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1、7.3二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基基础础知知识识自主学自主学习习1.二元一次不等式表示的平面区域二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的 .我们把直线画成虚线以表示区域 边界直线.当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应 边界直线，则把边界直线画成 .(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都 ，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0
2、By0C的 即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域.知识梳理平面区域不包括包括实线相同符号2.线性规划相关概念线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件 由x，y的 不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求 或 的函数线性目标函数 关于x，y的 解析式一次最大值最小值一次可行解满足 的解可行域所有 组成的集合最优解使目标函数取得 或 的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的 或_问题线性约束条件可行解最大值最小值最大值最小值3.重要结论重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时
3、直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.知识拓展知识拓展1.利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方.()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0，解得m .2.(教
4、材改编)如图所示，表示阴影部分的二元一次不等式组是_.答案解析不等式y2x1表示直线y2x1下方的平面区域及直线上的点，不等式x2y4表示直线x2y4上方的平面区域，所以这两个平面区域的公共部分就是 所表示的平面区域.3.(2016北京改编)若x，y满足 则2xy的最大值为_.答案解析4不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示.令z2xy，则y2xz，作直线2xy0并平移，当直线过点A时，截距最大，即z取得最大值，所以A点坐标为(1,2)，可得2xy的最大值为2124.几何画板展示几何画板展示4.(教材改编)若 则zxy的最大值为_.答案解析1根据题意作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分所示(
5、含边界).令z0，作直线l：yx0.当直线l向下平移时，所对应的zxy的函数值随之增大，当直线l经过可行域的顶点M时，zxy取得最大值.顶点M是直线xy1与直线y0的交点，解方程组得顶点M的坐标为(1,0)，代入zxy，得zmax1.几何画板展示几何画板展示5.(教材改编)投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米.现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组表示为 (用x，y分别表示生产A，B产品的吨数，x和y的单位是百吨).答案解析题题型分型分类类深度剖析深度剖
6、析题型一二元一次不等式题型一二元一次不等式(组组)表示的平面区域表示的平面区域命题点命题点1不含参数的平面区域问题不含参数的平面区域问题例例1(1)不等式组 所表示的平面区域的面积等于_.答案解析由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分，A(0， )，B(1,1)，C(0,4)，则ABC的面积为(2)(教材改编)画出二元一次不等式组 表示的平面区域.解答先画出直线xy50(画成虚线)，原点不在xy50表示的平面区域内，即xy50，命题点命题点2含参数的平面区域问题含参数的平面区域问题例例2(1)(2015重庆改编)若不等式组 表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则m的值为_.答案解析1不
7、等式组表示的平面区域如图，则图中A点纵坐标yA1m，B点纵坐标yB ，C点横坐标xC2m，又当m3时，不满足题意，应舍去，m1.m1或m3，(2)若不等式组 所表示的平面区域被直线ykx 分为面积相等的两部分，则k的值是_.答案解析不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线ykx 过定点 .因此只有直线过AB中点时，直线ykx 能平分平面区域.因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D .几何画板展示几何画板展示(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规
8、则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可.(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.思维升华跟踪训练跟踪训练1(1)若函数y2x图象上存在点(x，y)满足约束条件 则实数m的最大值为_.答案解析1在同一直角坐标系中作出函数y2x的图象及 所表示的平面区域，如图阴影部分所示.由图可知，当m1时，函数y2x的图象上存在点(x，y)满足约束条件，故m的最大值为1.几何画板展示几何画板展示(2)(2016江苏徐州四校模拟)若不等式组 表示的平面区域是一个三角形及其内部，则a的取值范围是_.答
9、案解析5,7)不等式xy50和0x2表示的平面区域如图所示.因为原不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部，所以由图可知5a7.题型二求目标函数的最值问题题型二求目标函数的最值问题命题点命题点1求线性目标函数的最值求线性目标函数的最值例例3(2016全国丙卷)若x，y满足约束条件 则zxy的最大值为_.答案解析满足约束条件 的可行域为以A(2，1)，B(0,1)， 为顶点的三角形内部及边界，则yxz过点 时取得最大值 .命题点命题点2求非线性目标函数的最值求非线性目标函数的最值解答例例4实数x，y满足(1)若z ，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；几何画板展示几何画板展示(2)若zx2
10、y2，求z的最大值与最小值，并求z的取值范围.解答zx2y2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方.因此x2y2的最小值为OA2，最大值为OB2.由 得A(0,1)，z的取值范围是1,5.引申引申探究探究1.若z ，求z的取值范围.解答z 可以看作过点P(1,1)及(x，y)两点的直线的斜率.z的取值范围是(，0.2.若zx2y22x2y3.求z的最大值、最小值.解答zx2y22x2y3(x1)2(y1)21，而(x1)2(y1)2表示点P(1,1)与Q(x，y)的距离的平方PQ2， (01)2(21)22，zmax213，zmin 1 .命题点命题点3求参数值或取值求参数值或取值范围
