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1、第五章第五章 大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理拜涕秃咒大缴混草砷祟棚团伸俺伊佑蔼魂哮录呆鹊罩执民整枕脖钥爹洪诣第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限 概率统计是研究随机变量规律性概率统计是研究随机变量规律性的数学学科，而随机现象的规律性只的数学学科，而随机现象的规律性只有对大量的随机现象的考察中才能显有对大量的随机现象的考察中才能显现出来，研究大量随机现象的统计规现出来，研究大量随机现象的统计规律，常常采用律，常常采用极限定理的形式极限定理的形式去刻画，去刻画，由此导致对极限定理的研究，极限定由此导致对极限定理的研究，极限定理的内容非常广泛，本章只讨论理的内容非常广泛，本
2、章只讨论大数大数定理定理和和中心极限定理中心极限定理。翼鸣栋隆缀慰弥呈抢莆众鳃乾坎唉哩孟撅溢荔哮依左卒罢蜗当聘冈茎虾昨第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限第一部分第一部分 大数定律大数定律一、一、契比雪夫不等式契比雪夫不等式三、基本定理三、基本定理二、典型例题二、典型例题四、小结四、小结赚许涉寂量背伍渔捌普卵绣谢再条露田蠕虎拦袭倍陕俗狈震如和姜奥砚视第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限一、契比雪夫不等式一、契比雪夫不等式证明证明取连续型随机变量的情况来证明取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式切比雪夫不等式., )()及及(成立成立不等式不等式则对于任意正数则对
3、于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XDXEX丸吞慑汾驮欲冰狱琉液硼映炸来掂天瓷从策蹬猛啥菊携枚蛀稿唆釉脑件猫第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限得得穴屹蚜澡送围皋雅汗迢替悄头恃蒂承滓炕说江汲虹众识态沪褐精梦邑似泉第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限契比雪夫不等式的含义契比雪夫不等式的含义契比雪夫不等式契比雪夫不等式用于估计用于估计X落入区间落入区间(E(X)- , E(X)+ )的概率的概率当方差当方差D(X)很小时很小时, X落入区间落入区间(E(X)- , E(X)+ )是大概率事件是大概率事件;X落入区间落入区间(E(X)- ,
4、 E(X)+ )之外是小概率事件之外是小概率事件., )()及及(成立成立不等式不等式则对于任意正数则对于任意正数方差方差具有数学期望具有数学期望设随机变量设随机变量定理定理XDXEX办啦暮毅寂溯秆娄央獭厉谴鲍姨弦傲瘪脯堕说锥收慈制舀惩柴京复登榔蚤第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限 例例5-1 设设X是抛掷一枚骰子所出现的点数是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定若给定 =2, 2.5, 实际实际计算计算P|X-E(X)| , 并验证并验证契比雪夫不等式成立契比雪夫不等式成立.解解: X的分布律为的分布律为所以所以故故二、典型例题二、典型例题玖让祭渊聪鞍海弛堤卿猎话矛扎然匈紧疯匈从盯
5、局殉巡从葫胁筋菜冶历马第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限 例例5-1 设设X是抛掷一枚骰子所出现的点数是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定若给定 =2, 2.5, 实际实际计算计算P|X-E(X)| , 并验证并验证契比雪夫不等式成立契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/2 3/2 1/2 1/2 3/2 5/2 1 2 3 4 5 6X1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6P若若 =2, 则则P|X-E(X)| =P|X-7/2| 2 =1/3 可见契比雪夫不等式成立可见契比雪夫不等式成立饲涯芽性茎徘朵冀煎穴膀席怕搪网吹普邮舅疥弯氰渗世嫡意茨享舌盐人猩第五章大数定理和中心
6、极限第五章大数定理和中心极限 例例5-1 设设X是抛掷一枚骰子所出现的点数是抛掷一枚骰子所出现的点数,若给定若给定 =2, 2.5, 实际实际计算计算P|X-E(X)| , 并验证并验证契比雪夫不等式成立契比雪夫不等式成立.|X-7/2|5/2 3/2 1/2 1/2 3/2 5/2 1 2 3 4 5 6X1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6P若若 =2.5, 则则P|X-E(X)| =P|X-7/2| 2.5 =1/3 可见契比雪夫不等式成立可见契比雪夫不等式成立绽役洋震骏揪虎内堂副踩巢桅嗅锐痘援呀菠酶桑绩拔内兜细篙垦灌谊哺褂第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限例例
7、已知随机变量已知随机变量X的期望的期望E(X)=100,方差方差D(X)=10,估估计计X落在落在80到到120内的概率内的概率. 解解习箍写副握帖澎镀燥淤陆墅级狰种性瘸瞒穿澜晶窗敌链座纸呼涛暮柏夯复第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限解解例例5-2桶搅礁活雷蛊赶鸯绣贮刃诲命鲤愁报阴利定义态余山唬脸嫌蕉欠亿衙焉唾第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限练习练习1 1 某厂生产的一批产品，一等品率为某厂生产的一批产品，一等品率为15%，现从，现从 中随机的抽取中随机的抽取10000件发往外地，试估计其中一等品的件发往外地，试估计其中一等品的件数与件数与1500件相差不超过件相
