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1、高考数学（浙江专用）高考数学（浙江专用）7.4基本不等式及不等式的应用考点一考点一基本不等式基本不等式考点清考点清单考向基础考向基础1.几个重要不等式几个重要不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)(a,bR+).(3)+2(a,b同号).(4)ab(a,bR).(5)(a,bR+).(6)三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,|a1a2an|a1|+|a2|+|an|.(7)a2+b2+c2ab+ac+bc,当且仅当a=b=c时取等号.2.利用算术平均数与几何平均数求函数的最值(1)已知x、yR+,如果积xy是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值,是2.(2)已知x、yR+
2、,如果和x+y是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值,是S2.注意注意(1)求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定值,“三相等”是指等号成立.(2)连续使用基本不等式时,等号要同时成立.考点二考点二不等式的综合应用不等式的综合应用考向基础考向基础1.常用的证明方法常用的证明方法(1)比较法a.作差比较.如,a、b、m均为正数,且a.基本步骤:作差,变形,定号.b.作商比较.基本步骤:作商,变形,与1比较大小.(2)分析法与综合法令字母A、A1、A2、An、B分别表示一个不等式,其中B为已知不等式,A为待证不等式.若
3、有AA1A2AnB,综合法是由B前进式地推导A,分析法则是由A倒退式地分析到B.用分析法时,必须步步充分.(3)反证法从否定结论出发,经过逻辑推理,得出矛盾,证实结论的否定是错误的,从而肯定原结论正确.(4)放缩法欲证AB,可通过适当放大或缩小,借助一个或多个中间量,即BB1,B1B2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用传递性,达到证明目的.(5)三角代换法如,若x2+y2=1,求证:|x2-2xy-y2|.分析:由于x2+y2=1,故可设x=cos,y=sin,则|x2-2xy-y2|=|cos2-2sincos-sin2|=.(6)基本不等式法使用时要注意条件是否满足以及等号何时取得
4、.(7)函数增减性法如,若0u,求证:u+.分析:基本不等式的基本条件不具备,即u=时,u=1,而0b0,am0,则;(2)a,b,c,dR+,则;(3)nN*,-1,-A在区间D上恒成立f(x)minA(xD);若f(x)在区间D上存在最大值,则不等式f(x)B在区间D上恒成立f(x)maxA成立f(x)maxA(xD);若f(x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)B成立f(x)minA在区间D上恰成立f(x)A的解集为D;不等式f(x)B在区间D上恰成立f(x)B的解集为D.方法方法利用基本不等式求最值问题的方法利用基本不等式求最值问题的方法1.利用基本不等式解决
5、条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种思路:(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解.(2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式.3.若一次应用基本不等式不能达到目的,则需多次应用基本不等式,但要注意等号成立的条件必须要一致.方法技巧方法技巧提醒提醒若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解.例例(2017浙江宁波二模(5月),17)若6x2+4y2+6xy=1,x,yR,则x2-y2的最大值为.解题导引解题导引导引一:导引二:导引三:解析解析解法一:设m=x+y,n=x-y,则问题转化为“已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值”.由基本不等式,知1=mn+4m2+n2mn+4|mn|,所以-mn,当且仅当n=2m,即x=-3y时,取到最大值.解法二(齐次化处理):显然要使得目标函数取到最大值,x0.令z=x2-y2=,设t=,则z=,则(4z+1)t2+6zt+6z-1=0对tR有解.当z=-时,t=-.当z-时,=36z2-4(4z+1)(6z-1)0,解得-z.当t=-=-时取到最大值.解法三:1=6x2+4y2+6y6x2+4y2-6=5x2-5y2,所以x2-y2,当且仅当x=-3y时取等号.答案答案
