = . x 0 u 0 e例 5 求 lim n 1 + 1 n n - 1 .n2 n 解1 + 1n - 1 n2 1 时有n2 n n21 + 1 n - 1 n2 = 1 + n - 1 n2 n - 1 - n - 1 ?1+ n - 1n2 n - 1 - 2, 而由归结原则取 xn = n , n = 2 ,3, , n - 1 lim n 1 + n - 1 n2 n 2 n - 1 - 2= lim n 1 + n - 1 n2 n2 n -1 于是 , 由数列极限的迫敛性得= lim x
31、+ = e . x 1 + 1 x lim n 1 + 1 n - 1 n2 n = e . 习题1. 求下列极限 : (1) lim sin 2 x ; (2 ) lim sin x ; x0x x 0 ( sin x) 2(3) lim cos x ; (4 ) lim tan x; x2 2x 0x (5) lim tan x - sinx; (6 ) lim arctan x;x0 x3x 0x 2 2 (7) lim xsin1 ; (8 ) lim sin x - sin a; x+x x a x - a n 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
32、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - - 2 0 0 n 5 无穷小量与无穷大量59(9) lim sin4x ; (10)lim1 - cos x . x0 x + 1 - 1 x 0 1 - cos x 2. 求下列极限 ; (1)lim x1 - 2 x - x1; (2) lim ( 1 + x)x (为给定实数 ) ; x0 (3) lim (1 + tan x)co t x; (4)lim 1 1+ x x ;x0 (5) lim 3 x + 2 2 x - 1 x 0 ; (
33、6) lim 1 - x 1 + x (,为给定实数) . x + 3 x - 1 x+x 3. 证明 :lim lim cos xcos xcos x cos x= 1 . x0 n2 22 2n 4. 利用归结原则计算下列极限: (1)lim nsin ; (2)lim 1 + 1 + 1 .nn n n n2 5 无穷小量与无穷大量一无穷小量与无穷小数列的概念相类似, 我们给出关于函数为无穷小量的定义. 定义 1 设 f 在某 U ( x0)内有定义 .若lim x x f ( x) = 0 , 0 则称f 为当 x x0 时的无穷小量. 若函数 g 在某 U ( x0)内有界 ,则称
34、g 为当 xx0 时的有界量 . 类似地定义当xx +, x x-,x + ,x -以及x 时的无穷小量与有界量. 例如, x2 , sin x 与 1 - cos x 都是当x0 时的无穷小量, 1 - x 是当x 1-时的无穷小量 , 而1 , sin x为 x时的无穷小量.又如 sin x 是当x 时的x2x 有界量 , sin 1 是当x0 时的有界量.特别, 任何无穷小量也必都是有界量. x 由无穷小量的定义可立刻推得如下性质: 1. 两个 (相同类型的 )无穷小量之和、 差、 积仍为无穷小量. 2. 无穷小量与有界量的乘积为无穷小量. 例如 , 当 x0 时,x2 是无穷小量 ,
35、sin 1 为有界量 , 故由性质2 即得x lim x 0 x2 sin1x = 0 . 函数 y = x2 sin 1 的图象如图3 - 6 所示 . x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - - 60 第三章函 数 极限由函数极限与无穷小量的定义可立即推出如下结论 : lim x x f ( x ) = A ! f (x) - A 是当x0 x0 时的无穷小量. 二无穷小量阶的比较无穷小量是以0为极限的函数 ,而
36、不 同的无穷小量收敛于0 的速度有快有慢 . 图 3 - 6 为此 , 我们考察两个无穷小量的比, 以便对它们的收敛速度作出判断. 设当xx0 时, f 与 g 均为无穷小量. 1. 若 lim x x 0 f( x) g( x) = 0 , 则称当x x0 时 f 为 g 的高阶无穷小量 , 或称 g 为 f 的低阶无穷小量, 记作f ( x ) = o ( g( x) ) ( x x0 ) . 特别, f 为当 xx0 时的无穷小量记作f ( x) = o( 1) ( x x0 ) . 例如, 当 x0 时, x , x2, ,xn(n 为正整数 )等都是无穷小量,因而有xk = o( 1