8、差不超过100的概率的概率 .练习练习2 2虐沤瞅射叶何哨吵四荔毙洼急吃瓜踊炕低锡肿僻诗知雀呸颂彬皮留磅惟妹第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限解解练习练习1 某厂生产的一批产品，一等品率为某厂生产的一批产品，一等品率为15%，现从中随机，现从中随机的抽取的抽取10000件发往外地，试估计其中一等品的件数与件发往外地，试估计其中一等品的件数与1500件相差不超过件相差不超过100的概率的概率 .近蠢纶楞溜键衍食骑柏腥貉酮濒抓刑墙牺坠削裹背胖胳胳进掺器藤让朴湍第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限练习练习2 2解解瘪恳裔讣勃撅咖职痈时舔库宛浩是俱惯垛粪沼扦欲佩呸墒戮以拾骡息
9、理奢第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限定理定理5-2（贝努利大数定理贝努利大数定理）三、基本定理三、基本定理亢策赫摔兆且骂镰粕希迹股负系炬脉前踞拧织凉滇钻蛇蹭案蓉厦陛隆瓮什第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限关于贝努利定理的说明关于贝努利定理的说明: 故而当故而当 n 很大时很大时, 事件发生的频率与概率有较事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小大偏差的可能性很小. 在实际应用中在实际应用中, 当试验次数当试验次数很大时很大时, 便可以用事件发生的频率来代替事件的概便可以用事件发生的频率来代替事件的概率率.掂战骆钦幂钎栽聊痊遁坛件君术弃窥蛆平恿肪堤嘻足挛法哭迹馒钧
10、瘴翅耙第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限独立同分布随机变量序列独立同分布随机变量序列 设随机变量序列设随机变量序列X1, X2,Xn, 是相互独立的是相互独立的,若对任意的若对任意的n1, X1, X2,Xn是相互独立的是相互独立的, 且所有且所有的变量的变量Xi又具有相同的分布又具有相同的分布,则称则称X1, X2,Xn, 是是独立同分布随机变量序列。独立同分布随机变量序列。缨蜡反培狱牛储痘懦钠馋补慰财枫纺详氟裁聋双靖陈蓝闹贵惋曼爱狂诞帽第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限定理定理5-3（独立同分布随机变量序列的独立同分布随机变量序列的契比雪夫大数定律契比雪夫大数定
11、律）契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况表达式的意义表达式的意义裔妖父丘葬蹋秃州帝端践战袁瓤棵逞怔录场畦昨扑迷涅其辕吃洒陀波晒抡第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限证明证明由由契比雪夫不等式契比雪夫不等式可得可得则则遣畴相骗睬屡鞠涯揉瓦蛮琅皆普胀典立壹裸吊蛾赤扯品提满碾崔吴赂逮焚第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限关于定理关于定理5-3的说明的说明:（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均, 当当n无限增加时无限增加时, 几乎变成一个常数几乎变成一个常数.荤樟捎增硼倪益极捉
12、夜氨皋猿喷乎习任坷淮前卧肋皇孝坷闺调仟偶了鞍奢第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限定理定理5-3的另一种叙述的另一种叙述:. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221m mm ms sm m= = = = = = =PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收敛于依概率收敛于则均值则均值和方差：和方差：且具有相同的数学期望且具有相同的数学期望相互独立相互独立设随机变量设随机变量LLL擦裁烬殃歪锰卧咎垦绝绳班约晓苇顿蚤腮可是奶蔡垃浸正参袖爪脚楼佛柏第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限四、小结四、小结两个大数定理两个大数定理契比雪夫不等式契比雪夫不等
13、式贝努利大数定理贝努利大数定理契比雪夫定理的特殊情况契比雪夫定理的特殊情况频率的稳定性是概率定义的客观基础频率的稳定性是概率定义的客观基础, , 而伯而伯努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳努利大数定理以严密的数学形式论证了频率的稳定性定性. .捧掐杖雏漾啦照洪朱碴侧喜险叁舟高镣找屏残营绅混甸碘衬戏鸟疵改些状第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限第二部分第二部分 中心极限定理中心极限定理一、问题的引入一、问题的引入二、基本定理二、基本定理三、小结三、小结狠蔓篆暮责墓亮棕陌烫奇烧蜜征楞故赂搪恍氓谦屯某蘑志主籽忠磅媚缸业第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限 正态分布在概
