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1、高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修情境问题：情境问题：某种细胞分裂时，由某种细胞分裂时，由1个分裂成个分裂成2个，个，2个分裂成个分裂成4个，个，4个分裂成个分裂成8个个一个细胞分裂一个细胞分裂x次后，得到细胞的个数为次后，得到细胞的个数为y，则，则y与与x的函数关系是什么的函数关系是什么呢？呢？从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能从我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古生物的年代，可发芽开花这些古莲子是多少年以前的遗物呢？要测定古生物的年代，可以用放射性碳法：在
2、动植物体内都含有微量的放射性以用放射性碳法：在动植物体内都含有微量的放射性14C动植物死亡后，动植物死亡后，停止了新陈代谢，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的不再产生，且原有的14C会自动衰减，大约每经过会自动衰减，大约每经过5730年年(14C的半衰期的半衰期)，它的残余量只有原始量的一半经过科学测定，若，它的残余量只有原始量的一半经过科学测定，若14C的的原始含量为原始含量为1，经过，经过x年后的残留量为年后的残留量为y，则，则 y与与x的函数关系是什么呢？的函数关系是什么呢？y 2xy ax，这里的，这里的a为常数，为常数，0 a 1 (1)(2)(1)和和(2)有什么相同的特征？
3、有什么相同的特征？数学建构数学建构：2指数函数的定义域是什么？指数函数的定义域是什么？3函数函数y2x和函数和函数yx2有什么区别？有什么区别？4函数函数y23x和和y23x是不是指数函数？是不是指数函数？一般地，函数一般地，函数yax(a0且且a1)叫做指数函数叫做指数函数指数函数的定义：指数函数的定义：1在指数函数的解析式在指数函数的解析式yax中，为什么要规定中，为什么要规定a0且且a1？思考问题：思考问题：数学应用：数学应用：(1)y23x；(2)y3x-1；(3)yx3； (4)y3x；(5)y(3)x；(6)yx；(7)y3x2；(8)yxx；(9)y 4-x，(10)y(2a1)
4、x(a ，且a1) 练习：判断下列函数是否是指数函数：练习：判断下列函数是否是指数函数：数学建构：数学建构：指数函数的图象与性质：指数函数的图象与性质：在同一坐标系画出在同一坐标系画出(1)y2x，(2)y 的图象，的图象，观察并总结函数观察并总结函数yax(a0，且，且a1)的性质的性质 借助于计算机在同一坐标系内画出函数借助于计算机在同一坐标系内画出函数(1)y10x，(2)y2.5x，(3)y0.1x，(2)y0.4x的图象，进一步验证函数的图象，进一步验证函数yax(a0，且，且a1)的性质，的性质，并探讨函数并探讨函数yax与与ya- -x(a0，且，且a1)二者之间的关系二者之间的
5、关系数学建构：数学建构： 一般地，指数函数一般地，指数函数yax在底数在底数a1及及0a1这两种情况下的图象和这两种情况下的图象和性质如下表所示：性质如下表所示：a10a1图象图象定义域定义域值域值域性质性质R (0， )xyO1 R上的减函数上的减函数xyO1 图象恒过定点图象恒过定点(0，1)，即，即x0时，时，y1指数函数的性质：指数函数的性质：R上的增函数上的增函数数学应用：数学应用：(1)1.52.5，1.53.2；(2)0.51.2，0.51.5；(3)1.50.3，0.81.2小结：小结：在解决比在解决比较较两个数的大小两个数的大小问题时问题时，一般情况下是将其看作一个函数的，一
6、般情况下是将其看作一个函数的两个函数两个函数值值，利用函数的，利用函数的单调单调性直接比性直接比较较它它们们的大小，如的大小，如(1)、(2)当两当两个数不能直接比个数不能直接比较时较时，我，我们们可以将其与一个已知的可以将其与一个已知的过过渡数渡数进进行比行比较较大小，大小，从而得出从而得出该该两数的大小关系常用来两数的大小关系常用来过过渡的渡的值值有有0或或1等，根据等，根据实际问题实际问题也可能是其他数也可能是其他数值值例例1比较大小比较大小 数学应用：数学应用：虽然指数函数虽然指数函数yax的定义域是的定义域是R，但是在求与指数函数有关的复合函，但是在求与指数函数有关的复合函数的定义域
7、数的定义域时时，必，必须须注意以前我注意以前我们们求函数定求函数定义域时的一些限制条件：义域时的一些限制条件：例例2求下列函数的定义域，并探求其值域求下列函数的定义域，并探求其值域(1) y(2) y说明：说明：(1)分式的分母不能分式的分母不能为为0；(2)偶偶次根式的被开方数大于或等于次根式的被开方数大于或等于0；(3)0的的0次幂没有意次幂没有意义义；(4)在在实际问题实际问题中必中必须须使使实际问题实际问题有意有意义义数学应用：数学应用：解解 由由f(x)g(x)，得，得例例3函数函数f(x)a ，g(x)a (a0且且a1) ，若，若f(x)g(x)，x23x1x22x4求求x的取值
8、范围的取值范围a a x23x1x22x4(1)当当a1时，时，x23x1 x22x4，解得，解得x1(2)当当0a1时，时，x23x1x22x4，解得，解得x1若若a1，则，则x的取值范围为的取值范围为x|x1；综上所述：综上所述：若若0a1，则，则x的取值范围为的取值范围为x|x1数学应用：数学应用：若函数若函数y(a23a3)ax是指数函数，则它的单调性为是指数函数，则它的单调性为 小结：小结：指数函数的定义：指数函数的定义：函数函数yax(a0，a1)叫做指数函数叫做指数函数指数函数的图象和性质：指数函数的图象和性质：指数函数的定义域为指数函数的定义域为R，图象恒过点，图象恒过点(0，
9、1)，当当0a1时，指数函数在时，指数函数在R上递减；上递减；当当a1时，指数函数在时，指数函数在R上递增上递增利用指数函数的性质进行大小比较利用指数函数的性质进行大小比较作业：作业：P70习题习题3.1（2）5，7课后探究：课后探究：已知函数已知函数f (x)给给出出f (x)的定的定义义域，域，值值域，奇偶性和域，奇偶性和单调单调性性 高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学高中数学 必修必修必修必修必修必修情境问题情境问题：某城市现有人口总数为某城市现有人口总数为100万，如果人口的年自然增长率为万，如果人口的年自然增长率为1.2 ，问，问:(1)写出该城市人口数写出该城市人口数y(万人
