《2022年分解因式之十字相乘法教案-人教新课标版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年分解因式之十字相乘法教案-人教新课标版（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学习必备欢迎下载分解因式之十字相乘法我们知道22356xxxx，反过来，就得到二次三项式256xx的因式分解形式，即25623xxxx，其中常数项6 分解成 2,3 两个因数的积，而且这两个因数的和等于一次项的系数5，即 6=23，且 2+3=5。一般地，由多项式乘法，2xaxbxab xab，反过来，就得到2xab xabxaxb这就是说，对于二次三项式2xpxq，如果能够把常数项q分解成两个因数a、b 的积，并且a+b 等于一次项的系数p，那么它就可以分解因式，即22xpxqxab xabxaxb。运用这个公式， 可以把某些二次项系数为1 的二次三项式分解因式。例 1 把232xx分解因式
2、。分析：这里，常数项2 是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而2=12=(-1)(-2)，要使它们的代数和等于3，只需取1,2 即可。解：因为 2=12，并且 1+2=3，所以23212xxxx例 2把276xx分解因式。分析：这里，常数项是正数，所以分解成的两个因数必是同号，而6=16=(-1) (-6)=2 3=(-2)(-3) ，要使它们的代数和等于-7 ，只需取 -1 ，-6 即可。解：因为 6=(-1) (-6) ，并且 (-1)+(-6)=-7，所以2761616xxxxxx例 3把2421xx分解因式。分析：这里，常数项是负数，所以分解成的两个因数必是异号，-21 可以分解成
3、-21=(-1)21=1(-21)=(-3)7=3(-7) ，其中只需取3 与-7，其和 3+(-7) 等于一次项的系数-4 。24213737xxxxxx解：例 4 把2215xx分解因式。解：因为 -15=(-3)5，并且 (-3)+5=2 ，所以精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载2215=3535xxxxxx通过例 14 可以看出，把2xpxq分解因式时：如果常数项 q 是正数，那么把它分解成两个同号因数，它们的符号与一次项系数p 的符号相同。如果常数项 q 是负数，那么把它分解成两个异号因数，
4、其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同。对于分解的两个因数，还要看它们的和是不是等于一次项的系数p。例 5 把下列各式分解因式：(1) 4268xx (2) 243abab422222222(1)6868 =2424xxxxxxxx解：2(2)43 =1313abababababab例 6 把2232xxyy分解因式。分析： 把2232xxyy看成 x 的二次三项式， 这时， 常数项是22y，一次项系数是-3y ，把22y分解成 -y 与-2y 的积， (-y)+(-2y)=-3y,正好等于一次项的系数。222232 =32 =2xxyyxyxyxyxy解：我们知道，22353111
5、0xxxx。反过来就得到231110xx的因式分解的形式，即231110235xxxx。我们发现，二次项的系数3 分解成 1,3 两个因数的积；常数项10 分解成 2,5 两个因数的积；当我们把1,3 ，2,5 写成1 2 3 5 后发现 15+2 3 正好等于一次项的系数11。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载由上面例子启发我们，应该如何把二次三项式2axbxc进行因式分解。我们知道，1122212122 11 22121 22 11 2a xca xca a xa c xa c xcca a xa
6、 ca cxcc反过来，就得到2121221121122a a xa ca cxc ca xca xc我们发现，二次项的系数a分解成12a a，常数项c分解成12c c，并且把1a，2a，1c，2c排列如下：1a1c2a2c这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1a2c+2a1c，如果它们正好等于2axbxc的一次项系数b，那么2axbxc就可以分解成1122a xca xc，其中1a，1c位于上图的上一行，2a，2c位于下一行。像这种借助画十字交叉分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法 。必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定
7、一个二次三项式能否用十字相乘法分解。例如在上面例子的二次三项式231110xx中，二次项的系数3 可以分解成1 与 3，或者 -1 与-3 的积，常数项10 可以分解成1 与 10，或者 -1 与 -10，或者 2 与 5，或者-2 与-5 的积，其中只要选取十字1 2 3 5 相乘就可以了。例 7 把下列各式分解因式：(1) 2273xx (2) 2675xx (3) 22568xxyy2:(1)273321xxxx解2(2)6752135xxxx1 -3 2 -1 2 1 3 -5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5
8、 页学习必备欢迎下载22(3)568254xxyyxyxy另外，我们也可以用十字相乘法把二次三项式2xpxq分解因式。例1 4的十字分别是：可以看出，这四个十字左边两个数都是1。因此在把2xpxq分解因式时，不画十字也可以。练习把下列各式分解因式：(1)22157xx (2) 2384aa (3) 2576xx (4) 261110yy(5) 2252310a bab (6) 222231710a babxyx y(7) 22712xxyy (8) 42718xx(9) 22483mmnn (10) 53251520xx yxy用配方法分解二次三项式对于某些二次三项式2axbxc，除了可以用十
9、字相乘法分解因式以外，还可以用“配方法”来分解，其中要用到完全平方公式、平方差公式以及添项、拆项的技巧( 这里运用完全平方公式“配”出一个完全平方，是配方法的关健；“添项、拆项”是指先添一个0，再把 0 拆成绝对值相同、符号相反两项，也就是先加上一个适当的项，再减去这个项，其目的也是为了配方) 。例如，把2616xx分解因式，我们可以这样进行：22222261623331635353582xxxxxxxxx2 2y 5 -4y 1 1 1 2 1 -1 1 -6 1 3 1 -7 1 -3 1 5 (加上23，再减去23) (运用完全平方公式 ) (运用平方差公式 ) ( 化简) 精选学习资料
10、 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致的。又例如，把223xx分解因式，我们可以这样进行：2222222 23132221113224442152441515244443212231xxxxxxxxxxxxx可以看出，这与十字相乘法分解的结果是一致。1. 用十字相乘法分解因式：(1)2x2+3x+1；(2)2y2+y6；(3)6x213x+6； (4)3a27a6；(5)6x211xy+3y2；(6)4m2+8mn+3n2；(7)10x221xy+2y2； (8)8m222mn+15n2. (先提取二次项系数 ) (加上214，再减去214) (运用完全平方公式 ) (运用平方差公式 ) (化简) 答案：(1)(2x+1)(x+1)；(2)(y+2)(2y3) ；(3)(2x 3)(3x 2) ； (4)(a3)(3a+2) ；(5)(2x 3y)(3x y) ；(6)(2m+n)(2m+3n)；(7)(x 2y)(10x y) ； (8)(2m 3n)(4m5n). 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页
