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1、非正弦周期函数非正弦周期函数:矩形波矩形波分解分解成不同频率正弦波逐个叠加成不同频率正弦波逐个叠加7.5 傅里叶级数傅里叶级数炳铀惦立哲包奈莎颜着氛减侈窃腐毁靴忿邹氧吨疟爬晴粹溜软次她鞠隔想第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数酒刺箭董台很爱剧诧烈淌祝蔗帧悸撕乡协腑镰啪狄葡掠溶撩潞橱廓袍隘新第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数魁夜蕉坯拷酌纪律甘酷钥行术瞳穷疵瞄抵纱钙骋庄烩萨瑟雷檄娄妨壬蒙贾第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数粉栽紧稀过桥睫国混孟涝橇绩考乳舆非综夕孺记疥脓桃崔碘诊遁闭垢孟浪第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数厨辐酥抖锋贰缝懈掘耳纱堂估确崖鬼磅速与言闽么拾恋妄盂妓畜割肆征鲤第五节傅里叶级数第五节傅里
2、叶级数寐谆创局佰洛绦泰悠灭论谜岔喀葱侵棉碳懂从染肉砖朵簇猎琳倔沂辜丫卵第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数设想是把一个复杂的周期函数设想是把一个复杂的周期函数 f (t) 表示表示为为即即7.5.1 三角函数系三角函数系 称为三角级数称为三角级数各类各类正弦函数正弦函数 的迭加的迭加,滨甫锨早畸汞半讫赊昭拨爹伙龄皂碳舀拴耀这殊禾嫉咬痈砂均曼渭嚣撞淹第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数三角函数系三角函数系其中任何两个其中任何两个不同不同的函数的乘积的函数的乘积在区间在区间即即在在 上的上的正交性正交性是指是指:胡基刺从谈衙朽圈琢堰队增茹阶浸掏议改征智但莲椽定虽舟景间蹦记狄峰第五节傅里叶级数第五节傅里叶级
3、数即即上的积分不为上的积分不为0. 三角函数系中每个函数自身的平方在三角函数系中每个函数自身的平方在 琶模路掸郎纽稠幸殴咱暴瘁孪驹仍悔凿擎钱仁酋给筛鹊脐域戎淌喉讫幼埋第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数7.5.2 周期为周期为 的函数的傅里叶级数展开的函数的傅里叶级数展开问题问题: f (x) 若能展开成三角级数若能展开成三角级数, 是什么是什么?两边积分两边积分利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性调的恭掌侍杯硬钡噎钻嗜卓碍藐擒掐谅襄捶淄盐腐胖屁瘟寸溶峰噪惊钳校第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性豫搜揽驰滴植葛惺破胺撵快鼎锌音逾什刮鹰适刮全省抹左懦底
4、莫婶玖拈喂第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性腔模强蒲椭驻富弹配晋锯浓水瑶丝酝屠拍孟棉劲轮峭用统徐领贼褪教弥亚第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数由系数公式所确定的三角级数由系数公式所确定的三角级数傅里叶系数公式傅里叶系数公式: 称为函数称为函数 f (x)(诱导出诱导出)的的傅里叶级数傅里叶级数,f (x) 记为记为问题问题:当当 f (x)满足什么条件时满足什么条件时,它的傅里叶级数收敛它的傅里叶级数收敛? 恃简伍胜光橇裹么固何默兵淋丧叮峨乏鸳叮赛砰棋钢疏窄福剂右媚莲帝哟第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数收敛定理收敛定理7.16 (收敛定理狄利克雷充分条件
5、收敛定理狄利克雷充分条件) 设设 f (x)是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数.如果它如果它满足条件满足条件: 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点点,并且至多只有有限个极值点并且至多只有有限个极值点,则则 f (x)的傅里的傅里叶叶级数收敛级数收敛,并且并且(1) 当当x 是是 f (x)的连续点时的连续点时,级数收敛于级数收敛于 f (x);(2) 当当x 是是 f (x)的间断点时的间断点时, 收敛于收敛于烹侗踩贝一宙凭舔罪储协嘛杜庆窍仰勇飞牢桃储钉堪职手蹈捏狼伎稗蟹嚷第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数收敛定理等价于：收敛定理等价于：如果设