37、 ) ( x 0 ) , k = 1 ,2, , 而且它们中后一个为前一个的高阶无穷小量, 即有xk+ 1 = o( xk ) ( x 0) . 又如 , 由于lim 1 - cos x = lim tan x = 0.故有x 0 sin x x021 - cos x = o( sin x) ( x 0) . 2. 若存在正数K 和 L,使得在某 U ( x0)上有 f ( x ) g(x) ? L,则称f 与 g 为当x x0 时的 同阶无穷小量.特别当lim x x 0 f( x ) g( x) = c 0 时 , f 与 g 必为同阶无穷小量. 例如, 当 x0 时 , 1 - cos
38、x 与 x2 皆为无穷小量 .由于lim x 0 1 - cos x 1 x2 = 2, 所以1-cos x 与 x2 为当 x0 时的同阶无穷小量 .又如,当 x0 时, x与x 2 + sin1x 都是无穷小量, 由于它们之比的绝对值满足K ?名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - - 5 无穷小量与无穷大量611?2 + sin 1x ? 3 , 所以 x 与 x 2 + sin1x 为当 x0 时的同阶无穷小量.
39、 若无穷小量f 与 g 满足关系式 f ( x) g(x) ? L, xU ( x0 ), 则记作f ( x ) = O( g( x) ) ( x x0 ) . 特别 , 若 f 在某 U( x0 ) 内有界 , 则记为f (x)= O(1 ) ( x x0 ) . 例如 , 1 - cos x = O( x2 ) ( x 0), x 2 + sin1x = O( x ) ( x 0 ), sin x = O( 1) ( x ) . 甚至当 f ( x) = o( g( x) ) ( x x0 ) 时 , 也有 f ( x) = O( g( x ) ) ( x x0 ) . 注本段中的等式f
40、( x ) = o( g( x ) ) ( x x0 ) 与 f ( x ) = O ( g ( x ) ) ( x x0 ) 等, 与通常等式的含义是不同的.这里等式左边是一个函数, 右边是一个函数类, 而中间的等号的含义是“属于” .例如 , 前面已经得到1 - cos x = o( sin x) ( x 0), (1) 其中o( sin x)= f lim f( x)=0 , x 0 sinx 等式 (1 ) 表示函数1 - cos x 属于此函数类. 3. 若 lim x x 0 f( x) g( x) = 1 , 则称f 与 g 是当 x x0 时的 等价无穷小量.记作f ( x)
41、g( x ) ( x x0 ) . 例如 , 由于 lim sin x = 1 , 故有 sin x x ( x0).又由于 lim arctan x = 1 ( 上x 0 x x0x节习题 1( 6) ) , 故有 arctan xx ( x 0). 以上讨论了两个无穷小量阶的比较.但应指出 , 并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较.例如, 当 x 0 时,xsin 1 和 x2 都是无穷小量 , 但它们x 的比xsin1x 1 1 x2 x x2 = x sin 或= x xsin 1x sin 1x 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
42、 - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - - x0 2 2 x 0 x 0 62 第三章函 数 极限当 x0 时都不是有界量, 所以这两个无穷小量不能进行阶的比较. 下述定理显示了等价无穷小量在求极限问题中的作用. 定理 3. 12 设函数 f, g, h在 U ( x0)内有定义 ,且有f ( x) g( x ) ( x x0 ) . ( i) 若 lim x x 0 f ( x ) h ( x ) = A , 则 lim x x 0 g ( x ) h ( x) = A; ( ii) 若 lim
43、x x 0 h( x) f ( x) = B , 则 lim x x 0 h ( x) g ( x) = B . 证( i) lim g( x ) h ( x ) = lim g( x ) 2 lim f ( x) h( x) = 12 A = A . x x 0 x x 0 f(x) x x0( ii ) 可类似地证明.例 1 求 lim arctan x x0 sin4x .解由于 arctan x x ( x0 ) , sin4 x4 x ( x 0) .故由定理3. 12 得lim x 0 arctan x sin4x = limx 1 4x = 4 .例 2 利用等价无穷小量代换求极