10、万人)与经历的年数与经历的年数x之间的函数关系式之间的函数关系式;(2)计算计算10年后该城市的人口数；年后该城市的人口数；(3)计算大约多少年后，该城市人口将达到计算大约多少年后，该城市人口将达到120万万?(4)如果如果20年后该城市人口数不超过年后该城市人口数不超过120万，年人口自然增长率应该控制万，年人口自然增长率应该控制在多少在多少? 函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题关系的有效工具利用函数模型可以处理生产、生活中许多实际问题数学探究数学探
11、究：1等腰三角形顶角等腰三角形顶角y(单位：度单位：度)与底角与底角x的函数关系为的函数关系为 2某种茶杯，每个某种茶杯，每个0.5元，把买茶杯的钱数元，把买茶杯的钱数y(元元)表示为茶杯个数表示为茶杯个数x(个个)的的函数函数 ，其定义域为，其定义域为 数学应用数学应用：例例1某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元，生产万元，生产每台计算机的可变成本为每台计算机的可变成本为3000元，每台计算机的售价为元，每台计算机的售价为5000元分别写出元分别写出总成本总成本C(万元万元)、单位成本、单位成本P(万元万元)、销售收入、销售收
12、入R(万元万元)以及利润以及利润L(万元万元)关于关于总产量总产量x(台台)的函数关系式的函数关系式 数学应用数学应用：1生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本，可表示为商品数量的函数，现知道一企业生产某种产品的数量为函数，现知道一企业生产某种产品的数量为x件时的成本函数是件时的成本函数是C(x)20010x0.5x2(元元)，若每售出一件这种商品的收入是，若每售出一件这种商品的收入是200元，那么生产并销元，那么生产并销售这种商品的数量是售这种商品的数量是200件时，该企业所得的利润可达到件时，该企业所得的利润可达到元元 2有
13、有m部同样的机器一起工作，需要部同样的机器一起工作，需要m小时完成一项任务设由小时完成一项任务设由x部机部机器（器（x为不大于为不大于m的正整数）完成同一任务，求所需时间的正整数）完成同一任务，求所需时间y(小时小时)与机器与机器的部数的部数x的函数关系式的函数关系式数学建构数学建构：函数模型：函数模型： 函数模型是最常用的数学模型，数学模型就是把函数模型是最常用的数学模型，数学模型就是把实际问题实际问题用数学语用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述际问题的数学描述数学应用：数学应用：
14、例例2大气温度大气温度y()随着离开地面的高度随着离开地面的高度x(km)增大而降低，到上空增大而降低，到上空11 km为为止，大约每上升止，大约每上升1 km，气温降低，气温降低6，而在更高的上空气温却几乎没变，而在更高的上空气温却几乎没变(设设地面温度为地面温度为22)求：求：(1) y与与x的函数关系式；的函数关系式；(2)x3.5 km以及以及x12km处的气温处的气温 由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第由于自变量在不同的范围中函数的表达式不同，因此本例第1小题小题得到的是关于自变量的分段函数；得到的是关于自变量的分段函数； 在例在例2的条件下，某人在爬一座山的过程中
15、，分别测得山脚和山顶的条件下，某人在爬一座山的过程中，分别测得山脚和山顶的温度为的温度为26和和14.6，试求山的高度，试求山的高度 数学应用：数学应用：3A、B两地相距两地相距150千米，某人以千米，某人以60千米千米/时的速度开车从时的速度开车从A到到B，在，在B地地停留停留1小时后再以小时后再以50千米千米/时的速度返回时的速度返回A，则汽车离开，则汽车离开A地的距离地的距离x与时间与时间t的函数关系式为的函数关系式为 4某车站有快、慢两种车，始发站距终点站某车站有快、慢两种车，始发站距终点站7.2km，慢车到达终点需，慢车到达终点需16min，快车不慢车晚发车，快车不慢车晚发车3min
16、，且行驶，且行驶10min到达终点站到达终点站.试分别写出试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式两车在何时相遇？相两车所行路程关于慢车行驶时间的函数关系式两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？遇时距始发站多远？ 数学应用数学应用：5某产品总成本某产品总成本C(万元万元)与产量与产量x(台台)满足关系满足关系C300020x0.1x2，其中，其中0x240若每台产品售价若每台产品售价25万元，则厂家不亏本的最低产量为万元，则厂家不亏本的最低产量为台台 数学建构：数学建构：数学应用题的一般求解程序：数学应用题的一般求解程序： (1)审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；审题：弄清题目意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应建模：将题目条件的文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；的数学模型；(3)解模：求解数学模型，得到数学结论；解模：求解数学模型，得到数学结论；(4)结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意结论：将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义，并根据题意下结论下结论小结小结：建立数学模型建立数学模型解出模型结果解出模型结果解释实际问题解释实际问题实际问题实际问题作业：P100练习练习1，2，3