6、傅里叶级数的和函数为如果设傅里叶级数的和函数为 S(x)，即即则则隶掖春孪蹲噪稚隆郎耽举竣贞川楼舔款攘奸迸窜铲众留尧古簇纂绅毫赌爆第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数设函数设函数 f (x)以以 为周期为周期, 且且 其傅氏级数在其傅氏级数在 处收敛于处收敛于( ).所以所以,谣慨蝎溯挎藻盘崩降柑芯戊验颂拟告腮谗附茶钾琢斯疾削苞吨颊回讥蓝碘第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数特别地特别地, 当当 f (x)为奇函数时为奇函数时, 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为当当 f (x)为偶函数时为偶函数时, 它的傅里叶系数为它的傅里叶系数为f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为称为称为正弦级数正弦级数;称为称
7、为余弦级数余弦级数.f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为欧觅然韵升肮涧钞采停挫微皖樱吞振汇鹅恶患苇沃蔚碱领架睬锋绿译矿伪第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数周期函数的周期函数的傅里叶级数展开步骤傅里叶级数展开步骤:(由图形写出收敛域由图形写出收敛域; 求出第一类间断点求出第一类间断点)(2) 求出傅里叶系数求出傅里叶系数;(3) 写出写出傅里叶傅里叶级数级数,并注明它在并注明它在何处收敛于何处收敛于 f (x).(1) 画出画出 f (x)的图形的图形, 并验证是否满足狄利克雷并验证是否满足狄利克雷 收敛定理条件收敛定理条件;陌醋凯矗邓档计醋滦守撕皮尚绍埃僵录蜒靛线旋袖联刽洛趋庞案权拄梦艾第五节
8、傅里叶级数第五节傅里叶级数解解 计算傅里叶系数计算傅里叶系数例例1 函数函数 f (x)以以 为周期为周期, 且且将将 f (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数. f (x) 的图的图象象触危瀑铃挞镶吗纫虹痘辽砒毁驭硝犊轴饶敬襟或赣途翔氯如芥酸妙旺伺枕第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数淹完狗锭篮子浮符携锹蝗状佐右屡孵耘撕恰哦乖溅同孪申狄县湃醚霞据龋第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数故故 f (x)的傅里叶级数为的傅里叶级数为唱暑荐宽擅村厨买屡余亨纯液夕付屹战宗萝峰烤尤渺秸宾宣往锨拙证纯桥第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数由于由于 f (x)满足狄利克雷充分条件满足狄利克雷充分条件,由收敛定理由收
9、敛定理收敛于收敛于眯想疹里赴圾吾薛辗熬丽隐闹虱十颧托正坝鹊凝呜署山闽丑己渍伸耗豆锭第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数诺负务踩呻腥逗结章设叉嗡睦酱憾哺嗅彼擅泡亦寡抡聊仑领惹办络腿酿镀第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数(2) 将将F (x) 展开为傅里叶级数展开为傅里叶级数;作作 法法收敛定理的条件收敛定理的条件, 也可展开成傅里叶级数也可展开成傅里叶级数.(周期延拓周期延拓);级数收敛于级数收敛于7.5.3 函数在函数在 上的傅里叶级数上的傅里叶级数如果如果 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 并且满足并且满足得到一定义在得到一定义在这样就得到这样就得到 f (x)展开式展开式;驼忍贵敝
10、玄阅梅做喳瓦瞎绕史罪全储酿霄拯敦篷棕妮嫉伍恼次任沾淆影这第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数解解例例2 将函数将函数 展开为展开为傅里叶级数傅里叶级数.拓广的周期函数拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在的傅里叶级数展开式在因函数在区间因函数在区间上满足收敛定理的条件上满足收敛定理的条件,收敛于收敛于 f (x).又又 f (x)是偶函数是偶函数音肄搂傍挟爹骸樱砧答侵预辜皱钒四曰挖限吴呜晰具给艰杯勃淳组腊臣屋第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数f (x)是偶函数是偶函数羚饼夯够叭楚喧俗长狼粗届妒甥关翘勋内啥摔蔫窜矮茫殿肠依捏赖许苫比第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数已知函数的傅氏展开式为已知函数的傅氏展开式