44、限lim tan x - sin x x 0 sin x3 .解由于 tan x - sin x = sin x ( 1 - cos x ) , 而cos x sin x x ( x 0 ) , 1 - cos x x 2 故有( x 0 ) , sin x3 x3 ( x 0 ) , x2 x lim tan x - sin x 1 2 1 x 0 sin x3 = lim cos x2x3 = 2 . 注 在利用等价无穷小量代换求极限时, 应注意 : 只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代, 而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代.如在例 2 中, 若因有tan x
45、 x ( x 0) , sin x x ( x 0) , 而推出lim x 0 tan x - sin x sin x3 =lim x - x sin x3 = 0,则得到的是错误的结果. 三无穷大量定义 2 设函数 f 在某 U ( x0)内有定义 .若对任给的G0,存在0,使名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - - 2 5 无穷小量与无穷大量63得当 xU ( x0 ;)( U ( x0)时有f(x) G, (2)
46、 则称函数f 当 xx0 时有 非正常极限 , 记作lim x x f ( x ) = . 0 若(2)式换成“f( x)G” 或 “f( x ) - G” ,则分别称 f 当 xx0 时有非正常极限+或-,记作lim x x 0 f ( x ) = + 或lim x x 0 f ( x) = - . 关于函数f 在自变量x 的其它不同趋向的非正常极限的定义, 以及数列 an 当 n时的非正常极限的定义, 都可类似地给出.例如lim x + 0 , 存在 M 0 , 使得当x M 时有 f ( x) lim n an = + 的定义: 任给G 0 , 存在N 0 , 使得当n N 时有 an
47、G . 定义 3 对于自变量x 的某种趋向 ( 或 n 时 ) , 所有以 ,+ 或 - 为 非正常极限的函数( 包括数列 ) , 都称为 无穷大量. 例 3 证明 lim 1 = + . x 0 x2证任给 G 0 , 要使1 G, 只要 | x | G.这就证明了lim1= +.x2 x 0 x2例 4 证明: 当 a 1 时, lim ax = + . x + 证任给G 0( 不妨设G 1) , 要使ax G, 由对数函数的严格增性, 只要x log a G, 因此令M = log a G, 则对一切x M 有 ax G.这就证得lim x + ax = + . 顺便指出 , 容易证明
48、: 当 a 1 时, lim x - ax = 0; 当 0 a 1 ) 是当 x + 时的无穷大量. 注 2 若 f 为 x x0 时的无穷大量, 则易见f 为 U(x0 ) 上的无界函数.但 无界函数却不一定是无穷大量.如 f ( x ) = xsin x 在 U ( + ) 上无界 , 因对任给的 G 0 , 取 x = 2 n+ , 这里正整数n G , 则有2 f ( x) = 2 n+ 2 2sin 2 n+ 2 = 2 n + 2 G. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
49、- - - 第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - - 2 64 第三章函 数 极限但 lim x + f ( x ) , 因若取数列x n = 2 n( n = 1 , 2, ) , 则 xn + ( n ) , 而lim n + f ( xn ) = 0 . 如同对无穷小量进行阶的比较的讨论一样, 对两个无穷大量也可定义高阶无穷大量、同阶无穷大量等概念.这里就不再详述了. 由无穷大量与无穷小量的定义, 可推得它们之间有如下关系: 定理3.13 ( i) 设 f 在 U( x0 ) 内有定义且不等于0 .若 f 为 x x0 时的无穷小量 , 则1 为 xx0 时的无穷大
50、量. f ( ii ) 若 g 为 xx0 时的无穷大量, 则1 为 x x0 时的无穷小量. g 定理的证明留给读者.根据这个定理 , 对无穷大量的研究可归结为对无穷小量的讨论. 四曲线的渐近线作为函数极限的一个应用, 我们讨论曲线的渐近线问题.由平面解析几何知道, 双曲线x y2-= 1 有两条渐近线x y= 0 ( 图 3 -7 ).一般地 , 曲线的渐近a2 b2 a b线定义如下 : 定义 4 若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时, 点 P 与某定直线 L 的距离趋于0 , 则称直线L 为曲线 C 的渐近线 ( 图 3- 8). 图3 -7 图3 -8 下面我们讨论曲线y