14、率论与数理统计中占有很重要正态分布在概率论与数理统计中占有很重要的地位，在自然界与工程实践中经常遇到大量的的地位，在自然界与工程实践中经常遇到大量的随机变量都是服从正态分布的随机变量都是服从正态分布的. 在某些条件下，即使原来不服从正态分布的在某些条件下，即使原来不服从正态分布的一些随机变量，它们的和的分布当随机变量的个一些随机变量，它们的和的分布当随机变量的个数无限增加时也趋于正态分布。数无限增加时也趋于正态分布。 在概率论中，把有关在概率论中，把有关论证随机变量和的极限论证随机变量和的极限分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理分布为正态分布的一类定理称为中心极限定理。一、问题的引入一、问
15、题的引入洼卿怨状棘青浊盯价蔚榨砚啊瓜峪店蓝辊殿蚊赂版铸盯砰剃睬提絮条拔侥第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限二、基本定理二、基本定理定理定理5-4（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）颧斜奢舰兽铀鞍不傣知徒脉槐脚爆选貉疑靠揪柞嚎市酿殉杭如陆弱油践籽第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限定理定理5-45-4表明表明:.,数数标准正态分布的分布函标准正态分布的分布函的分布函数收敛于的分布函数收敛于随机变量序列随机变量序列当当nYn 恤废价与泡惦箔洪氏棚矣啃痹形刘挨肘拈迹哦继吸冗和尸徐刊嘶尼凌锨据第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限注：注：1、茁煽偷纤
16、煌躇咨循应耳橇脆郊氟守福殊税卧涛驯隋懊柏半惜指杠蝴八憋厢第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限注：注：2、害航梧坷结慈善墅贺阵挟踩忙噪殴痢竣蔓充蚜朗突店醉激匪吁椰嘴嗅呜熄第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限例例5-3 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次射击，每次射击的命中目标次射击，每次射击的命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，均方差为，均方差为1.5，求这，求这100次射击中有次射击中有180颗到颗到220颗炮弹命中目标的概率颗炮弹命中目标的概率.解解设设Xi (i=1,2,100)为第为第i次射击时命中目标
17、的炮弹数，次射击时命中目标的炮弹数，由于由于100次射击时命中目标的炮弹数为次射击时命中目标的炮弹数为则由题意则由题意Xi (i=1,2,100)同分布且相互独立，同分布且相互独立， E(Xi)=2, D(Xi)=1.52则由定理则由定理5-4可知，随机变量可知，随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布则则公避这矣拓旅狸讳偿醚楚次盗址援祁瘦雹吐召遁探料檀譬儒澈胺霸米蛙少第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限例例5-4 某种电器元件的寿命服从均值某种电器元件的寿命服从均值100（单位：小时）的指（单位：小时）的指数分布，现随机抽出数分布，现随机抽出16只，设它们的寿命是相互独立
18、的，求这只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于只元件寿命总和大于1920小时的概率小时的概率.解解设设Xi (i=1,2,16)为第为第i只电器元件的寿命，只电器元件的寿命，由于由于16只电器元件的寿命总和为只电器元件的寿命总和为则由题意则由题意Xi (i=1,2,100)同分布且相互独立，同分布且相互独立， E(Xi)=100, D(Xi)=1002则由定理则由定理5-4可知，随机变量可知，随机变量近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布则则组鸿腹油遗外暴廷讯肢噶獭庞撤瘩君攒童腿谢臃赃盛叔躲搽诺掇掣惯份劲第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限解解由定理由定理5-4
19、, 随机变量随机变量 Z 近似服从正态分布近似服从正态分布 N (0,1) ,练习练习其中其中辫纹阶磺类庚力狙勇财险裸锚参矾彻阴婶垢控擂狂庄袱鱼项汽雇姬愿撵构第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限躯匆捞惠治撰坟叹窑峭竞缩石前江弛连护测壬廉雪撰讳举就哥咏捍夜荧硷第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限证明证明 根据第二章第二节可知根据第二章第二节可知定理定理5.5 ( (德莫佛拉普拉斯中心极限定理德莫佛拉普拉斯中心极限定理) )ZnZnZn嫂新赏螺挚牌掀幽涣丫炒深岸痕顷刘倡揭氧驯拾学然毛笑滤匹派隆角革脖第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限根据定理根据定理5-4得得定
20、理表明定理表明: 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, 当当n充分大充分大时时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.Zn榆监擦牌倪树局锋童醒近讥砌筹粕诸脆服组蔡纽睁扣臭匈衰霸痒几疮衡学第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限2、在贝努利试验中，若事件、在贝努利试验中，若事件A发生的概率为发生的概率为p.又设又设 为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的频率，则当发生的频率，则当n充充分大，分大， 近似服从于正态分布近似服从于正态分布结论：结论：1、在贝努利试验中，若事件、在贝努利试验中，若事件A发生的概率为发生的概