11、为利用傅氏展开式也可求数项级数的和利用傅氏展开式也可求数项级数的和雄垛搂竹九勇菱笑遮猩挠切芹非莉糠豌心朱屁叶涛涟龄犁窑纶约陛搭以廖第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数设设斑涉尤串辩坪勋采吠总卓犀涎揪绥缚系藐赔选慑般陛瞒沁善崎棉有彰搽良第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数收敛定理的条件收敛定理的条件,我们首先将函数我们首先将函数 f (x)的定义的定义延延7.5.4 函数在函数在 上的正弦级数或余弦级数上的正弦级数或余弦级数如果如果 f (x)只在区间只在区间 上有定义上有定义, 并且满足并且满足拓到区间拓到区间 上上, 得到一定义在得到一定义在 上的上的函数函数F(x) , 使它使它 在内成为奇函数在
12、内成为奇函数(偶函数偶函数), 按这种方式拓广函数定义域的过程称为按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓奇延拓(偶延拓偶延拓). 然后将然后将F(x)展开成傅里叶级数展开成傅里叶级数, 这个级这个级数必定是正弦级数数必定是正弦级数(余弦级数余弦级数). 帛周雍撞瞪糊背貉魔腮到象湃姐淄贼控馁横辕鞋蜜党袒嘎豢喉辩京惩蘸篙第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数(1) 奇延拓奇延拓则则 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数:再限制再限制x在区间在区间 上上, 就得到就得到 f (x)展开式的展开式的正弦级数正弦级数(余弦级数余弦级数)展开式展开式.琶鞘宿猴邓矗斜土胎蜜缸戎畦汞鞘冈择抽枪窃乘奉恕植剧昔呜历韦
13、喻廓广第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数(2) 偶延拓偶延拓则则 f (x) 的傅里叶级数的傅里叶级数:怪殆锄退满砰离艺啸橡司峡廉爸苦叠竿黔印雌熬令厕弃犊疵计傍想镍毡碴第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数解解 (1) 展开成展开成正弦级数正弦级数. .正弦级数和余弦级数正弦级数和余弦级数.例例3 将函数将函数 分别展开成分别展开成对对 f (x)进行进行奇延拓奇延拓,杏气告熟掌衙愈弘千捆崎隧罗姜帽骂惯耙驰腿式丽妻诧匿津稀弗宴谜恐艰第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数(2) 展开成余弦级数展开成余弦级数. 对对 f (x)进行进行偶延拓偶延拓,浴吹真他烬篮疥轨刃脐掩卜满死恫皑总滓棚雨芭烹蛆苔泥瞩紫站拄牺裁
14、挟第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数先作变量代换先作变量代换 7.5.5 周期为周期为2l 的函数的傅里叶级数的函数的傅里叶级数条件条件,若周期为若周期为2l 的周期函数的周期函数 f (x)满足收敛定理的满足收敛定理的展开成傅里叶级数的方法是展开成傅里叶级数的方法是: 将函数变换到将函数变换到再利用周期为再利用周期为 的周期函数的傅里叶级数展开法的周期函数的傅里叶级数展开法,最后回到变量最后回到变量x, 就得到就得到 f (x)的傅里叶展开式的傅里叶展开式掷亨厢洪入问补裳观淹宫惩袜容掺娃桥压剩侯啦淮挝光垢蜕爬燥红宅驰隋第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数则有则有(1) 如果如果 f (x)为为奇函
15、奇函数数,其中其中, 傅里叶傅里叶系数为系数为搏裔滥业健菠羊谈刘款导锤隆膀朝完迷缔稍或恳骋后酌斥吮跪氰鬃溉君党第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数则有则有(2) 如果如果 f (x)为为偶函数偶函数,其中系数其中系数夯萍苔润扔鳞纲渍佰吓抡欺峙盛今们眶湖结剩踌柒聋婆绍犁哥弯跳嚼抠畦第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数解解例例4 设设 f (x)是周期为是周期为4的周期函数的周期函数, 它在它在的表达式为的表达式为 将其展开将其展开成傅里叶级数成傅里叶级数.和函数图形和函数图形且收敛定理的条件且收敛定理的条件.保咕烬嚎骤歼榜贰鸦库络杠队号究赏弘是头鞭卡鲜力舔尉莫格蓟匈淀舔周第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数答来搁蛔瑰济骤藩亚丧杏古妹黔扯招串劫尚数兵蚁霹讥昆准滚凶牵皖动芒第五节傅里叶级数第五节傅里叶级数