51、= f ( x ) 在什么条件下存在斜渐近线y =kx +b 与垂 直渐近线x = x0 , 以及怎样求出渐近线方程. 现假设曲线y = f ( x ) 有斜渐近线y =kx +b .如图 3-8 所示, 曲线上动点P 到渐近线的距离为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - - 3 3 5 无穷小量与无穷大量65PN = PMcos= f ( x ) - ( kx+ b) 1 . 1 + k2按渐近线的定义, 当 x+
52、时, | PN | 0 , 即有lim x + 或 f ( x) - ( kx + b) = 0 , 又由lim f ( x) lim x + f ( x) - kx = b. (3) 1 x + 得到x - k = lim x+ x f (x)- kx = 02 b = 0, lim x + f( x ) x = k. (4) 由上面的讨论可知, 若曲线y = f ( x) 有斜渐近线y = kx + b , 则常数k 与 b 可相继由 (4 ) 式和( 3 ) 式来确定 ; 反之, 若由( 4 ) 、(3 ) 两式求得k 与 b , 则可知| PN | 0 ( x + ) , 从而y =
53、kx + b 为曲线y = f ( x ) 的渐近线 . 若函数 f 满足lim x x 0 f ( x ) = ( 或 lim x x +0 f ( x ) = , lim x x -0 f ( x) = ) , 则按渐近线的定义可知, 曲线 y = f ( x ) 有垂直于x 轴的渐近线x = x0 , 称为垂 直渐近线. 例 5 求 曲线 f ( x )=x 的x2 + 2 x - 3 渐近线 . 解 由 (4 ) 式f(x) x3x = x3 + 2 x2 - 3 x 1( x ) , 得 k = 1 .再由( 3) 式x3 f (x)- kx= x2 + 2 x - 3 - x -2
54、( x ) , 图3 - 9 得 b = - 2 .从而求得此曲线的斜渐近线方程为y = x - 2 . 又由f (x)=x 易见( x + 3) ( x - 1) 对于 x - 或 x的情形,也有相应的结果. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 28 页 - - - - - - - - - 2 3 66 第三章函 数 极限lim x - 3 f ( x ) = , lim f ( x) = , x 1 所以此曲线有垂直渐近线x = - 3 和 x = 1
55、( 图 3 - 9) . 习题1. 证明下列各式 : 3 (1) 2 x - x2 = O( x) ( x 0 ) ; (2) xsin x = O( x 2 ) ( x0+ ); (3) 1 + x - 1 = o( 1) ( x 0 ); (4) ( 1 + x) n = 1 + nx + o( x) ( x 0 ) ( n 为正整数) ; (5) 2 x3 + x2 = O( x3 ) ( x ); (6) o( g( x) ) o( g( x) ) = o( g( x) ) ( x x0 ) ; (7) o( g1 ( x ) )2 o( g2 ( x) ) = o( g1 ( x )
56、 g2 ( x ) ) ( x x0 ) . 2. 应用定理 3. 12 求下列极限 : xarctan 1(1) limx ; (2)lim1+ x -1xx - cos x x 0 1 - cos x 3. 证明定理 3. 13 . 4. 求下列函数所表示曲线的渐近线: (1) y = 1 ; ( 2) y = arctan x ; (3) y = 3 x + 4 . x x2 - 2x 5. 试确定的值, 使下列函数与x当 x 0 时为同阶无穷小量: (1) sin 2 x - 2sin x; (2 ) 1 1 + x - (1 - x ) ; 5 (3) 1 + tan x- 1 -
57、sinx; (4) 3 x2 - 4 x3 . 6. 试确定 的值 ,使下列函数与x当 x时为同阶无穷大量: ( 1)x2 + x5 ; (2) x + x2 (2 + sin x); (3) ( 1 + x) ( 1 +x2 ) ( 1 + xn ). 7. 证明 : 若 S 为无上界数集 , 则存在一递增数列 xn S , 使得xn + ( n ). 8. 证明:若 f为 xr 时的无穷大量,而函数 g 在某 U ( r)上满足 g( x )? K0,则 fg 为 x r 时的无穷大量. 9. 设 f ( x) g( x) ( x x0 ) , 证明 : f ( x) - g( x) =