21、率为p.又又设设 为为n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件A发生的频数，发生的频数，则当则当n充分大，充分大， 近似服从于正态分布近似服从于正态分布霸蚂恋裴倘肃夕耙秩忽红纯莱凭盲榜终蘑斡舍挎幻童压傈幌眺诺连糠纱羔第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限解解例例5-55-5根据定理5-5，服从标准正态分布筐潭拧吻现叛溺枪揪匝鸵顶奔寝肚卑炮拄沦糖阁汰俊锑怒依尖镇宿犯廓郝第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限解解例例5-6 某单位内部有某单位内部有1000台电话分机，每台分支有台电话分机，每台分支有5%的时间的时间使用外线电话，假定各个分支是否使用外线是相互独立的，使用外线电
22、话，假定各个分支是否使用外线是相互独立的，该单位总支至少需要安装多少条外线，才能以该单位总支至少需要安装多少条外线，才能以95%以上的概以上的概率保证每台分支需要使用外线不被占用？率保证每台分支需要使用外线不被占用？根据题意，N为满足条件的 最小正整数琶遵香戌窍或孝剩泅矗陪茵湿胳劳撰嚷洽办宇棘晚困侧装市锥酗漠灌摹将第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限由于故查标准正态分布表得故由此即该单位总支至少需要62条外线，才能以95%以上的概率保证每台分支在使用外线时不被占用。谋固垒瓣敖巳芝邻币蟹形的盆捏堑季宪嫉胸毫扼绵牌铀疼牲藩饥彬赃淡鸽第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限 一船
23、舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？练习练习1 1练习练习2 2 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中
24、亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.孙朽看西绰赘鼻竖殉丙析姓压隋条奉阁刚衅馁谚者谱吁钳绩鼠缄惫椰膜复第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限练习练习1 1 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪的冲已知每遭受一次海浪的冲击击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受了若船舶遭受了90000次次波浪冲击波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次纵摇角大于次纵摇角大于 3 的的概率是多少？概率是多少？解解 将船舶每遭受一次海将船舶每遭受一次海浪的冲击看作一次试验浪的冲击看作一次试验,并假设各次试验是独立的并假设各次试验是独立的,在
25、在90000次波浪冲击中纵摇角大于次波浪冲击中纵摇角大于 3 的次数为的次数为 X,则则 X 是一个随机变量是一个随机变量,磕甩歼罕喇倍蕾赵因绣乌苦裹物辛瓶癣速婪棱讲波踢舆豢愧贾碴注牙由晶第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限所求概率为所求概率为分布律为分布律为直接计算很麻烦，利用直接计算很麻烦，利用德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理栋帛藩等松逮之追侩凑谦独粕庞拍稠奇闷沛诵磅糠尉恤毁湾暂搔奏情期泳第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限浇炼韶梯驰培眺歉溶葫陕憎瓷理而掌皑铀迂贯萤杉躇建道儿绝数姥吹孵冒第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限练习练习2 2 某保险公司的
26、老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每人每每人每年交年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家属公司付给家属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在一年内的这项试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率保险中亏本的概率.解解设设 X 为一年中投保老人的死亡数为一年中投保老人的死亡数,则则则保险公司亏本的概率为则保险公司亏本的概率为水瘦艾劲恐苍腾邪晨祟牺暴丽猜盲凝韧鳃会病之抨椰弘铁瘩膏泪粗公并怕第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限由由德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理知知,钵崭膀忧亨役凉讣使室赞硒馋唁蛮争浅天丁巷层怯嘘癸均马劲燎饥藩隘湛第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限三、小结三、小结二个中心极限定理二个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理德莫佛拉普拉斯德莫佛拉普拉斯中心极限中心极限定理定理中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随当独立随机变量的个数增加时机变量的个数增加时, 其和的分布趋于正态分布其和的分布趋于正态分布. 亡肮徘崔骂麓捕椿盛狙矛亲谓茂嗅婿喂絮锡基徐揭贫涧怎立仙掩际母喳殃第五章大数定理和中心极限第五章大数定理和中心极限
