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1、第四节第四节 函数的连函数的连续性续性高等数学 01-04-01一、一、函数的连续性函数的连续性二、二、函数的间断点函数的间断点三、三、连续函数的性质连续函数的性质高等数学 01-04-02y yx xO Oy yx xO O y=f y=f( (x x) ) y=f y=f( (x x) )x0连续连续(continuous)间断间断(discontinuous)高等数学 01-04-03增量增量(increment) 设函数设函数 y=f(x) 在在 x0 点及其附近有定点及其附近有定义，自变量义，自变量 x 在在 x0 点有一个增量点有一个增量 x，当当 x 从从 x0 变到变到 x0+
2、 x 时，函数时，函数 y 相应地从相应地从 f(x0) 变到变到 f(x0+ x)，则称函数值的差则称函数值的差 f(x0x) f(x0) 为为函数函数 f(x) 在在 x0 点对应的点对应的增量增量，记，记为为 y=f(x0x) f(x0)注注 增量指改变量，可正可负。增量指改变量，可正可负。高等数学 01-04-04 y y=f(x)f(x0)x0+ xf(x0+ x)x0高等数学 01-04-05xyO连续连续(continuous) 设函数设函数 y=f(x) 在点在点 x0 及其附近有定及其附近有定义，若当自变量义，若当自变量 x 在点在点 x0 的增量的增量 x 趋趋于零时，对应
3、的函数增量于零时，对应的函数增量 y=f(x0+ x)- -f(x0)也趋于零，即也趋于零，即高等数学 01-04-06则称函数则称函数 y=f(x) 在点在点 x0 连续连续。连续连续 设函数设函数 y=f(x) 在在 x0 点及其附近点及其附近有定义，如果函数有定义，如果函数 f(x) 当当 xx0 时的时的极限存在，且等于它在极限存在，且等于它在 x0 点的函数点的函数值，即值，即高等数学 01-04-07则称函数则称函数 f(x) 在在 x0 点点连续连续。函数在点函数在点 x0 连续的连续的三点要求三点要求：（1）f(x) 在点在点 x0 有定义；有定义；（2）极限极限 存在；存在；
4、（3） 。高等数学 01-04-08有定义有定义有极限有极限连续连续高等数学 01-04-09左连续左连续(left-hand continuity) 设函数设函数 y=f(x) 在在 x0 点及其附近点及其附近有定义，若有定义，若高等数学 01-04-10则称函数则称函数 f(x) 在在 x0 点点左连续左连续。右连续右连续(right-hand continuity) 设函数设函数 y=f(x) 在在 x0 点及其附近点及其附近有定义，若有定义，若高等数学 01-04-11则称函数则称函数 f(x) 在在 x0 点点右连续右连续。显然有显然有高等数学 01-04-12开区间内的连续函数开区
5、间内的连续函数 若函数若函数 f(x) 在开区间在开区间 (a,b) 内内的每一点都连续，则称的每一点都连续，则称 f(x) 在开区在开区间间 (a,b) 内内连续连续，并称函数，并称函数 f(x) 是是 (a,b) 内的内的连续函数连续函数。高等数学 01-04-13闭区间上的连续函数闭区间上的连续函数 若函数若函数 f(x) 在开区间在开区间 (a,b) 内内连续，且在左端点连续，且在左端点 a 右连续，在右右连续，在右端点端点 b 左连续，则称函数左连续，则称函数 f(x) 在闭在闭区间区间 a,b 上上连续连续，并称，并称 f(x) 是是 a,b 上的上的连续函数连续函数。高等数学 0
6、1-04-14间断点间断点(discontinuity points) 函数函数 y=f(x) 如果在如果在 x0 点不连续，点不连续，则称则称 x0 点是函数点是函数 y=f(x) 的的间断点间断点。有下列三种情况：有下列三种情况：（1）f(x) 在点在点 x0 没有定义；没有定义；（2）极限极限 不存在；不存在；（3） 。高等数学 01-04-15高等数学 01-04-16第一类间断点第一类间断点 设设 x0 点是函数点是函数 y=f(x) 的一个间的一个间断点，若单侧极限断点，若单侧极限 ， 都存在，则称都存在，则称 x0 点为点为第一类间断点第一类间断点，非第一类间断点称为非第一类间断
