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1、优秀学习资料欢迎下载高一数学初高中衔接专题一 . 数与式的运算一、知识回顾1. 绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零即,0,|0,0,0.aaaaa a绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上， 数a和数 b 之间的距离2、 从绝对值式的有关知识易得若|x| a（a0） ，则有 xa 或 x-a. 若|x| a（a0） ，则有 -axa. 3、 由 1 可得到解一般简单绝对值不等式的基本方法：对形如 |ax+b| c （c0）的绝对值不等式只需将绝对值内的式子视为整体，可
2、得（1）|ax+b| cax+bc 或 ax+b-c （c0）. （2）|ax+b| c-c ax+bc（c0）. 二、典例讲解：例 1 解等式： (1) 、21x ( 2)、321x例 2、解不等式：（1）21x（2）321x|1-2x| 5; |5x-6| 4 （5）631xx、三、巩固练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载1、填空：（1）若5x，则 x=_ ；若4x，则 x=_. （2） 如果5ba， 且1a， 则b_； 若21c， 则c_. （3） 化简： | x5| |2 x13|
3、（x5） 2选择题：下列叙述正确的是（A）若 ab ，则 ab（B）若 ab ，则 ab（C）若 ab，则 ab（D ）若 ab ，则 ab3解不等式：|x+2| 3； (2) 13x；（3）327xx；（4）|6-4x|5 (5) 116xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载专题二、因式分解一、知识回顾：1、因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法（1）提公因式法（2） 运用公式法：运用公式法因式分解时，常用公式如下：平方差公式：22(
4、)()abab ab；完全平方公式：2222()aabbab立方和（差）公式：3322()()ababaabb三数和平方公式：2222()2()abcabcabbcac；两数和立方公式：33223()33abaa babb；两数差立方公式：33223()33abaa babb（3） 分组分解法定义：把多项式分成几组来分解因式的方法叫分组分解法（4） 求根法221212=0(0)(0),xaxbxcaxxaxbxc aaxx若关于 的方程的两个实数根是、 ，则二次三项式就可分解为（ x-)(x-这种因式分解的方法叫求根法十字相乘法（1）定义：借助画十字交叉线分解系数把二次三项式分解因式的方法，通
5、常叫做十字相乘法（2）具体步骤：将二次三项式ax2+bx+c 分解因式时，首先，把a分解成2121ccccaaa分解成把，并把1212,c ,a ac,，排列如下1a1c2a2c然后，按交叉线相乘，再相加，就得到1221c ,a ca如果它 正 好 等 于b ， 那 么ax2+bx+c=（11ca x）（22ca x）， 其 中1122,caac位于上一行，位于下一行自学例题：运用“ 十字相乘”进行分解因式：（1）x23x2；（2）x24x12；（3）22()xab xyaby；（4）1xyxy解： （1）如图 111，将二次项 x2分解成图中的两个x 的积，再将常数项精选学习资料 - - -
6、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载2 分解成 1 与2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为3x，就是x23x2 中的一次项，所以，有x23x2( x1)( x2)说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 111 中的两个x 用 1 来表示（如图 112 所示） （2）由图 113，得x24x12(x2)( x6) （3）由图 114，得22()xab xyaby()()xayxby（4）1xyxyxy( xy) 1 ( x1) ( y+1) （如图 115 所示） （6） 、关于 x 的二次三项式
7、 ax2+bx+c( a0)的因式分解若关于x 的方程20(0)axbxca的两个实数根是1x、2x，则二次三项式2(0)axbxc a就可分解为12()()a xxxx. 2、因式分解的一般步骤：多项式的各项有公因式的，先提取公因式。各项没有公因式时， 要看能否用公式来分解， 二项式考虑平方差公式， 三项式考虑完全平方公式或十字相乘法。如果用上述方法不能分解，再看能否运用分组求解法因式分解必须进行到每一个多项式都不能再继续分解为止。3、因式分解的需要注意的事项（A） 因式分解因式及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能不能分解和怎样分解（B） 当二次项系数
8、为 1 时，如果能把二次三项式x2+px+q 的常数项 q 分解成两个因数 a、b 的积，使a+ b 正好等于一次项系数p，那么 x2+px+q=x2+(a+b)x+ab=（x+a） （x+b）练习1选择题：多项式22215xxyy的一个因式为（）（A）25xy（B）3xy（C）3xy（D）5xy2分解因式：（1）x26x8；（2）8a3b3；（3）x22x1；（4）4(1)(2 )xyy yx二、典例讲解1 2 x x 图 111 1 2 1 1 图 112 2 6 1 1 图 113 ayby x x 图 11 4 1 1 x y 图 11 5 精选学习资料 - - - - - - - -