58、o( f ( x ) ) 或f ( x) - g( x) = o( g( x) ). 这里等式的含义是:两个比g 高阶的无穷小量的和或差仍是一个比g 高阶的无穷小量.后一小题类似 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 25 页，共 28 页 - - - - - - - - - a 总 练习题67总 练 习题1. 求下列极限 : (1) lim ( x - x ) ; ( 2 )lim ( x + 1) - 1 ; x3- x1 +(3) lim ( ( a + x) (
59、 b + x)- ( a - x) ( b - x ) ); x(4) lim x ; (5) lim x ;x + x2 - a2x - x2 - a2(6) lim 1 + x- 1 - x;x0 3 1 + x- 3 1 - x (7)lim x1 m 1 - xm-n 1 - xn, m , n 为正整数. 2. 分别求出满足下述条件的常数a 与 b: (1)lim x + x2 + 1 x + 1 - ax- b =0; (2)lim x - (3)lim x + ( x2 - x + 1 - ax - b) = 0; ( x2 - x + 1 - ax - b) = 0 . 3.
60、试分别举出符合下列要求的函数f : (1)lim x2 f ( x) f (2 ) ; ( 2) lim x 2 f ( x )不存在 . 4. 试给出函数f 的例子 , 使 f ( x ) 0 恒成立 , 而在某一点x0 处有lim x x 0 f ( x) = 0 .这 同极限的局部保号性有矛盾吗? 5. 设 lim x a f ( x) = A , lim u A g( u) = B , 在何种条件下能由此推出lim g( f ( x) ) = B ? x a 6. 设 f ( x) = xcos x .试作数列(1) xn 使得 xn ( n ) , f ( xn ) 0 ( n )
61、; (2) yn 使得 yn (n ) ,f ( yn ) + ( n ) ; (3) zn 使得 zn ( n ) , f ( zn ) - ( n ) . 7. 证明 : 若数列 an 满足下列条件之一, 则 an 是无穷大数列: n (1)lim n (2)lim n | an | = r 1; an + 1 = s 1 ( an 0 , n = 1 ,2, ). n 8. 利用上题 ( 1)的结论求极限: n2 n2 (1) lim n 1 + 1 n ; (2) lim n 1- 1 . n 9. 设 lim an = + , 证明n (1) lim 1 ( a +a + + a )
62、 = + ; nn 1 2 nn (2) 若 an 0 ( n = 1, 2, ) , 则 lim n a1 a2 an = + .名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 28 页 - - - - - - - - - 68 第三章函 数 极限10. 利用上题结果求极限: n ln( n!) (1) lim n n !; (2) lim . nn 11. 设 f 为 U- (x0 )内的递增函数 .证明: 若存在数列 xn U- ( x0 ) 且 xn x0 (
63、n) , 使得 lim n f ( xn ) = A ,则有f ( x0 -0)= sup x U( x ) f ( x) = A . - 0 12. 设函数f 在(0 , + )上满足方程f (2 x) = f ( x) , 且 lim x + f ( x) = A .证明: f ( x) A , x ( 0 , + ) . 13. 设函数f 在 (0 , + )上满足方程f ( x2 ) = f ( x) , 且lim + f (x)= lim x + f ( x)= f (1 ). x 0 证明: f ( x) f ( 1) , x(0 , + ). 14. 设函数f 定义在 (a, +
64、 ) 上, f 在每一个有限区间 (a,b)内有界 ,并满足lim x + ( f ( x + 1) - f ( x ) ) = A .证明lim x+ f ( x) x = A . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 28 页 - - - - - - - - - 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 28 页 - - - - - - - - -