7、点称为第二类间断点第二类间断点。高等数学 01-04-17可去间断点可去间断点 在第一类间断点中，左右极限相在第一类间断点中，左右极限相等者称为等者称为可去间断点可去间断点，不相等者称为不相等者称为跳越间断点跳越间断点。无穷间断点无穷间断点 若当若当 时，时， ，称，称 x0 点点为为无穷间断点无穷间断点。例例 讨论函数讨论函数 的间断点。的间断点。高等数学 01-04-18例例 讨论函数在讨论函数在 x=1 点的连续性。点的连续性。高等数学 01-04-19yxOy=- -x+32112y=- -x+1高等数学 01-04-20例例 讨论函数讨论函数 的间断点。的间断点。高等数学 01-04
8、-21高等数学 01-04-22（1）（2）课堂讨论题课堂讨论题 讨论下列函数的连续性。讨论下列函数的连续性。定理定理（连续函数的和、差、积、商的（连续函数的和、差、积、商的连续性）连续性） 如果函数如果函数 f(x) 和和 g(x) 都在都在 x0 点点连续，则函数连续，则函数 f(x) g(x)，f(x) g(x) 及及 f(x)/g(x) (g(x) 0)在在 x0 点连续。点连续。高等数学 01-04-23定理定理（复合函数的连续性）（复合函数的连续性） 如果函数如果函数 u= (x) 在在 x0 点连续，点连续，且且 u0= (x0)，又函数又函数 y=f(u) 在在 u0 点点连续
9、，则复合函数连续，则复合函数 y=f (x) 在在 x0 点连续。即点连续。即高等数学 01-04-24初等函数的连续性初等函数的连续性 基本初等函数在其定义域内都是基本初等函数在其定义域内都是连续的。连续的。 高等数学 01-04-25 一切初等函数在其定义区间内都一切初等函数在其定义区间内都是连续的。是连续的。例例 求极限求极限高等数学 01-04-26例例 求极限求极限高等数学 01-04-27课堂讨论题课堂讨论题 求下列函数极限。求下列函数极限。高等数学 01-04-28提示提示：令：令 x e=y定理定理（最大值和最小值定理）（最大值和最小值定理） 若函数若函数 f(x) 在闭区间在
10、闭区间 a,b 上连上连续，则续，则 f(x) 在该区间上必能取到最大在该区间上必能取到最大值和最小值。值和最小值。闭区间上的连续函数的性质闭区间上的连续函数的性质高等数学 01-04-29by yOx xay y= =f f( (x x) )f f(b b)f f(a a)N NMM高等数学 01-04-30定理定理（介值定理）（介值定理） 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间 a,b 上连上连续，且在两个端点处的函数值续，且在两个端点处的函数值 f(a) 和和 f(b) 不相等，则对介于不相等，则对介于 f(a) 与与 f(b) 之之间的任何值间的任何值 c，在开区间在开区间 (a,b
11、) 内至内至少存在一点少存在一点 ，使得，使得f( )=c (a b)高等数学 01-04-31by yOx xay y= =f f( (x x) )f f(b b)f f(a a)N NMM高等数学 01-04-32c c 推论推论（根的存在定理或零点定理）（根的存在定理或零点定理） 若函数若函数 f(x) 在闭区间在闭区间 a,b 上连上连续，且续，且 f(a) 和和 f( b) 异号，则在开区异号，则在开区间间 (a,b) 内至少存在一点内至少存在一点 ，使得，使得f( )=0 (a b)高等数学 01-04-33by yOx xay y= =f f( (x x) )f f(b b)f f(a a)高等数学 01-04-34 高等数学 01-04-35课堂讨论题课堂讨论题 证明方程证明方程 x5 3x=1 至少至少有一个根介于有一个根介于1和和2之间。之间。小结小结：增量，连续（点、区间）：增量，连续（点、区间） 左连续，右连续左连续，右连续 间断点（第一类，第二类）间断点（第一类，第二类） 连续函数的性质连续函数的性质 初等函数的连续性初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质高等数学 01-04-36作业作业：P16 习题一习题一 21 22