9、 - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载例1、 将下列各式分解因式（1）yxyyx22（2）4x（x-y ）+2y（y-x ）（3）x2（x-y ）+4（xy-x2）例 2、 （1）3a2b-27b3（2）a2+b2+2ab+4a+4b+4 （3）25（a+b）2-16（b-a）2例 3. 因式分解（1）x3-1 （2）x6-y6（3）x3+x2y+xy2+y3例 4. 在实数范围内把下列关于x 的二次三项式因式分解（1）x2+2x-1 （2）x2+4x-4 (3) 2x2-4x-2 （4）62xx（5）62xx例 5、将下列各式因式分解（1）
10、2x2-x-15 （2） （x+y）22（x+y）-24 （3）3x2+11x+10 （4）4x2-4x-15 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载(5)(x2+x)2-8(x2+x)+12 例 6、把下列关于 x 的二次多项式分解因式：（1）221xx；（2）2244xxyy三、巩固练习（一） 、填空题：1、把下列各式分解因式：（1）652xx_。（2）652xx_。（3）652xx_。（4）652xx_。（5）axax12_ （6）18112xx_。（7）2762xx_。（8）91242mm_
11、。（9）2675xx_。（10）22612yxyx_ 2、342xxxx3、若422xxbaxx则a，b。（二） 选择题：（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k 等于（A）2m（B）214m（C ）213m（D）2116m（2）不论a， b为何实数，22248abab的值（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数（三） 、因式分解1. 在实数范围内因式分解：（1）253xx；（2）22 23xx；（3）2234xxyy；（4）222(2 )7(2 )12xxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页
12、，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（5）. 2a3+6a2-10a （6） 、3722xx（7） 、2223yxyx（ 8 ） 、65xxx（9） 、x2-(2a+1)x+a2+a （10） 、3)(42yxyx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载专题三、一元二次方程、二次函数与一元二次不等式解法一知识回顾（一） 、根的判别式：对于一元二次方程ax2bxc0（a0） ，有（1） 当 0 时，方程有两个不相等的实数根x1，2242bbaca；（2）当 0 时，方程有两个相等的实数根x1x22ba；（
13、3）当 0 时，方程没有实数根（二） 、 根与系数的关系（韦达定理）如果 ax2bxc0（a0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1x2ba，x1x2ca这一关系也被称为韦达定理特别地，对于二次项系数为1 的一元二次方程x2pxq0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知x1x2p，x1x2q，即p ( x1x2) ，qx1x2，所以，方程 x2pxq0 可化为 x2(x1x2)xx1x20，由于 x1，x2是一元二次方程x2pxq0 的两根，所以， x1，x2也是一元二次方程x2(x1x2) xx1x20因此有以两个数 x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2( x1x2)xx1x
14、20（三） 、二次函数与二次不等式解法关系1、请同学们画出二次函数yx2x6 的对应值表与图象如下 ：x 3 2 1 0 1 2 3 4 y 根据图像思考以下问题：1）一元二次方程 x2x60 的解为： _ ；同样，结合抛物线与x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式x2x60 的解为 _ 一元二次不等式 x2x60 的解为 _ 上例表明：由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等式的解集那么，怎样解一元二次不等式ax2bxc0(a0)呢？2）我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数yax2bxc(a0)精选学习资料 - - - - - - - - - 名
15、师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载的图象来解一元二次不等式ax2bxc0(a0)为了方便起见，我们先来研究二次项系数a0 时的一元二次不等式的解我们知道，对于一元二次方程ax2bxc0(a0) ，设 b24ac，它的解的情形按照 0，=0，0 分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实数解，相应地，抛物线yax2bxc（a0）与x 轴分别有两个公共点、一个公共点和没有公共点(如图 2.3 2 所示) ，因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2bxc0（a0）与ax2bxc0（a0）的解（1）当 0 时，抛