11、范围例例5(1)(2015山东改编)已知x，y满足约束条件 若zaxy的最大值为4，则a的值为_.答案解析2不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0)，由 得B(1,1).由zaxy，得yaxz.当a0时，zaxy在A(2,0)处取得最大值，z2a4，a2，满足题意.当a0时，显然不满足题意；(2)已知a0，x，y满足约束条件 若z2xy的最小值为1，则a_.答案解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，zmin22a1，解得a .(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.(2)当目标函数是非线性的函数时，常利
12、用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义： 表示点(x，y)与原点(0,0)的距离， 表示点(x，y)与点(a，b)的距离； 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率， 表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率.(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.思维升华跟跟 踪踪 训训 练练 2 (1)(2016江 苏 大 港 中 学 质 检 )设 m1， 在 约 束 条 件 下，目标函数zx5y的最大值为4，则m的值为_.答案解析3作出可行域.把目标函数化为y ， 显然只有y 在y轴上的截距最大时z值最大，根据图形，目标函数在点A处取得最大值，代入目标函数，解得m3
13、.(2)(2016江苏天一中学月考) 已知x，y满足约束条件 如果(2， )是zaxy取得最大值时的最优解，则实数a的取值范围是_.答案解析画出可行域如图，将目标函数化为直线的斜截式方程yaxz，当目标函数的斜率大于等于3yx2的斜率时，直线yaxz在点(2， )处截距最小，即a 时，(2， )是目标函数zaxy取得最大值时的最优解.题型三线性规划的实际应用问题题型三线性规划的实际应用问题例例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可
14、获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；解答依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解答约束条件为整理得作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元.最优解为A(50,50)，此时max550元.目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制
15、条件，借助表格或图形理清变量之间的关系.(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数.(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解).(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值).(5)检验：根据结果，检验反馈.思维升华跟跟踪踪训训练练3某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型和B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台
16、，才能使利润最大？解答典典例例(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组 表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_.(2)已知x，y满足约束条件 若zaxy的最大值为4，则a_.含参数的线性规划问题现场现场纠错系列纠错系列7现场纠错纠错心得错解展示课时课时作作业业1.若点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，则m的取值范围是_.答案解析(1，)由2m350，得m1.123456789101112131415162.(2016江 苏 苏 州 暑 期 检 测 )已 知 变 量 x， y满 足 约 束 条 件 则目标函数z2xy的最大值是_.答案解析7作出可行域，如图：由图可知，当目标函数
17、过点A(5,3)时，z取最大值，所以zmax2537.123456789101112131415163.直线2xy100与不等式组 表示的平面区域的公共点有_个.答案解析1由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分).直线2xy100恰过点A(5,0)，且其斜率k20，当2xy20时，tx2y4.点(x，y)可取区域内的点(含边界).通过作图可知，当直线tx2y4过点A( )时，t取最小值，令t|2xy2|6x3y|，tmin 43.当2xy283 4 3.综上，tmin3，即|2xy2|6x3y|的最小值是3.12345678910111213141516*13.给定区域D： 令点集T(x
18、0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线.答案解析6作出图形可知，ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线.1234567891011121314151614.已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部).如图所示.(1)写出表示区域D的不等式组；解答直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在
19、区域D内，故表示区域D的不等式组为12345678910111213141516(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围.解答根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14).1234567891011121314151615.某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次.A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆.若每天
20、运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？解答1234567891011121314151616.(2016天津)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A，B，C三种主要原料，生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨，B种原料360吨，C种原料300吨.在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元.分别用x，y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.(1)用x，y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；解答12345678910111213141516(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润.解答12345678910111213141516