16、物线 yax2bxc（a0）与 x 轴有两个公共点 ( x1，0)和(x2， 0)，方程 ax2bxc0 有两个不相等的实数根x1和 x2( x1x2) ， 由图 2.32可知：不等式 ax2bxc0 的解为 xx1，或 xx2；不等式 ax2bxc0 的解为 x1xx2（2）当 0 时，抛物线 yax2bxc（a0）与 x 轴有且仅有一个公共点，方程 ax2bxc0 有两个相等的实数根x1x2b2a，由图 2.3 2可知：不等式 ax2bxc0 的解为 xb2a；不等式 ax2bxc0 无解（3）如果 0，抛物线 yax2bxc（a0）与 x 轴没有公共点，方程ax2bxc0 没有实数根 ，
17、由图 2.3 2可知不等式 ax2bxc0 的解为一切实数；不等式 ax2bxc0 无解今后，我们在解一元二次不等式时，如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边同乘以1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去解不等式亲爱的同学们你能总结刚学到的知识吗？赶快试一下吧判别式000二次函数yax2bxc（a0）图像方程 ax2bxc0 两个不相等的实数根 x1和 x2(x1x y O x1 x2 x y O x1= x2 y x O 图 2.3 2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
18、- -第 9 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载x2) ，ax2bxc0 的解集ax2bxc0 的解集ax2bxc0 的解集ax2bxc0 的解集解集（四）分式不等式的解法：形如1、解分式不等式的基本思路：等价转化为整式不等式（组）：（1）00fxfxg xg x（2）000fxg xfxg xg x解题方法：数轴标根法。解题步骤：（1）首项系数化为“正”（2）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。二、典型讲解例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（1）x23x30；（2）x2ax10；（3） x2ax(a1) 0；（4）x22xa0例 2
19、、 解下列一元二次不等式：（1）x22x30；（2）xx260；（3）4x24x10；（4）x26x90；（5）4xx20（6）-x2+3x+40 例 3、解下列分式不等式311.021xx122.01xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载13.2xx354.223xx例 4、 、 （1）已知方程2560xkx的一个根是 2，求它的另一个根及k 的值（2）已知关于 x 的方程 x22(m 2) xm240 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求 m的值（3） 若 x1和
20、x2分别是一元二次方程2x25x30的两根（1）求| x1x2| 的值；（2）求221211xx的值； （3）x13x23（4） 、 若关于 x 的一元二次方程 x2xa40 的一根大于零、 另一根小于零，求实数 a 的取值范围三、巩固练习：1解下列不等式：（1）x2x120；（2）168xx20（3）2250xx（4）2104xx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载（5）21231200xx（6）2350xx（7）242025xx（8）(1)(23)1xxxx2、解分式不等式（1） 、302x
21、x（2）（3） 、2213xx（4 ） 、1203xx（5） 、2113xx（6） 、2232023xxxx3选择题：（1）方程222 330xkxk的根的情况是（A）有一个实数根（B）有两个不相等的实数根（C）有两个相等的实数根（D ）没有实数根（2）若关于 x 的方程 mx2 (2 m 1) xm 0有两个不相等的实数根， 则实数m的取值范围是（A）m 14（B）m 14（C）m 14，且 m 0 （D）m 14，且 m 0 1 选择题 : （1） 已知关于 x 的方程 x2kx20 的一个根是 1， 则它的另一个根是 （）（A）3 （B）3 （C ）2 （D ）2 （2）下列四个说法：方
22、程 x22x70 的两根之和为 2，两根之积为 7；方程x22x70 的两根之和为 2，两根之积为 7；方程 3 x270 的两根之和为 0，两根之积为73；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页优秀学习资料欢迎下载方程 3 x22x0 的两根之和为 2，两根之积为 0其中正确说法的个数是（）（A）1 个（B）2 个（C ）3 个（D）4 个（3）关于 x 的一元二次方程 ax25xa2a0 的一个根是 0，则 a 的值是（）（A）0 （B）1 （C ）1 （D ）0，或 1 4填空 : （1）方程 kx24x10
23、的两根之和为 2，则 k（2）方程 2x2x40 的两根为 ，则 22（3）已知关于x 的方程x2ax3a0 的一个根是 2，则它的另一个根是（4）方程 2x22x10 的两根为 x1和 x2，则| x1x2| （5）若方程 x23x10 的两根分别是 x1和 x2，则1211xx（6）方程 mx2x2m 0（m 0）的根的情况是（7）以 3和 1 为根的一元二次方程是5试判定当 m取何值时，关于 x 的一元二次方程m2x2(2m 1) x10 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页
